WikiDer > Т-норма

T-norm

В математика, а t-норма (также Т-норма или, без сокращений, треугольная норма) является своего рода бинарная операция используется в рамках вероятностные метрические пространства И в многозначная логикаособенно в нечеткая логика. T-норма обобщает пересечение в решетка и соединение в логика. Название треугольная норма относится к тому факту, что в рамках вероятностных метрических пространств t-нормы используются для обобщения неравенство треугольника обычных метрические пространства.

Определение

T-норма - это функция T: [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], который удовлетворяет следующим свойствам:

Поскольку t-норма - это бинарная алгебраическая операция на интервале [0, 1] также распространены инфиксные алгебраические обозначения, при этом t-норма обычно обозначается через.

Определяющие условия t-нормы в точности соответствуют условиям частично упорядоченного абелева моноида на вещественном единичном интервале [0, 1]. (См.упорядоченная группа.) Моноидальная операция любого частично упорядоченного абелева моноида L поэтому некоторые авторы называют треугольная норма на L.

Мотивы и приложения

T-нормы являются обобщением обычных двузначных логическое соединение, изучаемых классической логикой, для нечеткая логика. Действительно, классическая булева конъюнкция коммутативна и ассоциативна. Свойство монотонности гарантирует, что степень правды соединения не уменьшается, если ценности истины союзов увеличиваются. Требование, чтобы 1 был тождественным элементом, соответствует интерпретации 1 как истинный (и, следовательно, 0 при ложный). Непрерывность, которая часто требуется и от нечеткого соединения, выражает идею о том, что, грубо говоря, очень небольшие изменения истинностных значений конъюнктов не должны макроскопически влиять на истинностное значение их соединения.

T-нормы также используются для построения пересечение из нечеткие множества или в качестве основы для операторов агрегирования (см. операции с нечеткими множествами). В вероятностные метрические пространства, t-нормы используются для обобщения неравенство треугольника обычных метрических пространств. Индивидуальные t-нормы, конечно, могут часто встречаться в дальнейших дисциплинах математики, так как класс содержит много знакомых функций.

Классификация t-норм

T-норма называется непрерывный если это непрерывный как функция, в обычной интервальной топологии на [0, 1]2. (Аналогично для оставили- и право-непрерывность.)

T-норма называется строгий если он непрерывен и строго монотонный.

T-норма называется нильпотентный если он непрерывен и каждый Икс в открытом интервале (0, 1) его нильпотентный элемент, т.е. есть натуральное число п такой, что Икс ... Икс (п раз) равно 0.

T-норма называется Архимедов если у него есть Архимедова собственность, т.е. если для каждого Икс, у в открытом интервале (0, 1) есть натуральное число п такой, что Икс ... Икс (п раз) меньше или равно у.

Обычное частичное упорядочение t-норм поточечное, т. Е.

Т1 ≤ т2 Если T1(а, б) ≤ T2(а, б) для всех а, б в [0, 1].

Как функции, поточечные большие t-нормы иногда называют сильнее чем те точечно меньшие. Однако в семантике нечеткой логики чем больше t-норма, тем слабее (с точки зрения логической силы) соединение, которое оно представляет.

Выдающиеся примеры

График минимальной t-нормы (3D и контуры)
  • Минимальная t-норма также называется Т-норма Гёделя, поскольку это стандартная семантика для конъюнкции в Нечеткая логика Гёделя. Кроме того, он встречается в большинстве нечетких логик, основанных на t-норме, как стандартная семантика для слабой конъюнкции. Это поточечная наибольшая t-норма (см. свойства t-норм ниже).
График t-нормы продукта
  • T-норма продукта (обычное произведение действительных чисел). Помимо других применений, t-норма продукта является стандартной семантикой для сильной конъюнкции в нечеткая логика продукта. Это строгая архимедова t-норма.
График t-нормы Лукасевича
  • Лукасевич t-норма Название происходит от того факта, что t-норма является стандартной семантикой для сильной конъюнкции в Нечеткая логика Лукасевича. Это нильпотентная архимедова t-норма, поточечно меньшая, чем t-норма произведения.
График резкой t-нормы. Функция разрывна на линиях 0 < Икс = 1 и 0 < у = 1.
  • Резкая t-норма
Название отражает тот факт, что экстремальная t-норма - это поточечно наименьшая t-норма (см. свойства t-норм ниже). Это непрерывная справа архимедова t-норма.
График нильпотентного минимума. Функция разрывная на прямой 0 < Икс = 1 − у < 1.
  • Нильпотентный минимум
является стандартным примером t-нормы, которая непрерывна слева, но не непрерывна. Несмотря на свое название, нильпотентный минимум не является нильпотентной t-нормой.
График продукта Hamacher
  • Продукция Hamacher
является строгой архимедовой t-нормой и важным представителем параметрических классов Т-нормы Hamacher и T-нормы Швейцера – Склара.

