WikiDer > Функция Струве

График ${displaystyle mathrm {H} _ {n} (x)}$ за ${displaystyle nin [0,1,2,3,4,5]}$

В математика, то Функции Струве ЧАС_α(Икс), являются решениями у(Икс) неоднородных Дифференциальное уравнение Бесселя:

${displaystyle x ^ {2} {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + x {frac {dy} {dx}} + left (x ^ {2} -alpha ^ {2} ight) y = {frac {4left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha +1}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight) }}}$

представлен Герман Струве (1882). В комплексное число α - это порядок функции Струве, и часто является целым числом.

И далее определил его версию второго рода ${displaystyle mathbf {K} _ {alpha} (x)}$ в качестве ${displaystyle mathbf {K} _ {alpha} (x) = mathbf {H} _ {alpha} (x) -Y_ {alpha} (x)}$.

В модифицированные функции Струве L_α(Икс) равны −т.е.^{−iαπ / 2}ЧАС_α(ix), являются решениями у(Икс) неоднородных Дифференциальное уравнение Бесселя:

${displaystyle x ^ {2} {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + x {frac {dy} {dx}} - слева (x ^ {2} + alpha ^ {2} ight) y = {frac {4left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha +1}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight) }}}$

И далее определил его версию второго рода ${displaystyle mathbf {M} _ {alpha} (x)}$ в качестве ${displaystyle mathbf {M} _ {alpha} (x) = mathbf {L} _ {alpha} (x) -I_ {alpha} (x)}$.

Определения

Поскольку это неоднородный уравнения, решения могут быть построены из одного частного решения путем сложения решений однородной задачи. В этом случае однородными решениями являются Функции Бесселя, а частное решение можно выбрать в качестве соответствующей функции Струве.

Расширение серии Power

Функции Струве, обозначаемые как ЧАС_α(z) имеют вид степенного ряда

${displaystyle mathbf {H} _ {alpha} (z) = sum _ {m = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {m}} {Гамма слева (m + {frac {3} {2}) } ight) Гамма слева (m + alpha + {frac {3} {2}} ight)}} left ({frac {z} {2}} ight) ^ {2m + alpha +1},}$

куда Γ (z) это гамма-функция.

Модифицированные функции Струве, обозначенные L_ν(z), имеют следующий вид степенного ряда

${displaystyle mathbf {L} _ {u} (z) = left ({frac {z} {2}} ight) ^ {u +1} sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1} { Гамма слева ({frac {3} {2}} + kight) Гамма слева ({frac {3} {2}} + k + u ight)}} left ({frac {z} {2}} ight) ^ { 2k}.}$

Интегральная форма

Другое определение функции Струве для значений α удовлетворение Re (α) > − 1/2, можно выразить через интегральное представление Пуассона:

${displaystyle mathbf {H} _ {alpha} (x) = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac { 1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {1} (1-t ^ {2}) ^ {alpha - {frac {1} {2}}} sin xt ~ dt = {frac { 2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ { frac {pi} {2}} sin (xcos au) sin ^ {2alpha} au ~ d au = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi} } Гамма слева (альфа + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {frac {pi} {2}} sin (xsin au) cos ^ {2alpha} au ~ d au}$

${displaystyle mathbf {K} _ {alpha} (x) = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac { 1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {infty} (1 + t ^ {2}) ^ {alpha - {frac {1} {2}}} e ^ {- xt} ~ dt = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ { 0} ^ {infty} e ^ {- xsinh au} cosh ^ {2alpha} au ~ d au}$

${displaystyle mathbf {L} _ {alpha} (x) = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac { 1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {1} (1-t ^ {2}) ^ {alpha - {frac {1} {2}}} sinh xt ~ dt = {frac { 2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ { frac {pi} {2}} sinh (xcos au) sin ^ {2alpha} au ~ d au = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi} } Гамма слева (альфа + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {frac {pi} {2}} sinh (xsin au) cos ^ {2alpha} au ~ d au}$

${displaystyle mathbf {M} _ {alpha} (x) = - {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {1} (1-t ^ {2}) ^ {alpha - {frac {1} {2}}} e ^ {- xt} ~ dt = - {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {frac {pi} {2}} e ^ {- xcos au} sin ^ {2alpha} au ~ d au = - {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ { alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {frac {pi} {2}} e ^ {- xsin au} cos ^ {2alpha} au ~ d au}$

Асимптотические формы

Для малых Иксдается разложение в степенной ряд над.

