WikiDer > Нечеткое множество
В математика, нечеткие множества (a.k.a. неопределенные множества) чем-то похожи наборы чья элементы иметь степени членства. Нечеткие множества были введены независимо Лотфи А. Заде и Дитер Клауа в 1965 г. как расширение классического понятия множества.[1][2]В то же время, Салий (1965) определил более общий вид структуры, названной L-отношение, которую он изучал в абстрактная алгебраическая контекст. Нечеткие отношения, которые теперь используются повсюду нечеткая математика и иметь приложения в таких областях, как лингвистика (Де Кок, Боденхофер и Керре 2000), принятие решений (Кузьмин 1982), и кластеризация (Бездек 1978), являются частными случаями L-отношения, когда L это единичный интервал [0, 1].
В классическом теория множеств, принадлежность элементов к набору оценивается в бинарных терминах в соответствии с двухвалентное состояние - элемент либо принадлежит, либо не принадлежит набору. Напротив, теория нечетких множеств позволяет постепенно оценивать принадлежность элементов к множеству; это описывается с помощью функция принадлежности ценится в настоящий единичный интервал [0, 1]. Нечеткие множества обобщают классические множества, так как индикаторные функции (так называемые характеристические функции) классических множеств являются частными случаями функций принадлежности нечетких множеств, если последние принимают только значения 0 или 1.[3] В теории нечетких множеств классические двухвалентные множества обычно называют хрустящий наборы. Теория нечетких множеств может использоваться в широком диапазоне областей, в которых информация является неполной или неточной, например биоинформатика.[4]
Определение
Нечеткое множество - это пара где это набор и функция принадлежности. Справочный набор (иногда обозначается как или ) называется вселенная дискурса, и для каждого Значение называется оценка членства в в . Функция называется функция принадлежности нечеткого множества .
Для конечного множества нечеткое множество часто обозначается как
Позволять потом называется
- не включено в нечетком множестве если (нет участника),
- полностью включены если (полноправный член),
- частично включен если (нечеткий член).[5]
(Четкое) множество всех нечетких множеств во вселенной обозначается (а иногда просто ).[6]
Для любого нечеткого множества и определены следующие четкие множества:
- называется его α-разрез (он же α-уровень)
- называется его сильный α-разрез (он же набор сильных α-уровней)
- называется его поддержка
- называется его ядро (или иногда ядро ).
Обратите внимание, что некоторые авторы понимают «ядро» иначе, см. Ниже.
Другие определения
- Нечеткое множество является пустой () если только (если и только если)
- Два нечетких множества и находятся равный () iff
- Нечеткое множество является включены в нечетком наборе () iff
- Для любого нечеткого множества , любой элемент это удовлетворяет
- называется точка пересечения.
- Для нечеткого множества A любое , для которого не пусто, называется уровень А.
- В набор уровней of A - это множество всех уровней представляющие собой четкие разрезы. Это целевой набор (он же диапазон или изображение) :
- Для нечеткого множества , его рост дан кем-то
- где обозначает супремум, существование которого известно, поскольку 1 - это верхняя граница. Если U конечно, мы можем просто заменить супремум на максимум.
- Нечеткое множество как говорят нормализованный если только
- В конечном случае, когда супремум максимален, это означает, что хотя бы один элемент нечеткого множества имеет полное членство. Непустое нечеткое множество может быть нормализовано с результатом разделив функцию принадлежности нечеткого множества на его высоту:
- Помимо сходства, это отличается от обычного нормализация в том, что нормализующая постоянная не является суммой.
- Для нечетких множеств действительных чисел (U ⊆ ℝ) с носителем верхняя и нижняя границы, то ширина определяется как
- Это всегда существует для ограниченного набора ссылок U, в том числе, когда U конечно.
- В случае, если является конечным или закрытый набор, ширина просто
- В n-мерном случае (U ⊆ ℝп) сказанное выше можно заменить n-мерным объемом .
- В общем, это можно определить при любом мера на U, например, интегрированием (например, Интеграция Лебега) из .
- Настоящий нечеткий набор (U ⊆ ℝ) называется выпуклый (в нечетком смысле, не путать с четким выпуклый набор), если и только если
- .
- Без ограничения общности мы можем взять x≤y, что дает эквивалентную формулировку
- .
- Это определение может быть расширено до одного для общего топологическое пространство U: мы говорим нечеткое множество является выпуклый когда для любого подмножества Z из U выполняется условие
- держит, где обозначает граница Z и обозначает образ набора Икс (Вот ) под функцией ж (Вот ).
