WikiDer > Группа Тейт-Шафаревич

В арифметическая геометрия, то Группа Тейт-Шафаревич Ш (А/K), представлен Серж Ланг и Джон Тейт (1958) и Игорь Шафаревич (1959), из абелева разновидность А (или в более общем смысле групповая схема) определяется над числовым полем K состоит из элементов Группа Вейля – Шатле ТУАЛЕТ(А/K) = H¹(грамм_K, А) которые становятся тривиальными при всех пополнениях K (т.е. п-адические поля получен из K, а также его реальные и сложные доработки). Таким образом, с точки зрения Когомологии Галуа, это можно записать как

${ Displaystyle bigcap _ {v} mathrm {ker} left (H ^ {1} left (G_ {K}, A right) rightarrow H ^ {1} left (G_ {K_ {v}) }, A_ {v} right) right).}$

Кассель ввел обозначение Ш (А/K), куда Ш это Кириллица письмо "Ша", для Шафаревича, заменяя старые обозначения TS.

Элементы группы Тейт – Шафаревич

Геометрически нетривиальные элементы группы Тейта – Шафаревича можно рассматривать как однородные пространства А который имеет K_v-рациональные точки для каждого место v из K, но нет K-рациональная точка. Таким образом, группа измеряет степень, в которой Принцип Хассе не выполняется для рациональных уравнений с коэффициентами в поле K. Карл-Эрик Линд (1940) привел пример такого однородного пространства, показав, что кривая рода 1 Икс⁴ − 17 = 2у² есть решения по реалам и по всем п-адические поля, но не имеет рациональных точек.Эрнст С. Зельмер (1951) привел еще много примеров, таких как 3Икс³ + 4у³ + 5z³ = 0.

Частный случай группы Тейта – Шафаревича для конечной групповой схемы, состоящей из точек некоторого заданного конечного порядка п абелевой разновидности тесно связан с Группа Зельмера.

Гипотеза Тейта-Шафаревича

Гипотеза Тейта – Шафаревича утверждает, что группа Тейта – Шафаревича конечна. Карл Рубин (1987) доказал это для некоторых эллиптических кривых ранга не выше 1 с комплексное умножение. Виктор Анатольевич Колывагин (1988) распространил это на модулярные эллиптические кривые над рациональными числами аналитического ранга не выше 1. ( теорема модульности позже показал, что предположение модульности выполняется всегда.)

Спаривание Касселса и Тейта

Пара Касселса – Тейта - это билинейное спаривание Ш (А) × Ш (Â) → Q/Z, куда А является абелевой разновидностью и Â это его двойственный. Кассель (1962) представил это для эллиптические кривые, когда А можно отождествить с Â и спаривание - это чередующаяся форма. Ядром этой формы является подгруппа делимых элементов, что тривиально, если гипотеза Тейта – Шафаревича верна. Тейт (1963) распространил спаривание на общие абелевы многообразия как разновидность Двойственность Тейт. Выбор поляризации на А дает карту из А к Â, которое индуцирует билинейное спаривание на Ш (А) со значениями в Q/Z, но, в отличие от эллиптических кривых, они не обязательно должны быть знакопеременными или даже кососимметричными.

Для эллиптической кривой Касселс показал, что спаривание чередуется, и, как следствие, если порядок Ш конечно, то это квадрат. Для более общих абелевых разновидностей на протяжении многих лет иногда ошибочно полагали, что порядок Ш является квадратом, когда он конечен; эта ошибка возникла в статье Суиннертон-Дайер (1967), который неверно процитировал один из результатов Тейт (1963). Пунен и Штолл (1999) привел несколько примеров, где порядок равен удвоенному квадрату, например, якобиан некоторой кривой рода 2 над рациональными числами, группа Тейта – Шафаревича которых имеет порядок 2, и Штейн (2004) привел несколько примеров, когда степень нечетного простого делителя порядка нечетна. Если абелево многообразие имеет главную поляризацию, то форма на Ш кососимметрична, что означает, что порядок Ш является квадратом или дважды квадратом (если он конечен), и если, кроме того, основная поляризация исходит от рационального делителя (как в случае эллиптических кривых), то форма чередуется и порядок Ш квадрат (если он конечен).