Для больших Икс, получаем:

${displaystyle mathbf {H} _ {alpha} (x) -Y_ {alpha} (x) = {frac {left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha -1}} {{sqrt {pi }} Гамма слева (альфа + {frac {1} {2}} ight)}} + Oleft (left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha -3} ight),}$

куда Y_α(Икс) это Функция Неймана.

Характеристики

Функции Струве удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям:

${displaystyle {egin {align} mathbf {H} _ {alpha -1} (x) + mathbf {H} _ {alpha +1} (x) & = {frac {2alpha} {x}} mathbf {H} _ {alpha} (x) + {frac {left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {3} {2}} ight) )}}, mathbf {H} _ {alpha -1} (x) -mathbf {H} _ {alpha +1} (x) & = 2 {frac {d} {dx}} left (mathbf {H} _ {alpha} (x) ight) - {frac {left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {3} {2 }} ight)}}. конец {выровнено}}}$

Отношение к другим функциям

Функции Струве целого порядка можно выразить через Функции Вебера E_п и наоборот: если п является неотрицательным целым числом, тогда

${displaystyle {egin {align} mathbf {E} _ {n} (z) & = {frac {1} {pi}} sum _ {k = 0} ^ {leftlfloor {frac {n-1} {2}} ightfloor} {frac {Гамма слева (k + {frac {1} {2}} ight) left ({frac {z} {2}} ight) ^ {n-2k-1}} {Гамма слева (n-k + { frac {1} {2}} ight)}} - mathbf {H} _ {n} (z), mathbf {E} _ {- n} (z) & = {frac {(-1) ^ {n +1}} {pi}} sum _ {k = 0} ^ {leftlfloor {frac {n-1} {2}} ightfloor} {frac {Gamma (nk- {frac {1} {2}}) left ( {frac {z} {2}} ight) ^ {- n + 2k + 1}} {Гамма слева (k + {frac {3} {2}} ight)}} - mathbf {H} _ {- n} ( z) .end {выровнен}}}$

Струве функции порядка п + 1/2 куда п является целым числом, может быть выражено через элементарные функции. В частности, если п является неотрицательным целым числом, тогда

${displaystyle mathbf {H} _ {- n- {frac {1} {2}}} (z) = (- 1) ^ {n} J_ {n + {frac {1} {2}}} (z), }$

где правая часть - это сферическая функция Бесселя.

Функции Струве (любого порядка) можно выразить через обобщенная гипергеометрическая функция ₁F₂ (который нет гипергеометрическая функция Гаусса ₂F₁):

${displaystyle mathbf {H} _ {alpha} (z) = {frac {z ^ {alpha +1}} {2 ^ {alpha} {sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {3} {2} } ight)}} {} _ {1} F_ {2} left (1, {frac {3} {2}}, alpha + {frac {3} {2}}, - {frac {z ^ {2}) } {4}} ight).}$

Рекомендации

• Р. М. Аартс и Август Дж. Э. М. Янссен (2003). «Аппроксимация функции Струве. ЧАС₁ возникающие при расчетах импеданса ". J. Acoust. Soc. Являюсь. 113 (5): 2635–2637. Bibcode:2003ASAJ..113.2635A. Дои:10.1121/1.1564019. PMID 12765381.
• Р. М. Аартс и Август Дж. Э. М. Янссен (2016). «Эффективное приближение функций Струве. ЧАС_п возникающие при расчете величин звукового излучения ». J. Acoust. Soc. Являюсь. 140 (6): 4154–4160. Bibcode:2016ASAJ..140.4154A. Дои:10.1121/1.4968792. PMID 28040027.
• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 12». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 496. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. МИСТЕР 0167642. LCCN 65-12253.
• Иванов, А. Б. (2001) [1994], «Функция Струве», Энциклопедия математики, EMS Press
• Пэрис, Р. Б. (2010), «Функция Струве», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МИСТЕР 2723248
• Струве, Х. (1882). "Beitrag zur Theorie der Diffraction an Fernröhren". Annalen der Physik und Chemie. 17 (13): 1008–1016. Bibcode:1882АнП ... 253.1008С. Дои:10.1002 / andp.18822531319.

внешняя ссылка

• Функции Струве в сайт функций Wolfram.