WikiDer > Модель Изинга с поперечным полем

Transverse-field Ising model

В поперечное поле модель Изинга квантовая версия классического Модель Изинга. Он имеет решетку с взаимодействиями ближайших соседей, определяемыми выравниванием или анти-выравниванием проекций спина вдоль ${ displaystyle z}$ оси, а также внешнего магнитного поля, перпендикулярного оси ${ displaystyle z}$ оси (без ограничения общности по ${ displaystyle x}$ ось), который создает энергетический сдвиг для одного направления вращения оси x относительно другого.

Важной особенностью этой установки является то, что в квантовом смысле проекция спина вдоль ${ displaystyle x}$ оси и проекции спина вдоль ${ displaystyle z}$ оси не коммутируют наблюдаемые величины. То есть их нельзя наблюдать одновременно. Это означает, что классическая статистическая механика не может описать эту модель, и необходима квантовая трактовка.

В частности, модель имеет следующий квантовый Гамильтониан:

{ displaystyle H = -J ( sum _ { langle i, j rangle} Z_ {i} Z_ {j} + g sum _ {j} X_ {j})}

Здесь индексы относятся к узлам решетки, а сумма ${ displaystyle sum _ { langle i, j rangle}}$ выполняется по парам ближайших соседних сайтов ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$ . ${ displaystyle X_ {j}}$ и ${ displaystyle Z_ {j}}$ являются представлениями элементов спиновой алгебры (матриц Паули в случае спина 1/2), действующих на спиновые переменные соответствующих узлов. Они противятся друг другу, если находятся на одном сайте, и ездят друг с другом, если находятся на разных сайтах. ${ displaystyle J}$ является префактором с размерностями энергии, и ${ displaystyle g}$ - еще один коэффициент связи, определяющий относительную напряженность внешнего поля по сравнению с взаимодействием ближайших соседей.

Фазы одномерной модели Изинга поперечного поля

Ниже обсуждение ограничивается одномерным случаем, когда каждый узел решетки представляет собой двумерный комплекс Гильбертово пространство (т.е. представляет собой частицу со спином 1/2). Для простоты здесь ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Z}$ нормированы на каждый из определителей -1. Гамильтониан обладает ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$ группа симметрии, поскольку она инвариантна относительно унитарной операции переворачивания всех спинов в ${ displaystyle z}$ направление. Точнее, преобразование симметрии задается унитарным ${ displaystyle prod _ {j} X_ {j}}$ .

Одномерная модель допускает две фазы, в зависимости от того, нарушает ли основное состояние (в частности, в случае вырождения основное состояние, которое не является макроскопически запутанным состоянием) вышеупомянутое ${ displaystyle prod _ {j} X_ {j}}$ спин-флип-симметрия. Знак ${ displaystyle J}$ не влияет на динамику, так как система с положительным ${ displaystyle J}$ могут быть отображены в системе с отрицательными ${ displaystyle J}$ путем выполнения ${ displaystyle pi}$ вращение вокруг ${ displaystyle X_ {j}}$ за каждый второй сайт ${ displaystyle j}$ .

Модель может быть точно решена для всех констант связи. Однако в терминах спинов на месте решение обычно очень неудобно записывать явно в терминах переменных спина. Решение удобнее явно записывать в терминах фермионных переменных, определяемых формулой Преобразование Джордана-Вигнера, и в этом случае возбужденные состояния имеют простое квазичастичное или квази дырочное описание.

Заказанная фаза

Когда ${ Displaystyle | г | <1}$ , система находится в упорядоченной фазе. В этой фазе основное состояние нарушает симметрию переворота спина. Таким образом, основное состояние фактически двукратно вырождено. За ${ displaystyle J> 0}$ эта фаза демонстрирует ферромагнитный заказ, а для ${ displaystyle J <0}$ антиферромагнитный заказ существует.

Именно, если ${ displaystyle | psi _ {1} rangle}$ является основным состоянием гамильтониана, то ${ Displaystyle | psi _ {2} rangle Equiv prod _ {j} X_ {j} | psi _ {1} rangle neq | psi _ {1} rangle}$ также является основным состоянием, и вместе ${ displaystyle | psi _ {1} rangle}$ и ${ displaystyle | psi _ {2} rangle}$ охватывают вырожденное пространство основного состояния. В качестве простого примера, когда ${ displaystyle g = 0}$ и ${ displaystyle J> 0}$ , основными состояниями являются ${ displaystyle | ldots uparrow uparrow uparrow ldots rangle}$ и ${ displaystyle | ldots downarrow downarrow downarrow ldots rangle}$ , то есть со всеми спинами, выровненными по ${ displaystyle z}$ ось.

Это фаза с зазором, означающая, что возбужденное состояние с наименьшей энергией имеет энергию, превышающую энергию основного состояния на ненулевую величину (не равную нулю в термодинамическом пределе). В частности, этот энергетический зазор равен ${ displaystyle 2 | J | (1- | g |)}$ .^[1]

Неупорядоченная фаза

Напротив, когда ${ displaystyle | g |> 1}$ система находится в неупорядоченной фазе. Основное состояние сохраняет симметрию переворота спина и является невырожденным. В качестве простого примера, когда ${ displaystyle g}$ бесконечность, основное состояние ${ Displaystyle | ldots rightarrow rightarrow rightarrow ldots rangle}$ , то есть со спином в ${ displaystyle + x}$ направление на каждом сайте.

