WikiDer > Топологически стратифицированное пространство

Topologically stratified space

В топология, раздел математики, топологически стратифицированное пространство это пространство Икс который был разложен на части, называемые слои; эти слои коллекторы и должны подходить друг к другу определенным образом. Топологически стратифицированные пространства представляют собой чисто топологическую среду для изучения особенностей, аналогичную более дифференциально-геометрической теории Уитни. Их представил Рене Том, которые показали, что каждый Стратифицированное пространство Уитни также было топологически стратифицированным пространством с такими же слоями. Другое доказательство было дано Джон Мэзер в 1970 году, вдохновленный доказательством Тома.

Основные примеры стратифицированных пространств включают многообразия с краем (верхнее измерение и граница коразмерности 1) и коллекторы с углами (верхнее измерение, граница коразмерности 1, углы коразмерности 2).

Определение

Определение индуктивно по размерности Икс. An п-размерный топологическая стратификация из Икс это фильтрация

{displaystyle emptyset = X _ {- 1} подмножество X_ {0} подмножество X_ {1} ldots подмножество X_ {n} = X}

из Икс замкнутыми подпространствами такими, что для каждого я и для каждой точки Икс из

{displaystyle X_ {i} setminus X_ {i-1}}

,

существует район

{displaystyle Usubset X}

из Икс в Икс, компактный (п - я - 1) -мерное стратифицированное пространство L, и гомеоморфизм, сохраняющий фильтрацию

{displaystyle Ucong mathbb {R} ^ {i} imes CL}

.

Здесь ${displaystyle CL}$ это открытый конус на L.

Если Икс топологически стратифицированное пространство, я-размерный слой из Икс это пространство

{displaystyle X_ {i} setminus X_ {i-1}}

.

Подключенные компоненты Икс_я Икс_я-1 также часто называют стратами.

Примеры

Одним из первоначальных мотивов создания стратифицированных пространств было разбиение особых пространств на гладкие куски. Например, учитывая особое разнообразие ${displaystyle X}$ , существует естественно определенное подмногообразие, ${displaystyle Sing (X)}$ , который является сингулярным локусом. Это может быть не гладкое многообразие, поэтому взяв повторяющийся локус сингулярности ${displaystyle Sing (Sing (X))}$ со временем даст естественное расслоение. Простым алгеброогеометрическим примером является особая гиперповерхность