Операции с нечеткими множествами
Хотя дополнение нечеткого множества имеет единственное наиболее распространенное определение, другие основные операции, объединение и пересечение, действительно имеют некоторую двусмысленность.
- Для данного нечеткого множества , его дополнять (иногда обозначается как или ) определяется следующей функцией принадлежности:
- .
- Пусть t будет t-норма, а s - соответствующая s-норма (также известная как t-конорма). Для пары нечетких множеств , их пересечение определяется:
- ,
- и их союз определяется:
- .
По определению t-нормы мы видим, что объединение и пересечение равны коммутативный, монотонный, ассоциативный, и оба значение NULL и элемент идентичности. Для пересечения это ∅ и U соответственно, а для объединения - наоборот. Однако объединение нечеткого множества и его дополнения может не привести к полному универсуму U, а их пересечение может не дать пустого множества ∅. Поскольку пересечение и объединение ассоциативны, естественно определить пересечение и объединение конечного семья нечетких множеств рекурсией.
- Если стандартный отрицатель заменяется другим сильный отрицатель, разность нечетких множеств можно обобщить следующим образом:
- Тройка нечеткого пересечения, объединения и дополнения образуют Де Морган Триплет. Это, Законы де Моргана распространяются на эту тройку.
- Примеры нечетких пар пересечений / объединений со стандартным отрицателем можно получить из примеров, приведенных в статье о t-нормы.
- Нечеткое пересечение, вообще говоря, не идемпотентно, поскольку стандартная t-норма min - единственная, которая обладает этим свойством. Действительно, если арифметическое умножение используется в качестве t-нормы, результирующая операция нечеткого пересечения не будет идемпотентной. То есть итеративное пересечение нечеткого множества с самим собой нетривиально. Вместо этого он определяет м-я степень нечеткого множества, которое можно канонически обобщить для нецелых показателей следующим образом:
- Для любого нечеткого множества и ν-я степень числа A определяется функцией принадлежности:
Случай экспоненты два достаточно особенный, чтобы дать ему имя.
- Для любого нечеткого множества то концентрация определено
Конечно, принимая , у нас есть и
- Данные нечеткие множества , нечеткое множество разница , также обозначается , можно определить напрямую через функцию принадлежности:
- что значит , е. г.:
- Другое предложение по разнице в наборах может быть:
- Предложения о различиях симметричных нечетких множеств были сделаны Дюбуа и Прад (1980) либо путем взятия абсолютного значения, что дает
- или используя комбинацию только max, min и стандартного отрицания, давая
- Аксиомы для определения обобщенных симметричных разностей, аналогичные аксиомам для t-норм, t-конорм и отрицателей, были предложены Вемуром и др. (2014) с предшественниками Alsina et. al. (2005) и Bedregal et. al. (2009).[7]
- В отличие от четких наборов, операции усреднения также могут быть определены для нечетких наборов.
Непересекающиеся нечеткие множества
В отличие от общей неоднозначности операций пересечения и объединения, для непересекающихся нечетких множеств существует ясность: два нечетких множества находятся непересекающийся если только
что эквивалентно
а также эквивалентен
Мы помним, что min / max - это пара t / s-norm, и любая другая пара также будет работать здесь.
Нечеткие множества не пересекаются, если их носители не пересекаются в соответствии со стандартным определением четких множеств.
Для непересекающихся нечетких множеств любое пересечение даст ∅, и любое объединение даст тот же результат, который обозначается как
с его функцией принадлежности, заданной
Обратите внимание, что только одно из обоих слагаемых больше нуля.
Для непересекающихся нечетких множеств верно следующее:
Это можно обобщить на конечные семейства нечетких множеств следующим образом: для данного семейства нечетких множеств с индексным набором I (например, I = {1,2,3, ... n}). Эта семья (попарно) непересекающиеся если только
Семейство нечетких множеств не пересекается, если семейство основных опор не пересекается в стандартном смысле для семейств четких множеств.
Независимо от пары t / s-норм, пересечение непересекающегося семейства нечетких множеств снова даст ∅, в то время как объединение не имеет двусмысленности:
с его функцией принадлежности, заданной
Снова только одно из слагаемых больше нуля.
Для непересекающихся семейств нечетких множеств верно следующее:
Скалярная мощность
Для нечеткого множества с конечным (т. е. «конечное нечеткое множество»), его мощность (он же скалярная мощность или сигма-счетчик) дан кем-то
- .
В случае, если само U - конечное множество, относительная мощность дан кем-то
- .
