WikiDer > Инвариантная во времени система

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Инвариантная во времени система» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Май 2018) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

А неизменный во времени (TIV) система имеет зависящий от времени системная функция это не прямая функция времени. Такие системы рассматриваются как класс систем в области Системный анализ. Зависящая от времени системная функция является функцией зависящей от времени функция ввода. Если эта функция зависит Только косвенно во временной области (например, через функцию ввода), тогда эта система будет считаться инвариантной во времени. И наоборот, любую прямую зависимость от временной области функции системы можно рассматривать как «изменяющуюся во времени систему».

С математической точки зрения «временная инвариантность» системы - это следующее свойство:^{[1]:п. 50}

Учитывая систему с функцией вывода, зависящей от времени ${ Displaystyle у (т),}$ и зависящая от времени функция ввода ${ Displaystyle х (т);}$ система будет считаться инвариантной во времени, если задержка на входе ${ Displaystyle х (т + дельта)}$ прямо приравнивается к задержке выхода ${ Displaystyle у (т + дельта)}$ функция. Например, если время ${ displaystyle t}$ «прошедшее время», тогда «неизменность во времени» означает, что связь между входной функцией ${ Displaystyle х (т)}$ и функция вывода ${ Displaystyle у (т)}$ постоянна по времени ${ displaystyle t}$:

${ Displaystyle у (т) = е (х (т), т) = е (х (т)).}$

На языке обработка сигналов, это свойство может быть выполнено, если функция передачи системы не является прямой функцией времени, кроме как выраженной входом и выходом.

В контексте схемы системы это свойство также можно указать следующим образом:

Если система не зависит от времени, то системный блок ездит на работу с произвольной задержкой.

Если инвариантная во времени система также линейный, это предмет линейная инвариантная во времени теория (линейный инвариантный во времени) с прямыми приложениями в ЯМР-спектроскопия, сейсмология, схемы, обработка сигналов, теория управления, и другие технические области. Нелинейный инвариантным во времени системам не хватает всеобъемлющей руководящей теории. Дискретный инвариантные во времени системы известны как инвариантные к сдвигу системы. Системы, не обладающие свойством инвариантности во времени, изучаются как временные системы.

Простой пример

Чтобы продемонстрировать, как определить, является ли система неизменной во времени, рассмотрим две системы:

• Система А: ${ Displaystyle у (т) = tx (т)}$
• Система B: ${ Displaystyle у (т) = 10х (т)}$

Поскольку Системная функция ${ Displaystyle у (т)}$ для системы A явно зависит от т вне ${ Displaystyle х (т)}$, это не так неизменный во времени потому что зависимость от времени не является явной функцией входной функции.

Напротив, временная зависимость системы B является только функцией изменяющегося во времени входа ${ Displaystyle х (т)}$. Это делает систему B неизменный во времени.

В Формальный пример ниже более подробно показано, что, хотя Система B является системой, инвариантной к сдвигу как функция времени, т, Система А - нет.

Формальный пример

Теперь представлено более формальное доказательство того, почему системы A и B различаются. Для проведения этого доказательства будет использовано второе определение.

Система А: Старт с задержкой ввода ${ Displaystyle х_ {d} (т) = х (т + дельта)}$

${ Displaystyle у (т) = tx (т)}$

${ displaystyle y_ {1} (t) = tx_ {d} (t) = tx (t + delta)}$

Теперь задержите вывод на ${ displaystyle delta}$

${ Displaystyle у (т) = tx (т)}$

${ displaystyle y_ {2} (t) = y (t + delta) = (t + delta) x (t + delta)}$

Четко ${ Displaystyle y_ {1} (т) neq y_ {2} (т)}$, поэтому система не инвариантна во времени.

