WikiDer > Суперпуанкаре алгебра

Super-Poincaré algebra

В теоретическая физика, а суперпуанкаре алгебра является продолжением Алгебра Пуанкаре включить суперсимметрия, связь между бозоны и фермионы. Они примеры алгебры суперсимметрии (без центральные сборы или внутренние симметрии) и являются Супералгебры Ли. Таким образом, суперпуанкаре алгебра является Z₂-квалифицированный векторное пространство с градуированной скобкой Ли такой, что четная часть является Алгебра Ли содержащую алгебру Пуанкаре, а нечетная часть построена из спиноры на котором есть антикоммутационное отношение со значениями в четной части.

Неформальный набросок

Алгебра Пуанкаре описывает изометрии Пространство-время Минковского. От теория представлений группы Лоренца, известно, что группа Лоренца допускает два неэквивалентных комплексных спинорных представления, получивших название ${ displaystyle 2}$ и ${ displaystyle { overline {2}}}$ .^{[nb 1]} Принимая их тензорное произведение, получается ${ displaystyle 2 otimes { overline {2}} = 3 oplus 1}$ ; такие разложения тензорных произведений представлений на прямые суммы дается Правило Литтлвуда-Ричардсона.

Обычно такое разложение трактуется как относящееся к определенным частицам: так, например, пион, что является хиральный векторная частица, состоит из кварк-антикварковая пара. Однако можно было также определить ${ displaystyle 3 oplus 1}$ с самим пространством-временем Минковского. Это приводит к естественному вопросу: принадлежит ли пространство-время Минковского присоединенное представительство, то можно продолжить симметрию Пуанкаре на фундаментальное представление? Что ж, может: это в точности алгебра суперпуанкаре. Возникает соответствующий экспериментальный вопрос: если мы живем в присоединенном представлении, то где же прячется фундаментальное представление? Это программа суперсимметрия, что экспериментально не обнаружено.

История

Алгебра Суперпуанкаре была впервые предложена в контексте теории Теорема Хаага – Лопушанского – Сониуса, как средство избежать выводов Теорема Коулмана – Мандулы. То есть теорема Коулмана – Мандулы - это запретная теорема, которая утверждает, что алгебра Пуанкаре не может быть расширена дополнительными симметриями, которые могут описывать внутренние симметрии наблюдаемого спектра физических частиц. Однако теорема Коулмана – Мандулы предполагала, что расширение алгебры будет осуществляться с помощью коммутатора; этого предположения и, следовательно, теоремы можно избежать, рассматривая антикоммутатор, то есть используя антикоммутирующий Числа Грассмана. Предложение заключалось в рассмотрении алгебра суперсимметрии, определяемый как полупрямой продукт из центральное расширение супер-алгебры Пуанкаре компактным Алгебра Ли внутренних симметрий.

Определение

Простейшее суперсимметричное расширение алгебры Пуанкаре содержит два Спиноры Вейля со следующим антикоммутационным соотношением:

{ displaystyle {Q _ { alpha}, { bar {Q}} _ { dot { beta}} } = 2 { sigma ^ { mu}} _ { alpha { dot { beta }}} P _ { mu}}

и все другие антикоммутационные отношения между Qs и пs исчезают.^[1] В приведенном выше выражении ${ displaystyle P _ { mu}}$ генераторы перевода и ${ Displaystyle sigma ^ { mu}}$ являются Матрицы Паули. Индекс ${ displaystyle alpha}$ пробегает ценности ${ displaystyle alpha = 1,2.}$ Над индексом ставится точка ${ displaystyle { dot { beta}}}$ напомнить, что этот индекс преобразуется в соответствии с неэквивалентным сопряженным спинорным представлением; нельзя случайно сжимать эти два типа индексов. Матрицы Паули можно рассматривать как прямое проявление Правило Литтлвуда-Ричардсона упоминалось ранее: они указывают, как тензорное произведение ${ displaystyle 2 otimes { overline {2}}}$ двух спиноров можно перевыразить в виде вектора. Индекс ${ displaystyle mu}$ конечно колеблется в измерениях пространства-времени ${ displaystyle mu = 0,1,2,3.}$