Это может быть обобщено для делителя, чтобы быть непустым нечетким множеством: для нечетких множеств с G ≠ ∅, мы можем определить относительная мощность от:
- ,
что очень похоже на выражение для условная возможность.Заметка:
- Вот.
- Результат может зависеть от конкретного выбранного пересечения (t-нормы).
- Для результат однозначен и напоминает предыдущее определение.
Расстояние и сходство
Для любого нечеткого множества функция принадлежности можно рассматривать как семью . Последний является метрическое пространство с несколькими показателями известный. Показатель может быть получен из норма (векторная норма) через
- .
Например, если конечно, т.е. е. , такая метрика может быть определена следующим образом:
- где и представляют собой последовательности действительных чисел от 0 до 1.
Для бесконечного , максимум можно заменить супремумом. Поскольку нечеткие множества однозначно определяются их функцией принадлежности, эту метрику можно использовать для измерения расстояний между нечеткими множествами в одной и той же вселенной:
- ,
что становится в приведенном выше примере:
Опять бесконечно максимум должен быть заменен супремумом. Другие расстояния (например, каноническая 2-норма) могут расходиться, если бесконечные нечеткие множества слишком разные, например, и .
Меры подобия (здесь обозначаются ) может быть получено из расстояния, e. г. по предложению Коци:
- если конечно, еще,
или после Уильямса и Стила:
- если конечно, еще
где - параметр крутизны и .[6]
Другое определение интервальных (скорее `` нечетких '') мер сходства также предоставляется Beg и Ashraf.[6]
L-нечеткие множества
Иногда используются более общие варианты понятия нечеткого множества, когда функции принадлежности принимают значения в (фиксированном или переменном). алгебра или структура определенного вида; обычно требуется, чтобы быть хотя бы посеть или решетка. Их обычно называют L-нечеткие множества, чтобы отличить их от тех, которые оцениваются в единичном интервале. Обычные функции принадлежности со значениями в [0, 1] тогда называются [0, 1] -значными функциями принадлежности. Подобные обобщения были впервые рассмотрены в 1967 г. Джозеф Гогуэн, который был учеником Заде.[8] Классическое следствие может указывать значения истинности и принадлежности с помощью {f, t} вместо {0,1}.
Расширение нечетких множеств было предоставлено Атанасовым и Баруахом. An интуиционистское нечеткое множество (IFS) характеризуется двумя функциями:
- 1. - степень принадлежности x
- 2. - степень непринадлежности к x
с функциями с участием
Это похоже на ситуацию, когда какой-то человек обозначен голосование
- для предложения : (),
- против этого: (),
- или воздержаться от голосования: ().
В конце концов, у нас есть процент одобрений, процент отказов и процент воздержавшихся.
Для этой ситуации могут быть предусмотрены специальные «интуитивно понятные нечеткие» отрицатели, t- и s-нормы. С участием и объединив обе функции для эта ситуация напоминает особый вид L-нечетких множеств.
Еще раз, это было расширено путем определения нечеткие наборы изображений (PFS) следующим образом: PFS A характеризуется тремя функциями, отображающими U в [0, 1]: , «степень положительного членства», «степень нейтрального членства» и «степень отрицательного членства» соответственно и дополнительное условие Это расширяет приведенную выше выборку голосования за счет дополнительной возможности «отказ в голосовании».