Система B: Старт с задержкой ввода ${ Displaystyle х_ {d} (т) = х (т + дельта)}$

${ Displaystyle у (т) = 10х (т)}$

${ displaystyle y_ {1} (t) = 10x_ {d} (t) = 10x (t + delta)}$

Теперь задержите вывод на ${ displaystyle delta}$

${ Displaystyle у (т) = 10х (т)}$

${ displaystyle y_ {2} (t) = y (t + delta) = 10x (t + delta)}$

Четко ${ Displaystyle у_ {1} (т) = у_ {2} (т)}$, следовательно, система инвариантна во времени.

В более общем смысле отношения между входом и выходом

${ Displaystyle у (т) = е (х (т), т),}$

и его изменение со временем

${ displaystyle { frac { mathrm {d} y} { mathrm {d} t}} = { frac { partial f} { partial t}} + { frac { partial f} { partial x}} { frac { mathrm {d} x} { mathrm {d} t}}.}$

Для инвариантных во времени систем свойства системы остаются постоянными со временем,

${ displaystyle { frac { partial f} { partial t}} = 0.}$

Применяется к системам A и B выше:

${ displaystyle f_ {A} = tx (t) qquad подразумевает qquad { frac { partial f_ {A}} { partial t}} = x (t) neq 0}$ в общем, поэтому он не зависит от времени,

${ displaystyle f_ {B} = 10x (t) qquad подразумевает qquad { frac { partial f_ {B}} { partial t}} = 0}$ поэтому он не зависит от времени.

Абстрактный пример

Мы можем обозначить оператор смены к ${ displaystyle mathbb {T} _ {r}}$ куда ${ displaystyle r}$ - величина, на которую вектор набор индексов следует сместить. Например, система "продвижение на 1"

${ Displaystyle х (т + 1) = дельта (т + 1) * х (т)}$

в этих абстрактных обозначениях можно представить как

${ displaystyle { tilde {x}} _ {1} = mathbb {T} _ {1} { tilde {x}}}$

куда ${ displaystyle { tilde {x}}}$ функция, заданная

${ Displaystyle { тильда {х}} = х (т) forall t in mathbb {R}}$

с системой, дающей сдвинутый выход

${ displaystyle { tilde {x}} _ {1} = x (t + 1) forall t in mathbb {R}}$

Так ${ displaystyle mathbb {T} _ {1}}$ - это оператор, который увеличивает входной вектор на 1.

Предположим, мы представляем систему оператор ${ displaystyle mathbb {H}}$. Эта система неизменный во времени если оно ездит на работу с оператором сдвига, т.е.

${ displaystyle mathbb {T} _ {r} mathbb {H} = mathbb {H} mathbb {T} _ {r} forall r}$

Если уравнение нашей системы имеет вид

${ displaystyle { tilde {y}} = mathbb {H} { tilde {x}}}$

то он не зависит от времени, если мы можем применить системный оператор ${ displaystyle mathbb {H}}$ на ${ displaystyle { tilde {x}}}$ за которым следует оператор сдвига ${ displaystyle mathbb {T} _ {r}}$, или мы можем применить оператор сдвига ${ displaystyle mathbb {T} _ {r}}$ за которым следует системный оператор ${ displaystyle mathbb {H}}$, причем два вычисления дали эквивалентные результаты.

Применение системного оператора сначала дает

${ displaystyle mathbb {T} _ {r} mathbb {H} { tilde {x}} = mathbb {T} _ {r} { tilde {y}} = { tilde {y}} _ {р}}$

Применение оператора сдвига сначала дает

${ displaystyle mathbb {H} mathbb {T} _ {r} { tilde {x}} = mathbb {H} { tilde {x}} _ {r}}$

Если система инвариантна во времени, то

${ displaystyle mathbb {H} { tilde {x}} _ {r} = { tilde {y}} _ {r}}$

Смотрите также

• Конечный импульсный отклик
• Последовательность Шеффера
• Пространство состояний (элементы управления)
• График потока сигналов
• Теория систем LTI
• Автономная система (математика)

Рекомендации