Это также промежуточная фаза. Энергетическая щель составляет ${ Displaystyle 2 | J | (| г | -1)}$

Непрерывная фаза

Когда ${ Displaystyle | г | = 1}$ , в системе происходит квантовый фазовый переход. При этом значении ${ displaystyle g}$ , система имеет бесщелевые возбуждения, а ее поведение при низких энергиях описывается двумерной конформной теорией Изинга. Центральная роль в этой конформной теории ${ displaystyle c = 1/2}$ , и является простейшим из унитарных минимальные модели с центральным зарядом меньше 1. Помимо тождественного оператора, теория имеет два первичных поля, одно с масштабными размерностями ${ displaystyle (1 / 16,1 / 16)}$ и еще один с масштабируемыми размерами ${ Displaystyle (1 / 2,1 / 2)}$ .^[2]

Преобразование Джордана-Вигнера

Можно переписать спиновые переменные как фермионные переменные, используя сильно нелокальное преобразование, известное как преобразование Жордана-Вигнера.^[3]

Оператор создания фермионов на сайте ${ displaystyle j}$ можно определить как ${ displaystyle c_ {j} ^ { dagger} = { frac {1} {2}} (Z_ {j} + iY_ {j}) prod _ {k$ . Тогда гамильтониан Изинга поперечного поля (предполагающий бесконечную цепочку и игнорирование граничных эффектов) может быть полностью выражен как сумма локальных квадратичных членов, содержащих операторы рождения и уничтожения.

${ displaystyle H = -J sum _ {j} (c_ {j} ^ { dagger} c_ {j + 1} + c_ {j + 1} ^ { dagger} c_ {j} + c_ {j} ^ { dagger} c_ {j + 1} ^ { dagger} + c_ {j + 1} c_ {j} -2g (c_ {j} ^ { dagger} c_ {j} -1/2))}$

Этот гамильтониан не сохраняет полное число фермионов и не имеет ассоциированного ${ Displaystyle U (1)}$ глобальная непрерывная симметрия из-за наличия ${ displaystyle c_ {j} ^ { dagger} c_ {j + 1} ^ { dagger} + c_ {j + 1} c_ {j}}$ срок. Однако при этом сохраняется фермионная четность. То есть гамильтониан коммутирует с квантовым оператором, который указывает, является ли общее число фермионов четным или нечетным, и эта четность не меняется при эволюции системы во времени. Гамильтониан математически идентичен гамильтониану сверхпроводника в формализме Боголюбова деГенна среднего поля и может быть полностью понят таким же стандартным способом. Точный спектр возбуждения и собственные значения могут быть определены преобразованием Фурье в импульсное пространство и диагонализацией гамильтониана. В терминах майорановских фермионов ${ displaystyle a_ {j} = c_ {j} ^ { dagger} + c_ {j}}$ и ${ displaystyle b_ {j} = - я (c_ {j} ^ { dagger} -c_ {j})}$ , гамильтониан принимает еще более простой вид:

${ Displaystyle Н = я сумма _ {j} J (a_ {j + 1} b_ {j} + gb_ {j} a_ {j})}$

Двойственность Крамерса-Ванье

Нелокальное отображение матриц Паули, известное как преобразование двойственности Крамерса-Ванье, может быть выполнено следующим образом:^[4]

{ displaystyle { begin {align} { tilde {X_ {j}}} & = Z_ {j} Z_ {j + 1} { tilde {Z}} _ {j} { tilde {Z} } _ {j + 1} & = X_ {j + 1} end {align}}}

Тогда в терминах вновь определенных матриц Паули с тильдами, которые подчиняются тем же алгебраическим соотношениям, что и исходные матрицы Паули, гамильтониан просто

{ displaystyle H = -Jg sum _ {j} ({ tilde {Z}} _ {j} { tilde {Z}} _ {j + 1} + g ^ {- 1} { tilde {X }} _ {j})}

. Это указывает на то, что модель с параметром связи

{ displaystyle g}

двойственна модели с параметром связи

{ displaystyle g ^ {- 1}}

, и устанавливает двойственность между упорядоченной фазой и неупорядоченной фазой. В терминах упомянутых выше майорановских фермионов эта двойственность более явно проявляется в тривиальном переименовании

{ displaystyle a_ {j} to b_ {j}, b_ {j} to a_ {j + 1}}

.

Обратите внимание, что есть некоторые тонкие соображения на границах цепи Изинга; в результате вырождение и ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$ Свойства симметрии упорядоченной и неупорядоченной фаз изменяются под действием дуальности Крамерса-Ванье.

Обобщения

Q-состояние квантовая модель Поттса и ${ displaystyle Z_ {q}}$ модель квантовых часов являются обобщениями модели Изинга поперечного поля на решетчатые системы с ${ displaystyle q}$ состояния на сайте. Модель Изинга с поперечным полем представляет собой случай, когда ${ displaystyle q = 2}$ .

Классическая модель Изинга

Квантовая модель Изинга поперечного поля в ${ displaystyle d}$ размеры двойственны анизотропной классическая модель Изинга в ${ displaystyle d + 1}$ размеры.^[5]

Navigation