С участием и специальные "нечеткие изображения" отрицателей, t- и s-нормы, это похоже на другой тип L-нечетких множеств.[9][10]
Нейтрософные нечеткие множества
Концепция IFS была расширена до двух основных моделей. Двумя расширениями IFS являются нейтрософные нечеткие множества и пифагоровы нечеткие множества.[11]
Нейтрософские нечеткие множества были введены Смарандаче в 1998 году.[12] Как и IFS, нейтрософные нечеткие множества выполняют две предыдущие функции: одну для принадлежности и еще один за не членство . Основное отличие состоит в том, что у нейтрософных нечетких множеств есть еще одна функция: для неопределенных . Это значение указывает на степень неуверенности в том, что объект x принадлежит множеству. Эта концепция неопределенного value может быть особенно полезным, когда нельзя быть уверенным в значениях членства или отсутствия членства для элемента x.[13] Таким образом, нейтрософные нечеткие множества связаны со следующими функциями:
- 1. - степень принадлежности x
- 2. - степень непринадлежности к x
- 3. - степень неопределенности значения x
Пифагоровы нечеткие множества
Другое расширение IFS - это так называемые нечеткие множества Пифагора. Нечеткие множества Пифагора более гибкие, чем IFS. IFS основаны на ограничении: , что в некоторых случаях может рассматриваться как слишком ограничительное. Вот почему Ягер предложил концепцию нечетких пифагоровых множеств. Такие наборы удовлетворяют ограничению , что напоминает теорему Пифагора.[14][15][16] Нечеткие множества Пифагора могут быть применимы к реальным приложениям, в которых предыдущее условие не является допустимым. Однако менее ограничительное условие может быть подходящим для большего количества доменов.[11][13]
Нечеткая логика
Как продолжение случая многозначная логика, оценки () из пропозициональные переменные () в набор степеней принадлежности () можно рассматривать как функции принадлежности отображение предикаты на нечеткие множества (или, более формально, в упорядоченный набор нечетких пар, называемый нечетким отношением). С помощью этих оценок многозначная логика может быть расширена, чтобы учесть нечеткие предпосылки из которых можно сделать дифференцированные выводы.[17]
Это расширение иногда называют «нечеткой логикой в узком смысле» в отличие от «нечеткой логики в более широком смысле», которая возникла в инженерное дело поля автоматизированный контроль и инженерия знаний, и который охватывает множество тем, связанных с нечеткими множествами и «приближенными рассуждениями».[18]
Промышленные применения нечетких множеств в контексте «нечеткой логики в широком смысле» можно найти на нечеткая логика.
Нечеткое число и единственное число
А нечеткое число выпуклое нормированное нечеткое множество действительных чисел (U ⊆ ℝ), функция принадлежности которых хотя бы сегментарно непрерывный[требуется разъяснение] и имеет функциональное значение хотя бы один элемент.[3] Из-за предполагаемой выпуклости максимум (из 1) равен
- либо интервал: нечеткий интервал, его ядром является четкий интервал (средний интервал) с нижней границей
- и верхняя граница
- .
- или уникальный: нечеткое число, его ядро - одиночка; расположение максимума
- ℩ C (A) = ℩ (где ℩ читается как 'этот');
- который присвоит нечеткому числу "резкое" число в дополнение к параметрам нечеткости, таким как .
Нечеткие числа можно сравнить с ярмарка игра «угадай свой вес», где кто-то угадает вес участника, причем более точные предположения являются более правильными, и где угадающий «выигрывает», если он или она угадает достаточно близкий к весу участника, при этом фактический вес является полностью правильным (отображение на 1 функцией принадлежности).
А нечеткий интервал нечеткое множество с интервалом керна, т.е. е. средний интервал, элементы которого обладают значением функции принадлежности Последнее означает, что нечеткие интервалы - это нормированные нечеткие множества. Как и в случае с нечеткими числами, функция принадлежности должна быть выпуклой, нормализованной, по крайней мере, сегментарной. непрерывный.[19] Как и четкие интервалы, нечеткие интервалы могут достигать бесконечности. Ядро нечеткого интервала определяется как «внутренняя» часть без «исходящих» частей, где значение членства является постоянным до бесконечности. Другими словами, наименьшее подмножество где константа вне его, определяется как ядро.
Однако существуют и другие концепции нечетких чисел и интервалов, поскольку некоторые авторы не настаивают на выпуклости.
Нечеткие категории
Использование установить членство как ключевой компонент теория категорий можно обобщить на нечеткие множества. Этот подход, начатый в 1968 году вскоре после введения теории нечетких множеств,[20] привело к развитию Категории Гогуэна в 21 веке.[21][22] В этих категориях вместо использования членства в двухзначном множестве используются более общие интервалы, которые могут быть решетками, как в L-нечетких множествах.[22][23]
Уравнение нечеткой связи
Эта секция нужны дополнительные цитаты для проверка. (Ноябрь 2015) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В уравнение нечеткой связи является уравнением вида А · р = B, где А и B нечеткие множества, р является нечетким отношением, и А · р стоит за сочинение из А с участиемр[нужна цитата].
Энтропия
Мера нечеткости d для нечетких множеств вселенной должен выполнять следующие условия для всех :
- если это четкий набор:
- имеет уникальный максимум тогда и только тогда
- если только
- для и
- для ,
- что означает, что B более четкий, чем A.
В таком случае называется энтропия нечеткого множества A.
Для конечный энтропия нечеткого множества дан кем-то
- ,
или просто
где является Функция Шеннона (функция естественной энтропии)
и постоянная, зависящая от единицы измерения и основания логарифма (здесь: e) Физическая интерпретация k - это Постоянная Больцмана kB.
