WikiDer > Формула Вальдспургера

Эта статья требует внимания специалиста по математике. Конкретная проблема: Статья требует более мягкого энциклопедического введения для широкого читателя. ВикиПроект по математике может помочь нанять эксперта. (Март 2019 г.)

В теория представлений математики Формула Вальдспургера связывает особые ценности из двух L-функции двух связанных допустимый неприводимые представления. Позволять k быть базовым полем, ж быть автоморфная форма над k, π - представление, связанное через Соответствие Жаке – Ленглендса с ж. Горо Шимура (1976) доказали эту формулу, когда ${ Displaystyle к = mathbb {Q}}$ и ж это куспид; Гюнтер Хардер сделал то же открытие в то же время в неопубликованной статье. Мари-Франс Виньера (1980) доказали эту формулу, когда {${ Displaystyle к = mathbb {Q}}$ и ж это новая форма. Жан-Лу Вальдспургер, для которого формула названа, опровергла и обобщила результат Виньераса в 1985 году с помощью совершенно другого метода, который впоследствии широко использовался математиками для доказательства аналогичных формул.

Заявление

Позволять ${ displaystyle k}$ быть числовое поле, ${ displaystyle mathbb {A}}$ быть его адель кольцо, ${ Displaystyle к ^ { раз}}$ быть подгруппа обратимых элементов ${ displaystyle k}$, ${ displaystyle mathbb {A} ^ { times}}$ - подгруппа обратимых элементов ${ displaystyle mathbb {A}}$, ${ Displaystyle чи, чи _ {1}, чи _ {2}}$ быть тремя квадратичными символами над ${ Displaystyle mathbb {А} ^ { раз} / к ^ { раз}}$, ${ Displaystyle G = SL_ {2} (к)}$, ${ Displaystyle { mathcal {A}} (G)}$ быть пространством для всех бугорки над ${ Displaystyle G (к) обратная косая черта G ( mathbb {A})}$, ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ быть Алгебра Гекке из ${ Displaystyle G ( mathbb {A})}$. Предположить, что, ${ displaystyle pi}$ допустимое неприводимое представление из ${ Displaystyle G ( mathbb {A})}$ к ${ Displaystyle { mathcal {A}} (G)}$, то центральный персонаж π тривиально, ${ Displaystyle пи _ { ню} сим пи [ч _ { ню}]}$ когда ${ displaystyle nu}$ это архимедово место, ${ displaystyle {A}}$ является подпространством ${ Displaystyle {{ mathcal {A}} (G)}}$ такой, что ${ displaystyle pi | _ { mathcal {H}}: { mathcal {H}} to A}$. Мы предполагаем далее, что, ${ Displaystyle varepsilon ( пи otimes chi, 1/2)}$ Ленглендс ${ displaystyle varepsilon}$-постоянный [ (Langlands 1970); (Делинь 1972) ] связано с ${ displaystyle pi}$ и ${ displaystyle chi}$ в ${ displaystyle s = 1/2}$. Существует ${ displaystyle { gamma in k ^ { times}}}$ такой, что ${ Displaystyle к ( чи) = к ({ sqrt { gamma}})}$.

Определение 1. Символ Лежандра ${ Displaystyle влево ({ гидроразрыва { чи} { пи}} справа) = varepsilon ( pi otimes chi, 1/2) cdot varepsilon ( pi, 1/2) cdot chi (-1).}$

• Комментарий. Поскольку все члены справа либо имеют значение +1, либо имеют значение -1, член слева может принимать значение только в наборе {+1, -1}.