С ним удобно работать Спиноры Дирака вместо спиноров Вейля; спинор Дирака можно рассматривать как элемент ${ displaystyle 2 oplus { overline {2}}}$ ; он состоит из четырех компонентов. В Матрицы Дирака таким образом, также четырехмерны и могут быть выражены как прямые суммы матриц Паули. Тогда тензорное произведение дает алгебраическое отношение к Метрика Минковского ${ displaystyle g ^ { mu nu}}$ что выражается как:

{ Displaystyle { gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu} } = 2g ^ { mu nu}}

и

{ displaystyle sigma ^ { mu nu} = { frac {i} {2}} left [ gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu} right]}

Тогда это дает полную алгебру^[2]

{ displaystyle { begin {align} left [M ^ { mu nu}, Q _ { alpha} right] & = { frac {1} {2}} ( sigma ^ { mu nu }) _ { alpha} ^ {; ; beta} Q _ { beta} left [Q _ { alpha}, P ^ { mu} right] & = 0 {Q_ { alpha}, { bar {Q}} _ { dot { beta}} } & = 2 ( sigma ^ { mu}) _ { alpha { dot { beta}}} P _ { му} конец {выровнено}}}

которые должны быть объединены с обычными Алгебра Пуанкаре. Это замкнутая алгебра, поскольку все Тождества Якоби удовлетворены и могут иметь явные матричные представления. Следуя этой логике рассуждений, мы супергравитация.

SUSY в пространстве-времени Минковского 3 + 1

В $(3 + 1)$ Минковского, пространство-время Теорема Хаага – Лопушанского – Сониуса утверждает, что SUSY-алгебра с N спинорными генераторами выглядит следующим образом.

Четная часть звездная супералгебра Ли прямая сумма Алгебра Пуанкаре и редуктивная алгебра Ли B (такая, что его самосопряженная часть является касательным пространством вещественной компактной группы Ли). Нечетная часть алгебры была бы

{ displaystyle left ({ frac {1} {2}}, 0 right) время V oplus left (0, { frac {1} {2}} right) время V ^ {* }}

куда ${ Displaystyle (1 / 2,0)}$ и ${ Displaystyle (0,1 / 2)}$ являются конкретными представлениями алгебры Пуанкаре. (По сравнению с обозначениями, использованными ранее в статье, они соответствуют ${ displaystyle { overline {2}} oplus 1}$ и ${ displaystyle 1 oplus 2}$ , соответственно, также см. сноску, где были введены предыдущие обозначения). Оба компонента сопряжены друг с другом при спряжении *. V является N-мерное комплексное представление B и V^* это его двойное представительство. Скобка Ли для нечетной части задается симметричным эквивариантный соединение {.,.} в нечетной части со значениями в четной части. В частности, его уменьшенное переплетение из ${ displaystyle [({ frac {1} {2}}, 0) otimes V] otimes [(0, { frac {1} {2}}) otimes V ^ {*}]}$ к идеальный алгебры Пуанкаре, порожденной переводами, задается как произведение ненулевого сплетника из ${ displaystyle ({ frac {1} {2}}, 0) otimes (0, { frac {1} {2}})}$ в (1 / 2,1 / 2) "сплетением сжатия" из ${ displaystyle V otimes V ^ {*}}$ к тривиальное представление. С другой стороны, его уменьшенное переплетение из ${ displaystyle [({ frac {1} {2}}, 0) otimes V] otimes [({ frac {1} {2}}, 0) otimes V]}$ является продуктом (антисимметричного) сплетения из ${ displaystyle ({ frac {1} {2}}, 0) otimes ({ frac {1} {2}}, 0)}$ to (0,0) и антисимметричный сплетник А из ${ displaystyle N ^ {2}}$ к B. Сопрягайте его, чтобы получить соответствующий случай для другой половины.

N = 1

B сейчас ${ Displaystyle и (1)}$ (называется R-симметрией) и V это одномерное представление ${ Displaystyle и (1)}$ с обвинять 1. А (определяемый выше сплетник) должен быть равен нулю, поскольку он антисимметричен.

На самом деле существует две версии N = 1 SUSY, один без ${ Displaystyle и (1)}$ (т.е. B нульмерна), а другая - с ${ Displaystyle и (1)}$ .