Позволять быть нечетким множеством с непрерывный функция принадлежности (нечеткая переменная). потом
и его энтропия
Расширения
Существует множество математических построений, похожих или более общих, чем нечеткие множества. С тех пор, как в 1965 году были введены нечеткие множества, было разработано множество новых математических построений и теорий, касающихся неточностей, неточностей, неоднозначности и неопределенности. Некоторые из этих построений и теорий являются расширениями теории нечетких множеств, в то время как другие пытаются математически моделировать неточность и неопределенность другим способом (Бургин и Чунихин 1997 ; Керре 2001; Deschrijver and Kerre, 2003).
Смотрите также
- Альтернативная теория множеств
- Дефаззификация
- Нечеткое понятие
- Нечеткая математика
- Операции с нечеткими множествами
- Нечеткая подалгебра
- Интервальный конечный элемент
- Линейная частичная информация
- Multiset
- Нейро-нечеткий
- Грубая нечеткая гибридизация
- Грубый набор
- Индекс сходства Соренсена
- Нечеткие множества и системы типа 2
- Неопределенность
использованная литература
- ^ Л. А. Заде (1965) «Нечеткие множества» В архиве 2015-08-13 на Wayback Machine. Информация и контроль 8 (3) 338–353.
- ^ Клауа, Д. (1965) Über einen Ansatz zur mehrwertigen Mengenlehre. Monatsb. Deutsch. Акад. Wiss. Берлин, 7, 859–876. Недавний подробный анализ этой статьи был предоставлен Готвальд, С. (2010). «Ранний подход к ступенчатой идентичности и ступенчатой принадлежности к теории множеств». Нечеткие множества и системы. 161 (18): 2369–2379. Дои:10.1016 / j.fss.2009.12.005.
- ^ а б Д. Дюбуа и Х. Прад (1988) Нечеткие множества и системы. Academic Press, Нью-Йорк.
- ^ Liang, Lily R .; Лу, Шийонг; Ван, Сюэна; Лу, Йи; Мандал, Винай; Патаксил, Доррелин; Кумар, Дипак (2006). «FM-тест: основанный на теории нечетких множеств подход к анализу данных дифференциальной экспрессии генов». BMC Bioinformatics. 7: S7. Дои:10.1186 / 1471-2105-7-S4-S7. ЧВК 1780132. PMID 17217525.
- ^ "AAAI". Архивировано из оригинал 5 августа 2008 г.
- ^ а б c Исмат Бег, Самина Ашраф: Меры подобия для нечетких множеств, at: Applied and Computational Mathematics, март 2009 г., доступно на Research Gate с 23 ноября 2016 г.
- ^ а б c d N.R. Вемури, А. Хариш, М. Шринатх: Разность множеств и симметричная разность нечетких множеств, в: Теория нечетких множеств и приложения 2014, Липтовски Ян, Словацкая Республика.
- ^ Гогуэн, Джозеф А., 196, "L-нечеткие множества ». Журнал математического анализа и приложений 18: 145–174
- ^ Буй Конг Куонг, Владик Крейнович, Роан Тхи Нган: Классификация представимых операторов t-нормы для нечетких множеств изображений, в: Ведомственные технические отчеты (CS). Документ 1047, 2016
- ^ Тридив Джоти Неог, Душманта Кумар Сут: Дополнение к расширенному нечеткому множеству, в: Международный журнал компьютерных приложений (0975–8887), том 29, № 3, сентябрь 2011 г.
- ^ а б c Янасэ Дж., Триантафиллу Э. (2019). «Систематический обзор компьютерной диагностики в медицине: прошлое и настоящее». Экспертные системы с приложениями. 138: 112821. Дои:10.1016 / j.eswa.2019.112821.
- ^ Смарандаче, Флорентин (1998). Нейтрософия: нейтрософская вероятность, множество и логика: аналитический синтез и синтетический анализ. Американская исследовательская пресса. ISBN 978-1879585638.
- ^ а б Янасэ Дж., Триантафиллу Э. (2019). «Семь ключевых вызовов будущего компьютерной диагностики в медицине». Международный журнал медицинской информатики. 129: 413–422. Дои:10.1016 / j.ijmedinf.2019.06.017. PMID 31445285.
- ^ Ягер, Рональд Р. (июнь 2013 г.). «Пифагоровы нечеткие подмножества». Совместный Всемирный Конгресс IFSA 2013 и Ежегодное собрание NAFIPS (IFSA / NAFIPS). IEEE: 57–61. Дои:10.1109 / IFSA-NAFIPS.2013.6608375. ISBN 978-1-4799-0348-1. S2CID 36286152.
