WikiDer > Усеченный треугольный трапецоэдр

Truncated triangular trapezohedron
Усеченный треугольный трапецоэдр
Твердое тело Дюрера
Triangular truncated trapezohedron.png
ТипУсеченный трапецоэдр
Лица6 пятиугольники,
2 треугольники
Края18
Вершины12
Группа симметрииD3D, [2+,6], (2*3)
Двойной многогранникГироудлиненная треугольная бипирамида
Характеристикивыпуклый

В геометрия, то усеченный треугольный трапецоэдр является первым в бесконечной серии усеченный трапецоэдр многогранники. Имеет 6 пятиугольник и 2 треугольник лица.

Геометрия

Этот многогранник можно построить с помощью усечение два противоположных вершины из куб, из треугольный трапецоэдр (выпуклый многогранник с шестью конгруэнтными ромб стороны, образованные растяжением или сжатием куба по одной из его длинных диагоналей), или ромбоэдр или же параллелепипед (менее симметричные многогранники, которые имеют ту же комбинаторную структуру, что и куб). В случае куба или тригонального трапецоэдра, где две усеченные вершины являются вершинами на осях растяжения, полученная форма имеет тройную форму. вращательная симметрия.

Твердое тело Дюрера

Меленколия I.

Этот многогранник иногда называют Твердое тело Дюрера, с момента появления в Альбрехт Дюрергравюра 1514 года Меленколия IГраф, образованный его ребрами и вершинами, называется Граф Дюрера.

Форма тела, изображенного Дюрером, является предметом некоторых научных дискуссий.[1] В соответствии с Линч (1982), гипотеза о том, что фигура представляет собой неправильно нарисованный усеченный куб, была продвинута Штраус (1972); однако большинство источников согласны с тем, что это усечение ромбоэдр. Несмотря на это согласие, точная геометрия этого ромбоэдра является предметом нескольких противоречивых теорий:

  • Рихтер (1957) утверждает, что ромбовидные ромбоэдра, из которого образована эта форма, имеют соотношение 5: 6 между их короткой и длинной диагоналями, из которых острые углы ромбов будут составлять примерно 80 °.
  • Шредер (1980) и Линч (1982) вместо этого сделайте вывод, что соотношение равно √3: 2 и что угол составляет приблизительно 82 °.
  • Макгиллаври (1981) измеряет детали чертежа и находит угол примерно 79 °. Он и более поздний автор, Вольф фон Энгельгардт (видеть Хидеко 2009) утверждают, что этот выбор угла обусловлен его физическим возникновением в кальцит кристаллы.
  • Шрайбер (1999) утверждает, основываясь на трудах Дюрера, что все вершины твердого тела Дюрера лежат на общей сфере, и далее утверждает, что углы ромба равны 72 °. Хидеко (2009) перечисляет несколько других ученых, которые также поддерживают теорию 72 °, начиная с Пола Гродзински в 1955 году. Он утверждает, что эта теория мотивируется не столько анализом реального рисунка, сколько эстетическими принципами, относящимися к правильные пятиугольники и Золотое сечение.
  • Вайцель (2004) анализирует набросок того же твердого тела, сделанный Дюрером 1510 г., и подтверждает гипотезу Шрайбера о том, что форма имеет вид окружающая сфера но с углами ромба примерно 79,5 °.
  • Хидеко (2009) утверждает, что форма предназначена для изображения решения известной геометрической проблемы удвоение куба, о котором Дюрер также писал в 1525 году. Отсюда он приходит к выводу, что (до срезания углов) форма представляет собой куб, вытянутый по длинной диагонали. В частности, он утверждает, что Дюрер нарисовал настоящий куб с длинной диагональю, параллельной перспективная плоскость, а затем увеличил свой рисунок в несколько раз в направлении длинной диагонали; результат будет таким же, как если бы он нарисовал удлиненное тело. Коэффициент увеличения, соответствующий удвоению куба, равен 2.1/3 ≈ 1,253, но Хидеко получил другой коэффициент увеличения, который лучше соответствует рисунку, 1,277, более сложным способом.
  • Футамура, Франц и Краннелл (2014) Классифицируйте предлагаемые решения этой задачи по двум параметрам: острому углу и уровню резания, называемому поперечным отношением. Их оценка перекрестного отношения близка к оценке Макгиллаври, а числовое значение близко к Золотое сечение. На основании этого они утверждают, что острый угол и что поперечное отношение точно .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Видеть Вайцель (2004) и Зиглер (2014), из которого большая часть следующей истории составлена.

Рекомендации

  • Линч, Теренс (1982), "Геометрическое тело на гравюре Дюрера. Меленколия I", Журнал институтов Варбурга и Курто, Институт Варбурга, 45: 226–232, Дои:10.2307/750979, JSTOR 750979.
  • Макгиллаври, К. (1981), "Многогранник в Меленколии I А. Дюрера", Nederl. Акад. Wetensch. Proc. Сер. B, 84: 287–294. Как цитирует Вайцель (2004).
  • Рихтер, Д. Х. (1957), "Перспективы и пропорции в Альбрехте Дюрере" Меланхолия"", З. Вермессунгсвезен, 82: 284–288 и 350–357. Как цитирует Вайцель (2004).
  • Шрайбер, Питер (1999), «Новая гипотеза загадочного многогранника Дюрера в его медной гравюре» Melencolia I"", Historia Mathematica, 26 (4): 369–377, Дои:10.1006 / hmat.1999.2245.
  • Шредер, Э. (1980), Dürer, Kunst und Geometrie, Dürers künstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner "Underweysung", Базель. Как цитирует Вайцель (2004).
  • Штраус, Вальтер Л. (1972), Полное собрание гравюр Дюрера, Нью-Йорк, стр. 168, ISBN 0-486-22851-7. Как цитирует Линч (1982).
  • Вебер, П. (1900), Beiträge zu Dürers Weltanschauung — Eine Studie über die drei Stiche Ritter, Tod und Teufel, Melancholie und Hieronymus im Gehäus, Страсбург. Как цитирует Вайцель (2004).
  • Weitzel, Hans (2004), "Еще одна гипотеза о многограннике на гравюре А. Дюрера Melencolia I", Historia Mathematica, 31 (1): 11–14, Дои:10.1016 / S0315-0860 (03) 00029-6.
  • Хидеко, Ишизу (2009), "Другое решение многогранника у Дюрера Melencolia: Наглядная демонстрация проблемы Делиана " (PDF), Эстетика, Японское общество эстетики, 13: 179–194.
  • Циглер, Гюнтер М. (3 декабря 2014 г.), "Многогранник Дюрера: 5 теорий, объясняющих сумасшедший куб Меленколии", Приключения Алекса Беллоса в стране чисел, Хранитель.
  • Futamura, F .; Frantz, M .; Краннелл, А. (2014), «Поперечное отношение как параметр формы для твердого тела Дюрера», Журнал математики и искусств, 8 (3–4): 111–119, arXiv:1405.6481, Дои:10.1080/17513472.2014.974483, S2CID 120958490.

внешняя ссылка