N = 2

B сейчас ${ Displaystyle су (2) oplus u (1)}$ и V представляет собой двумерное дублетное представление ${ displaystyle su (2)}$ с нулем ${ Displaystyle и (1)}$ обвинять. Сейчас же, А является ненулевым сплетником ${ Displaystyle и (1)}$ часть B.

В качестве альтернативы, V может быть двумерным дублетом с ненулевым ${ Displaystyle и (1)}$ обвинять. В этом случае, А должно быть равно нулю.

Еще одна возможность - позволить B быть ${ displaystyle u (1) _ {A} oplus u (1) _ {B} oplus u (1) _ {C}}$ . V инвариантен относительно ${ displaystyle u (1) _ {B}}$ и ${ displaystyle u (1) _ {C}}$ и распадается на одномерное повторение с ${ displaystyle u (1) _ {A}}$ заряд 1 и еще 1D повтор с зарядом -1. Спутник А было бы сложно с отображением реальной части на ${ displaystyle u (1) _ {B}}$ и отображение мнимой части на ${ displaystyle u (1) _ {C}}$ .

Или мы могли бы B будучи ${ Displaystyle су (2) oplus u (1) _ {A} oplus u (1) _ {B}}$ с V быть дублетом ${ displaystyle su (2)}$ с нуля ${ Displaystyle и (1)}$ обвинения и А являясь сложным переплетением с отображением реальной части на ${ displaystyle u (1) _ {A}}$ а мнимая часть ${ displaystyle u (1) _ {B}}$ .

Это даже не исчерпывает всех возможностей. Мы видим, что существует более одного N = 2 суперсимметрия; аналогично, SUSY для N > 2 тоже не уникальны (на самом деле становится только хуже).

N = 3

Теоретически это допустимо, но мультиплетная структура автоматически становится такой же, как у мультиплета. N= 4 суперсимметричная теория. Так что это реже обсуждается по сравнению с N= 1,2,4 версии.

N = 4

Это максимальное количество наддув в теории без гравитации.

SUSY в различных измерениях

В измерениях 0 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 6 + 1, 7 + 1, 8 + 1, 10 + 1 и т. Д. Алгебра SUSY классифицируется положительным целым числомN.

В измерениях 1 + 1, 5 + 1, 9 + 1 и т. Д. Алгебра SUSY классифицируется двумя неотрицательными целыми числами (M, N), хотя бы один из которых отличен от нуля. M представляет количество левосторонних SUSY и N представляет количество правосторонних SUSY.

Причина этого кроется в реальных условиях спиноры.

В дальнейшем d = 9 означает d = 8 + 1 в сигнатуре Минковского и т. Д. Структура алгебры суперсимметрии в основном определяется числом фермионных генераторов, то есть числом N умноженное на реальную размерность спинора в d Габаритные размеры. Это потому, что можно легко получить алгебру суперсимметрии более низкой размерности из алгебры более высокой размерности с помощью уменьшения размерности.

d = 11

Единственный пример - это N = 1 суперсимметрия с 32 перезарядами.

d = 10

Из d = 11, N = 1 SUSY, получаем N = (1, 1) нехиральная SUSY-алгебра, которую также называют суперсимметрией типа IIA. Есть также N = (2, 0) SUSY-алгебра, которая называется суперсимметрией типа IIB. У обоих по 32 наддува.

N = (1, 0) SUSY-алгебра с 16 суперзарядами является минимальной алгеброй Susy в 10 измерениях. Это также называется суперсимметрией типа I. Тип IIA / IIB / I теория суперструн имеет соответствующее имя SUSY-алгебру. Алгебра суперсимметрии гетеротических суперструн - это алгебра типа I.

Замечания

^ Представления с чертой являются сопряженными линейными, а без черточки - комплексными линейными. Цифра указывает на размер пространство представления. Еще одно более распространенное обозначение - написать $( 1 ⁄ 2, 0)$ и $(0, 1 ⁄ 2)$ соответственно для этих представлений. Общее неприводимое представление тогда $(м, п)$ , куда $м, н$ являются полуцелыми и физически соответствуют спиновому содержанию представления, которое изменяется от $| м + п | к | м - п |$ с целочисленными шагами, каждое вращение происходит ровно один раз.

Navigation