WikiDer > Пружинная система

Двухмерная пружинная система.

В инженерии и физике пружинная система или же весенняя сеть модель физики, описанная как график с позицией в каждой вершине и весна заданной жесткости и длины по каждому краю. Это обобщает Закон Гука в более высокие измерения. Эту простую модель можно использовать для решения позы статических систем из кристаллическая решетка к источникам. Пружинную систему можно рассматривать как простейший случай метод конечных элементов для решения проблем в статика. Предполагая линейные пружины и небольшую деформацию (или ограничиваясь одномерным движением), пружинная система может быть представлена ​​как (возможно, переопределенная) система линейных уравнений или эквивалентно как минимизация энергии проблема.

Известная длина пружины

Если номинальная длина, LИзвестно, что пружин составляет 1 и 2 единицы соответственно, тогда система может быть решена следующим образом. Рассмотрим простой случай трех узлов, соединенных двумя пружинами. Тогда растяжение двух пружин определяется как функция положения узлов как

${ displaystyle Delta mathbf {L} = { begin {bmatrix} 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 end {bmatrix}} mathbf {x} -L}$

Позволять А быть той "матрицей связности", связывающей каждую степень свободы с направлением, которое каждая пружина тянет на нее. Таким образом, силы на пружинах равны

${ displaystyle F _ { text {springs}} = - K Delta L = -K (A mathbf {x} -L) = - KA mathbf {x} + KL}$

куда K это диагональная матрица придание жесткости всем пружинам. Тогда сила, действующая на узлы, определяется умножением слева на ${ displaystyle A ^ { top}}$, который мы установили равным нулю, чтобы найти равновесие:

${ displaystyle F _ { text {nodes}} = - A ^ { top} KA mathbf {x} + A ^ { top} KL = 0}$

что дает линейное уравнение:

${ Displaystyle A ^ { top} KA mathbf {x} = A ^ { top} KL}$.

Сейчас же, ${ displaystyle A ^ { top} КА}$ сингулярно, потому что все решения эквивалентны с точностью до твердотельного переноса. Назначим Граничное условие Дирихле, например, ${ displaystyle x_ {1} = 2}$.

Предполагать K это личность и так

${ displaystyle A ^ { top} KA = { begin {bmatrix} 1 & -1 & 0 - 1 & 2 & -1 0 & -1 & 1 end {bmatrix}}}$.

Если мы подключим ${ displaystyle x_ {1} = 2}$ у нас есть

${ displaystyle A ^ { top} KA mathbf {x} = { begin {bmatrix} 1 & -1 & 0 - 1 & 2 & -1 0 & -1 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 2 x_ {2} x_ {3} end {bmatrix}} = A ^ { top} KL = { begin {bmatrix} -1 - 1 2 end {bmatrix}}}$.

Включение 2 в левую часть дает

${ displaystyle { begin {bmatrix} 2 - 2 0 end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} -1 & 0 2 & -1 - 1 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x_ {2} x_ {3} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} -1 - 1 2 end {bmatrix}}}$.

и удаление строк системы, которые мы уже знаем, и упрощение, оставляет нас с

${ displaystyle { begin {bmatrix} -2 0 end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} 2 & -1 - 1 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x_ {2} x_ {3} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} -1 2 end {bmatrix}}}$.

${ displaystyle { begin {bmatrix} 2 & -1 - 1 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x_ {2} x_ {3} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix } 1 2 end {bmatrix}}}$.

чтобы мы могли решить

${ displaystyle { begin {bmatrix} x_ {2} x_ {3} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 2 & -1 - 1 & 1 end {bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} 1 2 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 3 5 end {bmatrix}}}$.

То есть, ${ displaystyle x_ {1} = 2}$, как предписано, и ${ displaystyle x_ {2} = 3}$, оставляя первую слабину пружины, и ${ displaystyle x_ {3} = 5}$, оставляя вторую пружину слабиной.

Смотрите также

• Гауссова сетевая модель
• Модель анизотропной сети
• Матрица жесткости
• Пружинно-массовая система
• Матрица лапласа

внешняя ссылка

• Физика источников