Определение 2. Пусть ${ displaystyle {D _ { chi}}}$ быть дискриминант из ${ displaystyle chi}$. ${ displaystyle p ( chi) = D _ { chi} ^ {1/2} sum _ { nu { text {archimedean}}} left vert gamma _ { nu} right vert _ { nu} ^ {h _ { nu} / 2}.}$

Определение 3. Пусть ${ displaystyle f_ {0}, f_ {1} in A}$. ${ displaystyle b (f_ {0}, f_ {1}) = int _ {x in k ^ { times}} f_ {0} (x) cdot { overline {f_ {1} (x) }} , dx.}$

Определение 4. Пусть ${ displaystyle {T}}$ быть максимальный тор из ${ displaystyle {G}}$, ${ displaystyle {Z}}$ быть центром ${ displaystyle {G}}$, ${ displaystyle varphi in A}$. ${ Displaystyle бета ( varphi, T) = int _ {t in Z backslash T} b ( pi (t) varphi, varphi) , dt.}$

• Комментарий. Однако не очевидно, что функция ${ displaystyle beta}$ является обобщением Сумма Гаусса.

Позволять ${ displaystyle K}$ поле такое, что ${ Displaystyle К ( пи) подмножество К подмножество mathbb {C}}$. Можно выбрать K-подпространство${ displaystyle {A ^ {0}}}$ из ${ displaystyle A}$ такой, что (я) ${ displaystyle A = A ^ {0} otimes _ {K} mathbb {C}}$; (ii) ${ Displaystyle (A ^ {0}) ^ { pi (G)} = A ^ {0}}$. Де-факто есть только один такой ${ displaystyle A ^ {0}}$ по модулю гомотетии. Позволять ${ displaystyle T_ {1}, T_ {2}}$ - два максимальных тора ${ displaystyle G}$ такой, что ${ displaystyle chi _ {T_ {1}} = chi _ {1}}$ и ${ displaystyle chi _ {T_ {2}} = chi _ {2}}$. Мы можем выбрать два элемента ${ displaystyle varphi _ {1}, varphi _ {2}}$ из ${ displaystyle A ^ {0}}$ такой, что ${ Displaystyle бета ( varphi _ {1}, T_ {1}) neq 0}$ и ${ Displaystyle бета ( varphi _ {2}, T_ {2}) neq 0}$.

Определение 5. Пусть ${ displaystyle D_ {1}, D_ {2}}$ быть дискриминантами ${ displaystyle chi _ {1}, chi _ {2}}$.

${ displaystyle p ( pi, chi _ {1}, chi _ {2}) = D_ {1} ^ {- 1/2} D_ {2} ^ {1/2} L ( chi _ { 1}, 1) ^ {- 1} L ( chi _ {2}, 1) L ( pi otimes chi _ {1}, 1/2) L ( pi otimes chi _ {2} , 1/2) ^ {- 1} beta ( varphi _ {1}, T_ {1}) ^ {- 1} beta ( varphi _ {2}, T_ {2}).}$

• Комментарий. Когда ${ Displaystyle чи _ {1} = чи _ {2}}$, правая часть определения 5 становится тривиальной.

Мы принимаем ${ displaystyle Sigma _ {f}}$ быть множеством {все конечные ${ displaystyle k}$-места ${ Displaystyle ню мид пи _ { ню}}$ не отображает ненулевые векторы, инвариантные под действием ${ Displaystyle {GL_ {2} (к _ { nu})}}$ до нуля}, ${ displaystyle { Sigma _ {s}}}$ быть набором {всех ${ displaystyle k}$-места ${ Displaystyle ню мид ню}$ является реальным или конечным и особенным}.

Теорема [(Вальдспургер 1985), Теор.4, с. 235]. Позволять ${ Displaystyle к = mathbb {Q}}$. Мы предполагаем, что, (i) ${ Displaystyle L ( пи otimes chi _ {2}, 1/2) neq 0}$; (ii) для ${ displaystyle nu in Sigma _ {s}}$, ${ displaystyle left ({ frac { chi _ {1, nu}} { pi _ { nu}}} right) = left ({ frac { chi _ {2, nu}) } { pi _ { nu}}} right)}$ . Тогда существует постоянная ${ Displaystyle {д в mathbb {Q} ( pi)}}$ такой, что