- ^ Ягер, Рональд Р. (2013). «Уровни пифагорейского членства в многокритериальном принятии решений». Транзакции IEEE в нечетких системах. 22 (4): 958–965. Дои:10.1109 / TFUZZ.2013.2278989. S2CID 37195356.
- ^ Ягер, Рональд Р. (декабрь 2015 г.). Свойства и приложения нечетких множеств Пифагора. Спрингер, Чам. С. 119–136. ISBN 978-3-319-26302-1.
- ^ Зигфрид Готвальд, 2001. Трактат о многозначной логике. Болдок, Хартфордшир, Англия: Research Studies Press Ltd., ISBN 978-0-86380-262-1
- ^ "Понятие лингвистической переменной и его применение для приближенного рассуждения," Информационные науки 8: 199–249, 301–357; 9: 43–80.
- ^ "Нечеткие множества как основа теории возможностей," Нечеткие множества и системы 1: 3–28
- ^ Дж. А. Гогуэн "Категории нечетких множеств: приложения неканторовской теории множеств", докторская диссертация, Калифорнийский университет, Беркли, 1968 г.
- ^ Майкл Винтер "Категории Гогена: категориальный подход к L-нечетким отношениям" 2007 Springer ISBN 9781402061639
- ^ а б Майкл Винтер "Теория представлений категорий Гогена" Нечеткие множества и системы Том 138, выпуск 1, 16 августа 2003 г., страницы 85–126
- ^ Гогуэн Дж. А. "L-нечеткие множества". Журнал математического анализа и приложений 18 (1): 145–174, 1967
- ^ Сюэчэн, Лю (1992). «Энтропия, мера расстояния и мера подобия нечетких множеств и их отношений». Нечеткие множества и системы. 52 (3): 305–318. Дои:10.1016 / 0165-0114 (92) 90239-Z.
- ^ Ли, Сян (2015). «Нечеткая кросс-энтропия». Журнал анализа неопределенностей и приложений. 3. Дои:10.1186 / s40467-015-0029-5.
- Альхазале, С., Салле, А.Р. Теория нечетких мягких множеств, Аннотация и прикладной анализ, 2012, статья ID 350600, 20 с.
- Атанасов, К. Т. (1983) Интуиционистские нечеткие множества, VII сессия ИТКР, София (депонировано в Центральной научно-технической библиотеке Болгарской академии наук, 1697/84) (на болгарском языке)
- Атанасов К. (1986) Интуиционистские нечеткие множества, нечеткие множества и системы, т. 20, № 1, стр. 87–96.
- Баруа, Хеманта К. (2011) Теория нечетких множеств: убеждения и реальности, Международный журнал энергетики, информации и коммуникаций, том 2, выпуск 2, 1-22.
- Баруа, Хеманта К. (2012) Введение в теорию неточных множеств: математика частичного присутствия, Международный журнал вычислительных и математических наук, Vol. 2, № 2, 110 - 124.
- Бездек, Дж. К. (1978). «Нечеткие разбиения и отношения и аксиоматическая основа кластеризации». Нечеткие множества и системы. 1 (2): 111–127. Дои:10.1016 / 0165-0114 (78) 90012-Х.
- Близард, W.D. (1989) Действительные мультимножества и нечеткие множества, нечеткие множества и системы, т. 33, стр. 77–97.
- Браун, Дж. (1971) A Note on Fuzzy Sets, Information and Control, v. 18, pp. 32–39.
- Брутоцки Корнелия: Нечеткая логика (Диплом) - Хотя в этом сценарии есть много странностей и недостатков из-за его неполноты, его можно использовать в качестве шаблона для упражнения по устранению этих проблем.
- Бургин, М. Теория именованных множеств как основа математики, в структурах математических теорий, Сан-Себастьян, 1990, стр. 417-420.
- Бургин М., Чунихин А. (1997) Именованные множества в анализе неопределенности, в Методологических и теоретических проблемах математики и информатики, Киев, стр. 72-85.
- Джанпьеро Каттанео и Давиде Чуччи, «Алгебры Гейтинга Вайсберга как абстрактная среда, связывающая нечеткие и грубые множества» в J.J. Alpigini et al. (Ред.): RSCTC 2002, LNAI 2475, стр. 77–84, 2002. Дои:10.1007/3-540-45813-1_10
- Чаморро-Мартинес, Дж. И др .: Обсуждение нечеткой мощности и количественной оценки. Некоторые приложения в обработке изображений, SciVerse ScienceDirect: нечеткие множества и системы 257 (2014) 85–101, 30 мая 2013 г.
