WikiDer > U-инвариант - Википедия
В математика, то универсальный инвариант или же ты-инвариантный из поле описывает структуру квадратичные формы над полем.
Универсальный инвариант ты(F) поля F это самый большой размер анизотропное квадратичное пространство над F, или ∞, если его не существует. С формально реальные поля имеют анизотропные квадратичные формы (суммы квадратов) в каждом измерении, инвариант представляет интерес только для других полей. Эквивалентная формулировка такова: ты наименьшее число такое, что каждая форма измерения больше, чем ты является изотропный, или что каждая форма измерения по крайней мере ты является универсальный.
Примеры
- Для сложные числа, ты(C) = 1.
- Если F является квадратично замкнутый тогда ты(F) = 1.
- Функциональное поле алгебраическая кривая над алгебраически замкнутое поле имеет ты ≤ 2; это следует из Теорема Цена что такое поле квазиалгебраически замкнутый.[1]
- Если F нереальный Глобальный или же местное поле, или в более общем смысле связанное поле, тогда ты(F) = 1, 2, 4 или 8.[2]
Характеристики
- Если F формально не реально ты(F) не более , индекс квадратов в мультипликативной группа из F.[3]
- ты(F) не может принимать значения 3, 5 или 7.[4] Поля существуют с ты = 6[5][6] и ты = 9.[7]
- Меркурьева показал, что каждый четное целое число встречается как значение ты(F) для некоторых F.[8][9]
- Александр Вишик доказано, что существуют поля с ты-инвариантный для всех .[10]
- В ты-инвариант ограничен относительно конечных-степень расширения полей. Если E/F расширение поля степени п тогда
В случае квадратичных расширений ты-инвариант ограничен
и достигаются все значения в этом диапазоне.[11]
Генерал ты-инвариантный
Поскольку ты-инвариантность малоинтересна в случае формально вещественных полей, определим Общее ты-инвариантный быть максимальным размером анизотропной формы в торсионная подгруппа из Кольцо Witt из F, или ∞, если его не существует.[12] Для неформально-вещественных полей кольцо Витта является торсионным, так что это согласуется с предыдущим определением.[13] Для формально реального поля общее ты-инвариантно либо четно, либо ∞.
Характеристики
- ты(F) ≤ 1 тогда и только тогда, когда F это Пифагорейское поле.[13]
Рекомендации
- ^ Лам (2005) стр.376
- ^ Лам (2005) стр.406
- ^ Лам (2005) стр. 400
- ^ Лам (2005) стр. 401
- ^ Лам (2005) с.484
- ^ Лам, Т. (1989). «Поля u-инварианта 6 по А. Меркурьеву». Теория колец 1989. В честь С. А. Амицура, Proc. Symp. и семинар, Иерусалим 1988/89. Israel Math. Конф. Proc. 1. С. 12–30. Zbl 0683.10018.
- ^ Ижболдин, Олег Т. (2001). «Поля u-инварианта 9». Анналы математики. Вторая серия. 154 (3): 529–587. Дои:10.2307/3062141. JSTOR 3062141. Zbl 0998.11015.
- ^ Лам (2005) стр. 402
- ^ Эльман, Карпенко, Меркурьев (2008) с. 170
- ^ Вишик, Александр (2009). "Поля ты-инвариантный ". Алгебра, арифметика и геометрия. Успехи в математике. Birkhäuser Boston. Дои:10.1007/978-0-8176-4747-6_22.
- ^ Минач, Ян; Уодсворт, Адриан Р. (1995). «U-инвариант для алгебраических расширений». В Розенберг, Алекс (ред.). K-теория и алгебраическая геометрия: связи с квадратичными формами и алгебрами с делением. Летний научно-исследовательский институт квадратичных форм и алгебр с делением, 6-24 июля 1992 г., Калифорнийский университет, Санта-Барбара, Калифорния (США). Proc. Symp. Чистая математика. 58. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 333–358. Zbl 0824.11018.
- ^ Лам (2005) стр. 409
- ^ а б Лам (2005) стр. 410
- Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. МИСТЕР 2104929. Zbl 1068.11023.
- Раджваде, А. Р. (1993). Квадраты. Серия лекций Лондонского математического общества. 171. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
- Элман, Ричард; Карпенко, Никита; Меркурьев, Александр (2008). Алгебраическая и геометрическая теория квадратичных форм. Публикации коллоквиума Американского математического общества. 56. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-0-8218-4329-1.