Смотрите также

• Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Рекомендации

• Касселс, Джон Уильям Скотт (1962), "Арифметика на кривых рода 1. III. Группы Тейта – Шафаревича и Зельмера", Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 12: 259–296, Дои:10.1112 / плмс / с3-12.1.259, ISSN 0024-6115, МИСТЕР 0163913
• Касселс, Джон Уильям Скотт (1962b), «Арифметика на кривых рода 1. IV. Доказательство Hauptvermutung», Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 211 (211): 95–112, Дои:10.1515 / crll.1962.211.95, ISSN 0075-4102, МИСТЕР 0163915
• Касселс, Джон Уильям Скотт (1991), Лекции по эллиптическим кривым, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 24, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, МИСТЕР 1144763
• Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000), Диофантова геометрия: введение, Тексты для выпускников по математике, 201, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98981-5
• Гринберг, Ральф (1994), "Теория Ивасавы и p-адическая деформация мотивов", в Серр, Жан-Пьер; Яннсен, Уве; Клейман, Стивен Л. (ред.), Мотивы, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1637-0
• Колывагин, В. А. (1988), "Конечность E (Q) и SH (E, Q) для подкласса кривых Вейля", Известия Академии Наук СССР. Серия Математическая, 52 (3): 522–540, 670–671, ISSN 0373-2436, 954295
• Ланг, Серж; Тейт, Джон (1958), «Главные однородные пространства над абелевыми многообразиями», Американский журнал математики, 80 (3): 659–684, Дои:10.2307/2372778, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372778, МИСТЕР 0106226
• Линд, Карл-Эрик (1940). Untersuchungen über die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins (Тезис). 1940. Уппсальский университет. 97 стр. МИСТЕР 0022563.
• Пунен, Бьорн; Столл, Майкл (1999), "Спаривание Касселса-Тейта на поляризованных абелевых многообразиях", Анналы математики, Вторая серия, 150 (3): 1109–1149, arXiv:математика / 9911267, Дои:10.2307/121064, ISSN 0003-486X, JSTOR 121064, МИСТЕР 1740984
• Рубин, Карл (1987), "Группы Тейта – Шафаревича и L-функции эллиптических кривых с комплексным умножением", Inventiones Mathematicae, 89 (3): 527–559, Bibcode:1987InMat..89..527R, Дои:10.1007 / BF01388984, ISSN 0020-9910, МИСТЕР 0903383
• Сельмер, Эрнст С. (1951), "Диофантово уравнение ax³ + by³ + cz³ = 0", Acta Mathematica, 85: 203–362, Дои:10.1007 / BF02395746, ISSN 0001-5962, МИСТЕР 0041871
• Шафаревич, И. Р. (1959), "Группа главных однородных алгебраических многообразий", Доклады Академии Наук СССР (на русском), 124: 42–43, ISSN 0002-3264, МИСТЕР 0106227 Английский перевод в его собрании математических работ
• Стейн, Уильям А. (2004), "Группы Шафаревича – Тейта неквадратного порядка" (PDF), Модульные кривые и абелевы многообразия, Прогр. Математика, 224, Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 277–289, МИСТЕР 2058655
• Суиннертон-Дайер, П. (1967), «Домыслы Берча, Суиннертон-Дайера и Тейт», в Springer, Тонни А. (ред.), Труды конференции по местным полям (Дриберген, 1966), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 132–157, МИСТЕР 0230727
• Тейт, Джон (1958), WC-группы над p-адическими полями, Séminaire Bourbaki; 10 лет: 1957/1958, 13, Париж: Secrétariat Mathématique, МИСТЕР 0105420
• Тейт, Джон (1963), "Теоремы двойственности в когомологиях Галуа над числовыми полями", Труды Международного конгресса математиков (Стокгольм, 1962 г.), Джурсхольм: Ин-т. Mittag-Leffler, стр. 288–295, МИСТЕР 0175892, заархивировано из оригинал на 2011-07-17
• Вайль, Андре (1955), «Об алгебраических группах и однородных пространствах», Американский журнал математики, 77 (3): 493–512, Дои:10.2307/2372637, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372637, МИСТЕР 0074084