- Чапин, E.W. (1974) Многозначная теория множеств, I, Нотр-Дам Дж. Формальная логика, т. 15, стр. 619–634
- Чапин, E.W. (1975) Многозначная теория множеств, II, Notre Dame J. Formal Logic, v. 16, pp. 255–267
- Крис Корнелис, Мартин Де Кок и Этьен Э. Керр, [Интуиционистские нечеткие грубые множества: на перекрестке несовершенного знания], Expert Systems, т. 20, выпуск 5, стр. 260–270, 2003 г.
- Корнелис, К., Дешрайвер, К., Керр, Е. Е. (2004) Импликация в интуиционистской и интервальнозначной теории нечетких множеств: построение, классификация, применение, Международный журнал приближенного мышления, т. 35, стр. 55–95
- Де Кок, Мартина; Боденхофер, Ульрих; Керр, Этьен Э. (1–4 октября 2000 г.). Моделирование лингвистических выражений с помощью нечетких отношений. Материалы 6-й Международной конференции по мягким вычислениям. Иидзука, Япония. С. 353–360. CiteSeerX 10.1.1.32.8117.
- Демирчи, М. (1999) Подлинные множества, нечеткие множества и системы, т. 105, стр. 377–384.
- Deschrijver, G .; Керре, Э.Е. (2003). «О связи между некоторыми расширениями теории нечетких множеств». Нечеткие множества и системы. 133 (2): 227–235. Дои:10.1016 / S0165-0114 (02) 00127-6.
- Дидье Дюбуа, Анри М. Прад, изд. (2000). Основы нечетких множеств. Справочники серии нечетких множеств. 7. Springer. ISBN 978-0-7923-7732-0.
- Фэн Ф. Обобщенные грубые нечеткие множества на основе мягких множеств, Soft Computing, июль 2010 г., том 14, выпуск 9, стр. 899–911
- Gentilhomme, Y. (1968) Les ensembles flous en linguistique, Cahiers Linguistique Theoretique Appliqee, 5, стр. 47–63
- Гоген, Дж. (1967) L-нечеткие множества, Journal Math. Analysis Appl., V. 18, pp. 145–174.
- Готвальд, С. (2006). "Вселенные нечетких множеств и аксиоматизации теории нечетких множеств. Часть I: модельные и аксиоматические подходы". Studia Logica. 82 (2): 211–244. Дои:10.1007 / s11225-006-7197-8. S2CID 11931230.. Готвальд, С. (2006). "Вселенные нечетких множеств и аксиоматизации теории нечетких множеств. Часть II: Теоретико-категориальные подходы". Studia Logica. 84: 23–50. Дои:10.1007 / s11225-006-9001-1. S2CID 10453751. препринт..
- Граттан-Гиннесс, I. (1975) Нечеткое членство, отображаемое на интервал и многозначные величины. Z. Math. Логик. Grundladen Math. 22. С. 149–160.
- Гржимала-Буссе, Дж. Изучение примеров, основанных на грубых мультимножествах, в Трудах 2-го Международного симпозиума по методологиям интеллектуальных систем, Шарлотт, Северная Каролина, США, 1987, стр. 325–332
- Гилис, Р. П. (1994) Квантовые множества и пучки над квантами, Liet. Матем. Каток, т. 34, № 1, с. 9–31.
- Ульрих Хёле, Стивен Эрнест Родабо, изд. (1999). Математика нечетких множеств: логика, топология и теория меры. Справочники серии нечетких множеств. 3. Springer. ISBN 978-0-7923-8388-8.
- Ян, К. У. (1975) Intervall-wertige Mengen, Math.Nach. 68. С. 115–132.
- Кауфманн, Арнольд. Введение в теорию нечетких подмножеств. Vol. 2. Академический пр., 1975.
- Керре, E.E. (2001). «Первый взгляд на альтернативы теории нечетких множеств». В Б. Ройше; К-Х. Темме (ред.). Вычислительный интеллект в теории и практике. Гейдельберг: Physica-Verlag. С. 55–72. Дои:10.1007/978-3-7908-1831-4_4. ISBN 978-3-7908-1357-9. Отсутствует или пусто
| название =
(Помогите) - Джордж Дж. Клир; Бо Юань (1995). Нечеткие множества и нечеткая логика: теория и приложения. Прентис Холл. ISBN 978-0-13-101171-7.
- Кузьмин, В. (1982). «Построение групповых решений в пространствах строгих и нечетких двоичных отношений». Наука, Москва.