Свойства t-норм

Резкая t-норма - это поточечная наименьшая t-норма, а минимальная - поточечная наибольшая t-норма:

для любой t-нормы и все а, б в [0, 1].

Для каждой t-нормы T число 0 действует как нулевой элемент: T (а, 0) = 0 для всех а в [0, 1].

T-норма T имеет делители нуля если и только если у него есть нильпотентный элементы; каждый нильпотентный элемент T также является делителем нуля T. Множество всех нильпотентных элементов представляет собой интервал [0,а] или [0,а), для некоторых а в [0, 1].

Свойства непрерывных t-норм

Хотя действительные функции двух переменных могут быть непрерывными по каждой переменной, но не по [0, 1]2, это не относится к t-нормам: t-норма T непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна по одной переменной, т. е. тогда и только тогда, когда функции жу(Икс) = Т (Икс, у) непрерывны для каждого у в [0, 1]. Аналогичные теоремы верны для непрерывности t-нормы слева и справа.

Непрерывная t-норма архимедова тогда и только тогда, когда 0 и 1 являются ее единственными идемпотенты.

Непрерывная архимедова t-норма является строгой, если 0 является ее единственным нильпотентный элемент; в противном случае он нильпотентен. Более того, по определению непрерывная архимедова t-норма T нильпотентна тогда и только тогда, когда каждый Икс <1 является нильпотентным элементом T. Таким образом, с непрерывной архимедовой t-нормой T либо все, либо ни один из элементов (0, 1) нильпотентны. Если все элементы в (0, 1) нильпотентны, то t-норма изоморфна t-норме Лукасевича; т.е. существует строго возрастающая функция ж такой, что

С другой стороны, если в T нет нильпотентных элементов, t-норма изоморфна t-норме произведения. Другими словами, все нильпотентные t-нормы изоморфны, t-норма Лукасевича является их прототипическим представителем; и все строгие t-нормы изоморфны, а t-норма произведения является их прототипом. T-норма Лукасевича сама изоморфна t-норме произведения с подрезкой в ​​0,25, т. Е. Функции п(Иксу) = макс (0,25, Икс · у) на [0.25, 1]2.

Для каждой непрерывной t-нормы множество ее идемпотентов является замкнутым подмножеством [0, 1]. Его дополнение - множество всех элементов, которые не являются идемпотентными, - поэтому объединение счетного числа неперекрывающихся открытых интервалов. Ограничение t-нормы на любой из этих интервалов (включая его конечные точки) архимедово и, следовательно, изоморфно t-норме Лукасевича или t-норме произведения. Для таких Икс, у которые не попадают в тот же открытый интервал неидемпотентов, t-норма оценивается как минимум Икс и у. Эти условия фактически дают характеристику непрерывных t-норм, называемых Теорема Мостерта – Шилдса, так как таким образом может быть разложена всякая непрерывная t-норма, и описанная конструкция всегда дает непрерывную t-норму. Теорема также может быть сформулирована следующим образом:

T-норма непрерывна тогда и только тогда, когда она изоморфна порядковая сумма минимума, Лукасевича и t-нормы произведения.

Аналогичная характеризационная теорема для прерывных t-норм неизвестна (даже для непрерывных слева), только некоторые неисчерпывающие методы для построение t-норм были найдены.

Остаток

Для любой непрерывной слева t-нормы , есть уникальная бинарная операция на [0, 1] такие, что

если и только если

для всех Икс, у, z в [0, 1]. Эта операция называется остаток t-нормы. В префиксной записи остаток до t-нормы часто обозначается как или буквой Р.

Интервал [0, 1], снабженный t-нормой и его остатком, образует остаточная решетка. Отношение между t-нормой T и ее остатком R является примером примыкание (в частности, Связь Галуа): остаток образует правый сопряженный R (Икс, -) к функтору T (-, Икс) для каждого Икс в решетке [0, 1], взятой в качестве категория poset.

В стандартной семантике нечетких логик, основанных на t-норме, где конъюнкция интерпретируется t-нормой, остаток играет роль импликации (часто называемой R-импликация).

Основные свойства остатка

Если является вычетом непрерывной слева t-нормы , тогда

Следовательно, для всех Икс, у в единичном интервале,

если и только если

и

Если является непрерывной слева t-нормой и его остаток, то

Если непрерывно, то в первом равенство выполняется.

Вычетов выдающихся непрерывных слева t-норм

Если Иксу, то R (Икс, у) = 1 для любого остатка R. Поэтому в следующей таблице приведены значения выдающегося остатка только для Икс > у.

ОстатокИмяЗначение для Икс > уГрафик
Минимальная t-нормаСтандартная импликация Гёделяу
Стандартная импликация Гёделя. Функция разрывная на линии у = Икс < 1.
T-норма продуктаГогуэн значениеу / Икс
Смысл Гогена. Функция разрывна в точке Икс = у = 0.
Лукасевич t-нормаСтандартная импликация Лукасевича1 – Икс + у
Стандартная импликация Лукасевича.
Нильпотентный минимуммакс (1 - Икс, у)
Остаток нильпотентного минимума. Функция разрывная на прямой 0 < у = Икс < 1.

