WikiDer > Полностью отключенная группа

В математика, а полностью отключенная группа это топологическая группа то есть полностью отключен. Такие топологические группы обязательно Хаусдорф.

Интерес сосредоточен на локально компактный полностью разобщенные группы (также называемые группами td-type,^[1] локально проконечные группы,^[2] t.d. группы^[3]). В компактный дело было тщательно изучено - это проконечные группы - но долгое время об общем случае было мало что известно. Теорема ван Данциг^[4] из 1930-х годов, утверждая, что каждая такая группа содержит компактный открыто подгруппа, было все, что было известно. Затем новаторская работа по этому вопросу была проведена в 1994 году, когда Джордж Уиллис показал, что каждая локально компактная вполне несвязная группа содержит так называемую аккуратный подгруппе и специальной функции на ее автоморфизмах, функция масштабирования, тем самым углубляя знания о местной структуре. Успехи в глобальная структура полностью отключенных групп были получены в 2011 году компаниями Caprace и Monod, в частности, классификация характерно простые группы и нетеровских групп.

Локально компактный корпус

В локально компактной полностью несвязной группе каждое район единицы содержит компактную открытую подгруппу. И наоборот, если группа такова, что личность имеет основа соседства состоящий из компактных открытых подгрупп, то он локально компактен и вполне несвязен.^[2]

Чистые подгруппы

Позволять грамм - локально компактная вполне несвязная группа, U компактная открытая подгруппа в грамм и ${displaystyle alpha}$ непрерывный автоморфизм грамм.

Определять:

${displaystyle U _ {+} = igcap _ {ngeq 0} альфа ^ {n} (U)}$

${displaystyle U _ {-} = igcap _ {ngeq 0} alpha ^ {- n} (U)}$

${displaystyle U _ {++} = igcup _ {ngeq 0} alpha ^ {n} (U _ {+})}$

${displaystyle U _ {-} = igcup _ {ngeq 0} alpha ^ {- n} (U _ {-})}$

U как говорят аккуратный за ${displaystyle alpha}$ если и только если ${Displaystyle U = U _ {+} U _ {-} = U _ {-} U _ {+}}$ и ${displaystyle U _ {++}}$ и ${displaystyle U _ {-}}$ закрыты.

Функция масштабирования

Индекс ${displaystyle alpha (U _ {+})}$ в ${displaystyle U _ {+}}$ показано, что он конечен и не зависит от U что аккуратно для ${displaystyle alpha}$. Определите масштабную функцию ${displaystyle s (альфа)}$ как этот index. Ограничение на внутренние автоморфизмы дает функцию на грамм с интересными свойствами. В частности, это:
Определите функцию ${displaystyle s}$ на грамм к ${displaystyle s (x): = s (alpha _ {x})}$, куда ${displaystyle alpha _ {x}}$ внутренний автоморфизм ${displaystyle x}$ на грамм.

Характеристики

• ${displaystyle s}$ непрерывно.
• ${displaystyle s (x) = 1}$, когда x в грамм компактный элемент.
• ${displaystyle s (x ^ {n}) = s (x) ^ {n}}$ для каждого неотрицательного целого числа ${displaystyle n}$.
• Модульная функция на грамм дан кем-то ${displaystyle Delta (x) = s (x) s (x ^ {- 1}) ^ {- 1}}$.

Расчеты и приложения

Масштабная функция использовалась для доказательства гипотезы Хофманна и Мухерья и была явно вычислена для p-адический Группы Ли и линейные группы над локальными телами Хельге Глекнера.

Примечания

Рекомендации

• ван Данциг, Давид (1936), "Zur topologischen Algebra. III. Brouwersche und Cantorsche Gruppen", Compositio Mathematica, 3: 408–426
• Борель, Арман; Уоллах, Нолан (2000), Непрерывные когомологии, дискретные подгруппы и представления редуктивных групп, Математические обзоры и монографии, 67 (Второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0851-1, МИСТЕР 1721403
• Бушнелл, Колин Дж .; Хенниарт, Гай (2006), Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], 335, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / 3-540-31511-Х, ISBN 978-3-540-31486-8, МИСТЕР 2234120
• Капрас, Пьер-Эммануэль; Моно, Николас (2011), "Разложение локально компактных групп на простые части", Математика. Proc. Cambridge Philos. Soc., 150: 97–128, arXiv:0811.4101, Bibcode:2011MPCPS.150 ... 97C, Дои:10.1017 / S0305004110000368, МИСТЕР 2739075
• Картье, Пьер (1979), "Представления ${displaystyle {mathfrak {p}}}$-адические группы: опрос », в Борель, Арман; Кассельман, Уильям (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (PDF), Труды симпозиумов по чистой математике, 33, часть 1, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 111–155, ISBN 978-0-8218-1435-2, МИСТЕР 0546593
• Г.А. Уиллис - Строение полностью несвязных локально компактных групп, Mathematische Annalen 300, 341-363 (1994)