WikiDer > Условия Уитни

В дифференциальная топология, филиал математика, то Условия Уитни условия на пару подмногообразия из многообразие представлен Хасслер Уитни в 1965 г.

А стратификация из топологическое пространство конечный фильтрация по замкнутым подмножествам F_я , так что разница между последовательными членами F_я и F_{(я − 1)} фильтрации либо пусто, либо является гладким подмногообразием размерности я. Связанные компоненты разницы F_я − F_{(я − 1)} являются слои измерения я. Стратификация называется Стратификация Уитни если все пары стратов удовлетворяют условиям Уитни A и B, как определено ниже.

Условия Уитни в р^п

Позволять Икс и Y - два непересекающихся локально замкнутых подмногообразия в р^п, размеров я и j.

• Икс и Y удовлетворить Состояние Уитни А если всякий раз, когда последовательность точек Икс₁, Икс₂, … в Икс сходится к точке у в Y, а последовательность касательных я-самолеты Т_м к Икс в точках Икс_м сходится к я-самолет Т в качестве м стремится к бесконечности, то Т содержит касательную j-самолет до Y в у.
• Икс и Y удовлетворить Состояние Уитни B если для каждой последовательности Икс₁, Икс₂,… Баллов в Икс и каждая последовательность у₁, у₂,… Баллов в Y, оба сходятся в одной точке у в Y, такая, что последовательность секущих L_м между Икс_м и у_м сходится к линии L в качестве м стремится к бесконечности, а последовательность касательных я-самолеты Т_м к Икс в точках Икс_м сходится к я-самолет Т в качестве м стремится к бесконечности, то L содержится в Т.

Джон Мэзер сначала указал, что Состояние Уитни B подразумевает Состояние Уитни А в заметках его лекций в Гарварде 1970 г., получивших широкое распространение. Он также определил понятие стратифицированного пространства Тома-Мезера и доказал, что каждая стратификация Уитни является стратифицированным пространством Тома-Мезера и, следовательно, является топологически стратифицированное пространство. Другой подход к этому фундаментальному результату был предложен ранее Рене Том в 1969 г.

Дэвид Тротман в своей диссертации Уорвика 1977 г. показал, что стратификация замкнутого подмножества в гладком многообразии M удовлетворяет Состояние Уитни А тогда и только тогда, когда подпространство пространства гладких отображений из гладкого многообразия N в M состоящая из всех тех отображений, которые поперечны всем слоям стратификации, является открытой (с использованием топологии Уитни, или сильной топологии). Подпространство отображений, трансверсальных любому счетному семейству подмногообразий M всегда плотно по Томову теорема трансверсальности. Плотность множества поперечных отображений часто интерпретируют, говоря, что трансверсальность есть 'родовое' свойство для гладких отображений, в то время как открытость часто интерпретируется как «стабильное» свойство.

Причина того, что условия Уитни стали так широко использоваться, заключается в теореме Уитни 1965 года о том, что каждое алгебраическое многообразие или даже аналитическое многообразие допускает стратификацию Уитни, т.е. допускает разбиение на гладкие подмногообразия, удовлетворяющие условиям Уитни. Более общие особые пространства могут быть заданы стратификациями Уитни, например полуалгебраические множества (из-за Рене Том) и субаналитические множества (из-за Хейсуке Хиронака). Это привело к их использованию в технике, теории управления и робототехнике. В диссертации под руководством Веслава Павлуцкого в Ягеллонский университет в Кракове, Польша, вьетнамский математик Та Ле Лой дополнительно доказал, что каждое определимое множество в о-минимальная структура можно задать стратификацию Уитни.^[1]

Смотрите также

• Стратифицированное пространство Уитни
• Стратифицированное пространство Тома – Мазера
• Топологически стратифицированное пространство

Рекомендации

• Мазер, Джон Замечания о топологической устойчивости, Гарвард, 1970 (доступен на его веб-странице в Принстонском университете).
• Том, Рене Ensembles et morphismes stratifiés, Бюллетень Американского математического общества Vol. 75, с. 240–284), 1969.
• Тротман, Дэвид Устойчивость трансверсальности к стратификации влечет (a) -регулярность Уитни, Inventiones Mathematicae 50 (3), стр. 273–277, 1979.
• Тротман, Дэвид Сравнивая условия регулярности на стратификациях, Сингулярности, часть 2 (Арката, Калифорния, 1981), том 40 Proc. Симпози. Чистая математика, стр. 575–586. Американское математическое общество, Провиденс, Р.И., 1983.
• Уитни, Хасслер Локальные свойства аналитических многообразий. Дифференциальная и комбинаторная топология (Симпозиум в честь Марстон Морс) pp. 205–244 Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1965.
• Уитни, Хасслер, Касательные к аналитическому разнообразию, Анналы математики 81, вып. 3 (1965), стр. 496–549.