Т-конормы

Т-конормы (также называемый S-нормы) двойственны t-нормам при операции изменения порядка, которая присваивает 1 - Икс к Икс на [0, 1]. Учитывая t-норму , дополнительная конорма определяется формулой

Это обобщает Законы де Моргана.

Отсюда следует, что t-конорма удовлетворяет следующим условиям, которые можно использовать для эквивалентного аксиоматического определения t-конорм независимо от t-норм:

  • Коммутативность: ⊥ (а, б) = ⊥(б, а)
  • Монотонность: ⊥ (а, б) ≤ ⊥(c, d) если аc и бd
  • Ассоциативность: ⊥ (а, ⊥(б, c)) = ⊥(⊥(а, б), c)
  • Элемент идентичности: ⊥ (а, 0) = а

Т-конормы используются для представления логическая дизъюнкция в нечеткая логика и союз в теория нечетких множеств.

Примеры т-конорм

Важными t-конормами являются те, которые двойственны известным t-нормам:

График максимальной t-конормы (3D и контуры)
  • Максимальный t-конорм , двойственная минимальной t-норме, является наименьшей t-конормой (см. свойства т-конорм ниже). Это стандартная семантика дизъюнкции в Нечеткая логика Гёделя и для слабой дизъюнкции во всех нечетких логиках, основанных на t-норме.
График вероятностной суммы
  • Вероятностная сумма двойственна t-норме произведения. В теория вероятности он выражает вероятность объединения независимых События. Это также стандартная семантика для сильной дизъюнкции в таких расширениях нечеткая логика продукта в которых она определима (например, содержащие инволютивное отрицание).
График t-конормы ограниченной суммы
  • Ограниченная сумма двойственна t-норме Лукасевича. Это стандартная семантика сильной дизъюнкции в Нечеткая логика Лукасевича.
График резкого т-конорма. На линиях 1> функция разрывная. Икс = 0 и 1> у = 0.
  • Резкий т-конорм
двойственная к радикальной t-норме, является наибольшей t-конормой (см. свойства т-конорм ниже).
График нильпотентного максимума. Функция разрывная на прямой 0 < Икс = 1 – у < 1.
  • Нильпотентный максимум, двойственный нильпотентному минимуму:
График суммы Эйнштейна
является двойником к одному из Т-нормы Hamacher.

Свойства т-конорм

Многие свойства t-конорм могут быть получены путем дуализации свойств t-норм, например:

  • Для любой t-конормы ⊥ число 1 является аннулирующим элементом: ⊥ (а, 1) = 1, для любого а в [0, 1].
  • По отношению к t-нормам все t-конормы ограничены максимумом и сильной t-конормой:
, для любого т-конорма и все а, б в [0, 1].

Дальнейшие свойства являются результатом отношений между t-нормами и t-конормами или их взаимодействием с другими операторами, например:

Т (Икс, ⊥(у, z)) = ⊥ (T (Икс, у), Т (Икс, z)) для всех Икс, у, z в [0, 1],
тогда и только тогда, когда ⊥ - максимальная t-конорма. Соответственно, любая t-конорма распределяется по минимуму, но не по любой другой t-норме.

Нестандартные отрицатели

А отрицатель это однообразный падение, я. е. отображение обратного порядка с и (в других обозначениях: и ). Негатор n называется

  • строгий в случае строгой монотонности
  • сильный если он строгий и инволютивный (см .: инволюция): .

Стандартный (канонический) отрицатель - это , который одновременно строг и силен. Поскольку в приведенном выше определении пары t-норма / t-конорма используется стандартный отрицатель, его можно обобщить следующим образом:

А Де Морган Триплет является тройкой (T, ⊥, n) если только (если и только если)

  1. T - t-норма
  2. ⊥ является t-конормой в соответствии с аксиоматическим определением t-конорм, упомянутым выше.
  3. n - сильный отрицатель
  4. .

[1]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Исмат Бег, Самина Ашраф: Меры подобия для нечетких множеств, at: Applied and Computational Mathematics, март 2009 г., доступно на Research Gate с 23 ноября 2016 г.
  • Клемент, Эрих Петер; Месияр, Радько; и Пап, Эндре (2000), Треугольные нормы. Дордрехт: Клувер. ISBN 0-7923-6416-3.
  • Гайек, Петр (1998), Метаматематика нечеткой логики. Дордрехт: Клувер. ISBN 0-7923-5238-6
  • Cignoli, Roberto L.O .; D'Ottaviano, Itala M.L .; и Мундичи, Даниэле (2000), Алгебраические основы многозначного мышления. Дордрехт: Клувер. ISBN 0-7923-6009-5
  • Фодор, Янош (2004), «Непрерывные слева t-нормы в нечеткой логике: обзор». Acta Polytechnica Hungarica 1(2), ISSN 1785-8860 [1]