- Лейк, Дж. (1976) Множества, нечеткие множества, мультимножества и функции, J. London Math. Soc., II Ser., V. 12, pp. 323–326
- Мэн Д., Чжан Х. и Цинь К. Мягкие грубые нечеткие наборы и мягкие нечеткие грубые наборы, «Компьютеры и математика с приложениями», т. 62, выпуск 12, 2011 г., стр. 4635–4645.
- Миямото, С. Нечеткие мультимножества и их обобщения, в «Обработка мультимножеств», LNCS 2235, стр. 225–235, 2001.
- Молодцов О. (1999) Теория мягких множеств - первые результаты, Вычислительная техника и математика с приложениями, т. 37, № 4/5, стр. 19–31
- Мур, Р. Интервальный анализ, Нью-Йорк, Прентис-Холл, 1966 г.
- Накамура, А. (1988) Нечеткие грубые множества, «Заметки о многозначной логике в Японии», т. 9, стр. 1–8.
- Нариньяни, А. Недоопределенные множества - новый тип данных для представления знаний, Препринт 232, Проект ВОСТОК, выпуск 4, Новосибирск, Вычислительный центр АН СССР, 1980
- Pedrycz, W. Shadowed sets: представление и обработка нечетких множеств, IEEE Transactions on System, Man, and Cybernetics, Part B, 28, 103–109, 1998.
- Радецки, Т. Уровневые нечеткие множества, 'Journal of Cybernetics', том 7, выпуск 3-4, 1977 г.
- Радзиковская, А. и Этьен Э. Керр, Э. О L-нечетких грубых множествах, Искусственный интеллект и мягкие вычисления - ICAISC 2004, 7-я международная конференция, Закопане, Польша, 7–11 июня 2004 г., Труды; 01/2004
- Салий, В. (1965). «Бинарные L-отношения». Изв. Выш. Учебн. Завед. Математика (по-русски). 44 (1): 133–145.
- Рамакришнан, Т.В., и Сабу Себастьян (2010), «Исследование множественных нечетких множеств», Int. J. Appl. Математика. 23, 713-721.
- Сабу Себастьян и Рамакришнан Т. В. (2010) Множественные нечеткие множества, Междунар. Математика. Forum 50, 2471-2476.
- Сабу Себастьян и Рамакришнан, Т. В. (2011) Мульти-нечеткие множества: расширение нечетких множеств, Fuzzy Inf.Eng. 1, 35-43.
- Сабу Себастьян и Рамакришнан Т. В. (2011) Многочисленные нечеткие расширения функций, Развитие адаптивного анализа данных 3, 339-350.
- Сабу Себастьян и Рамакришнан, Т. В. (2011) Мульти-нечеткое расширение четких функций с помощью функций моста, Анна. Нечеткая математика. Сообщить. 2 (1), 1-8
- Sambuc, R. Fonctions φ-floues: Application a l'aide au диагностический en patologie tyroidienne, Ph. D. Thesis Univ. Марсель, Франция, 1975 год.
- Зайзинг, Рудольф: Фаззификация систем. Возникновение теории нечетких множеств и ее первоначальные приложения - развитие до 1970-х годов (Исследования нечеткости и мягких вычислений, том 216) Берлин, Нью-Йорк, [и др.]: Springer 2007.
- Смит, штат Нью-Джерси. (2004) Нечеткость и размытые множества, J. Фил. Логика », 33, с. 165–235.
- Верро, Николас: Нечеткая классификация онлайн-клиентов, Университет Фрибурга, Швейцария, 2008 г., Глава 2
- Ягер, Р. Р. (1986) О теории мешков, Международный журнал общих систем, т. 13, стр. 23–37.
- Яо Й.Ю. Комбинация грубых и нечетких множеств на основе наборов α-уровня // Грубые множества и интеллектуальный анализ данных: анализ неточных данных. Линь Т.Ю. и Cercone, N. (Eds.), Kluwer Academic Publishers, Boston, pp. 301–321, 1997.
- Y. Y. Yao, Сравнительное исследование нечетких множеств и грубых множеств, Информационные науки, т. 109, выпуск 1-4, 1998 г., стр. 227 - 242
- Заде, Л. (1975) Понятие лингвистической переменной и его применение для приближенного рассуждения–I, Информ. Sci., Т. 8, стр. 199–249.
- Ханс-Юрген Циммерманн (2001). Теория нечетких множеств и ее приложения (4-е изд.). Kluwer. ISBN 978-0-7923-7435-0.