WikiDer > Теорема фон Штаудта – Клаузена

В теория чисел, то Теорема фон Штаудта – Клаузена это результат, определяющий дробная часть из Числа Бернулли, найденные независимоКарл фон Штаудт (1840) и Томас Клаузен (1840).

В частности, если п положительное целое число, и мы добавляем 1 /п к числу Бернулли B_2п для каждого основной п такой, что п - 1 делит 2п, получаем целое число, т.е.${ displaystyle B_ {2n} + sum _ {(p-1) | 2n} { frac {1} {p}} in mathbb {Z}.}$

Этот факт сразу позволяет охарактеризовать знаменатели ненулевых чисел Бернулли B_2п как произведение всех простых чисел п такой, что п - 1 делит 2п; следовательно, знаменатели без квадратов и делится на 6.

Эти знаменатели

6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... (последовательность A002445 в OEIS).

Доказательство

Доказательство теоремы фон Штаудта – Клаузена следует из явной формулы для чисел Бернулли:

${ displaystyle B_ {2n} = sum _ {j = 0} ^ {2n} { frac {1} {j + 1}} sum _ {m = 0} ^ {j} {(- 1) ^ {m} {j choose m} m ^ {2n}}}$

и как следствие:

${ displaystyle B_ {2n} = sum _ {j = 0} ^ {2n} { frac {j!} {j + 1}} (- 1) ^ {j} S (2n, j)}$

куда ${ Displaystyle S (п, j)}$ являются Числа Стирлинга второго рода.

Кроме того, необходимы следующие леммы:
Тогда пусть p - простое число,
1. Если p-1 делит 2n тогда,

${ displaystyle sum _ {m = 0} ^ {p-1} {(- 1) ^ {m} {p-1 choose m} m ^ {2n}} Equiv {-1} { pmod { п}}}$

2. Если p-1 не делит 2n тогда,

${ displaystyle sum _ {m = 0} ^ {p-1} {(- 1) ^ {m} {p-1 choose m} m ^ {2n}} Equiv 0 { pmod {p}} }$

Доказательство (1) и (2): Один из Маленькая теорема Ферма,

${ Displaystyle м ^ {р-1} эквив 1 { pmod {p}}}$

за ${ displaystyle m = 1,2, ..., p-1}$.
Если p-1 делит 2n то есть,

${ Displaystyle м ^ {2n} эквив 1 { pmod {p}}}$

за ${ displaystyle m = 1,2, ..., p-1}$.
После этого каждый имеет

${ displaystyle sum _ {m = 1} ^ {p-1} {(- 1) ^ {m} {p-1 choose m} m ^ {2n}} Equiv sum _ {m = 1} ^ {p-1} {(- 1) ^ {m} {p-1 choose m}} { pmod {p}}}$

откуда (1) следует немедленно.
Если p-1 не делит 2n то после теоремы Ферма имеем

${ Displaystyle м ^ {2n} эквив м ^ {2n- (p-1)} { pmod {p}}}$

Если позволить ${ displaystyle wp = [{ frac {2n} {p-1}}]}$ (Наибольшая целочисленная функция) то после итерации

${ Displaystyle м ^ {2n} эквив м ^ {2n- wp (p-1)} { pmod {p}}}$

за ${ displaystyle m = 1,2, ..., p-1}$ и ${ Displaystyle 0 <2n- wp (п-1) <р-1}$.
После этого каждый имеет

${ displaystyle sum _ {m = 0} ^ {p-1} {(- 1) ^ {m} {p-1 choose m} m ^ {2n}} Equiv sum _ {m = 0} ^ {p-1} {(- 1) ^ {m} {p-1 choose m} m ^ {2n- wp (p-1)}} { pmod {p}}}$

Лемма (2) теперь следует из вышеизложенного и того факта, что S(п,j) = 0 для j>п.
(3). Легко сделать вывод, что для a> 2 и b> 2, ab делит (ab-1)!.
(4). Числа Стирлинга второго рода - целые числа.

Доказательство теоремы: Теперь мы готовы доказать теорему Фон-Штаудта Клаузена,
Если j + 1 составное и j> 3 то из (3) j + 1 делит j !.
Для j = 3

${ displaystyle sum _ {m = 0} ^ {3} {(- 1) ^ {m} {3 select m} m ^ {2n}} = 3 cdot 2 ^ {2n} -3 ^ {2n } -3 Equiv 0 { pmod {4}}}$

Если j + 1 простое, то воспользуемся (1) и (2) и если j + 1 составна, то воспользуемся (3) и (4) вывести:

${ displaystyle B_ {2n} = I_ {n} - sum _ {(p-1) | 2n} { frac {1} {p}}}$

куда ${ displaystyle I_ {n}}$ является целым числом, что является теоремой Фон-Штаудта Клаузена.^[1][2]

Смотрите также

• Конгруэнтность Куммера

Рекомендации

• Клаузен, Томас (1840 г.), «Теорема», Astronomische Nachrichten, 17 (22): 351–352, Дои:10.1002 / asna.18400172204
• Радо, Р. (1934), "Новое доказательство теоремы В. Штаудта", J. London Math. Soc., 9 (2): 85–88, Дои:10.1112 / jlms / s1-9.2.85
• фон Штаудт, гл. (1840 г.), "Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen Betreffend", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 21: 372–374, ISSN 0075-4102, ERAM 021.0672cj

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема фон Штаудта-Клаузена". MathWorld.