WikiDer > Алгебры суперсимметрии в размерностях 1 + 1

Двумерный Пространство Минковского, то есть плоское пространство с одним временным и одним пространственным измерением, имеет двумерное Группа Пуанкаре IO (1,1) как его группа симметрии. Соответствующие Алгебра Ли называется Алгебра Пуанкаре. Эту алгебру можно продолжить до алгебра суперсимметрии, что является ${displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$-квалифицированный Супералгебра Ли. Наиболее распространенные способы сделать это обсуждаются ниже.

${displaystyle {mathcal {N}} = (2,2)}$ алгебра

Пусть алгебра Ли IO (1,1) порождается следующими образующими:

• ${displaystyle H = P_ {0}}$ генератор перевода времени,
• ${displaystyle P = P_ {1}}$ генератор пространственного переноса,
• ${displaystyle M = M_ {01}}$ является генератором Лоренц усиливает.

Коммутаторы между этими генераторами см. Алгебра Пуанкаре.

В ${displaystyle {mathcal {N}} = (2,2)}$ алгебра суперсимметрии над этим пространством является суперсимметричное расширение этой алгебры Ли с четырьмя дополнительными образующими (наддув) ${displaystyle Q _ {+} ,, Q _ {-} ,, {overline {Q}} _ {+} ,, {overline {Q}} _ {-}}$, которые являются нечетными элементами супералгебры Ли. При преобразованиях Лоренца образующие ${displaystyle Q _ {+}}$ и ${displaystyle {overline {Q}} _ {+}}$ трансформироваться как левша Спиноры Вейля, пока ${displaystyle Q _ {-}}$ и ${displaystyle {overline {Q}} _ {-}}$ трансформируются как правые спиноры Вейля. Алгебра задается алгеброй Пуанкаре плюс^[1]:283

${displaystyle {egin {выравнивается} & {egin {выравнивается} & Q _ {+} ^ {2} = Q _ {-} ^ {2} = {overline {Q}} _ {+} ^ {2} = {overline {Q }} _ {-} ^ {2} = 0, & {Q_ {pm}, {overline {Q}} _ {pm}} = Hpm P, end {выровнено}} & {egin {выровнено} & {{overline {Q}} _ {+}, {overline {Q}} _ {-}} = Z, && {Q _ {+}, Q _ {-}} = Z ^ {*}, & {Q_ { -}, {overline {Q}} _ {+}} = {ilde {Z}}, && {Q _ {+}, {overline {Q}} _ {-}} = {ilde {Z}} ^ {* }, & {[iM, Q_ {pm}]} = mp Q_ {pm}, && {[iM, {overline {Q}} _ {pm}]} = mp {overline {Q}} _ {pm} , конец {выровнен}} конец {выровнен}}}$

где все остальные коммутаторы обращаются в нуль, и ${displaystyle Z}$ и ${displaystyle {ilde {Z}}}$ сложные центральные сборы. Наддувы связаны через ${displaystyle Q_ {pm} ^ {dagger} = {overline {Q}} _ {pm}}$. ${displaystyle H}$, ${displaystyle P}$, и ${displaystyle M}$ находятся Эрмитский.

Подалгебры ${displaystyle {mathcal {N}} = (2,2)}$ алгебра

В ${displaystyle {mathcal {N}} = (0,2)}$ и ${displaystyle {mathcal {N}} = (2,0)}$ подалгебры

В ${displaystyle {mathcal {N}} = (0,2)}$ подалгебра получается из ${displaystyle {mathcal {N}} = (2,2)}$ алгебры путем удаления образующих ${displaystyle Q _ {-}}$ и ${displaystyle {overline {Q}} _ {-}}$. Таким образом, его антикоммутационные соотношения задаются формулой^[1]:289

${displaystyle {egin {align} & Q _ {+} ^ {2} = {overline {Q}} _ {+} ^ {2} = 0, & {Q _ {+}, {overline {Q}} _ {+ }} = H + P end {выровнено}}}$

плюс коммутационные соотношения выше, которые не включают ${displaystyle Q _ {-}}$ или же ${displaystyle {overline {Q}} _ {-}}$. Оба генератора являются левыми спинорами Вейля.

Точно так же ${displaystyle {mathcal {N}} = (2,0)}$ подалгебра получается удалением ${displaystyle Q _ {+}}$ и ${displaystyle {overline {Q}} _ {+}}$ и выполняет

${displaystyle {egin {align} & Q _ {-} ^ {2} = {overline {Q}} _ {-} ^ {2} = 0, & {Q _ {-}, {overline {Q}} _ {- }} = HP. End {выравнивается}}}$

Оба генератора наддува праворукие.

В ${displaystyle {mathcal {N}} = (1,1)}$ подалгебра

В ${displaystyle {mathcal {N}} = (1,1)}$ подалгебра порождается двумя образующими ${displaystyle Q _ {+} ^ {1}}$ и ${displaystyle Q _ {-} ^ {1}}$ данный

${displaystyle {egin {align} Q_ {pm} ^ {1} = e ^ {iu _ {pm}} Q_ {pm} + e ^ {- iu _ {pm}} {overline {Q}} _ {pm} конец {выровнен}}}$для двух действительных чисел ${displaystyle u _ {+}}$и ${displaystyle u _ {-}}$.

По определению действительны оба наддува, т.е. ${displaystyle (Q_ {pm} ^ {1}) ^ {dagger} = Q_ {pm} ^ {1}}$. Они трансформируются как Спиноры Майораны-Вейля при преобразованиях Лоренца. Их антикоммутационные соотношения задаются выражением^[1]:287

${displaystyle {egin {align} & {Q_ {pm} ^ {1}, Q_ {pm} ^ {1}} = 2 (Hpm P), & {Q _ {+} ^ {1}, Q _ {-} ^ {1}} = Z ^ {1}, конец {выровнен}}}$

куда ${displaystyle Z ^ {1}}$ это настоящая центральная плата.

В ${displaystyle {mathcal {N}} = (0,1)}$ и ${displaystyle {mathcal {N}} = (1,0)}$ подалгебры

Эти алгебры могут быть получены из ${displaystyle {mathcal {N}} = (1,1)}$ подалгебра, удалив ${displaystyle Q _ {-} ^ {1}}$ соотв. ${displaystyle Q _ {+} ^ {1}}$от генераторов.

Смотрите также

• Суперсимметрия
• Суперпуанкаре алгебра (в размерностях 1 + 3)

Рекомендации

• К. Схоутенс, Суперсимметрия и факторизованное рассеяние, Nucl.Phys. B344, 665–695, 1990
• T.J. Холловуд, Э. Маврикис, N = 1 суперсимметричный бутстрап и алгебры Ли, Nucl. Phys. B484, 631–652, 1997, arXiv: hep-th / 9606116