${ Displaystyle L ( пи otimes chi _ {1}, 1/2) L ( pi otimes chi _ {2}, 1/2) ^ {- 1} = qp ( chi _ {1 }) p ( chi _ {2}) ^ {- 1} prod _ { nu in Sigma _ {f}} p ( pi _ { nu}, chi _ {1, nu} , chi _ {2, nu})}$

Комментарии:

• (i) Формула в теореме - хорошо известная формула Вальдспургера. Он носит глобально-локальный характер, слева - глобальная часть, справа - локальная часть. К 2017 году математики часто называют это классической формулой Вальдспургера.
• (ii) Стоит отметить, что, когда два символа равны, формулу можно значительно упростить.
• (iii) [(Вальдспургер 1985), Теор.6, с. 241] Когда один из двух символов ${ displaystyle {1}}$, Формула Вальдспургера становится намного проще. Без ограничения общности можно считать, что ${ Displaystyle чи _ {1} = чи}$ и ${ displaystyle chi _ {2} = 1}$. Тогда есть элемент ${ Displaystyle {д в mathbb {Q} ( pi)}}$ такой, что ${ displaystyle L ( pi otimes chi, 1/2) L ( pi, 1/2) ^ {- 1} = qD _ { chi} ^ {1/2}.}$

Случай, когда ${ Displaystyle к = mathbb {F} _ {p} (T)}$ и ${ displaystyle varphi}$ это метаплектическая форма острия

Пусть p - простое число, ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ быть полем с п элементы ${ displaystyle R = mathbb {F} _ {p} [T], k = mathbb {F} _ {p} (T), k _ { infty} = mathbb {F} _ {p} (( T ^ {- 1})), o _ { infty}}$ быть целочисленное кольцо из ${ displaystyle k _ { infty}, { mathcal {H}} = PGL_ {2} (k _ { infty}) / PGL_ {2} (o _ { infty}), Gamma = PGL_ {2} (R )}$. Предположить, что, ${ displaystyle N, D in R}$, D есть свободный от квадратов четной степени и взаимно просты с N, то простые множители из ${ displaystyle N}$ является ${ Displaystyle prod _ { ell} ell ^ { alpha _ { ell}}}$. Мы принимаем ${ displaystyle Gamma _ {0} (N)}$ к набору ${ displaystyle left {{ begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} in Gamma mid c Equiv 0 { bmod {N}} right },}$ ${ Displaystyle S_ {0} ( Gamma _ {0} (N))}$ быть набором всех куспидов уровня N и глубиной 0. Предположим, что, ${ displaystyle varphi, varphi _ {1}, varphi _ {2} in S_ {0} ( Gamma _ {0} (N))}$.

Определение 1. Пусть ${ displaystyle left ({ frac {c} {d}} right)}$ быть Символ Лежандра из c по модулю d, ${ Displaystyle { widetilde {SL}} _ {2} (к _ { infty}) = Mp_ {2} (k _ { infty})}$. Метаплектический морфизм ${ displaystyle eta: SL_ {2} (R) to { widetilde {SL}} _ {2} (k _ { infty}), { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} mapsto left ({ begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}, left ({ frac {c} {d}} right) right).}$

Определение 2. Пусть ${ displaystyle z = x + iy in { mathcal {H}}, d mu = { frac {dx , dy} { left vert y right vert ^ {2}}}}$. Внутренний продукт Петерсона ${ Displaystyle langle varphi _ {1}, varphi _ {2} rangle = [ Gamma: Gamma _ {0} (N)] ^ {- 1} int _ { Gamma _ {0} (N) backslash { mathcal {H}}} varphi _ {1} (z) { overline { varphi _ {2} (z)}} , d mu.}$

Определение 3. Пусть ${ displaystyle n, P in R}$. Сумма Гаусса ${ displaystyle G_ {n} (P) = sum _ {r in R / PR} left ({ frac {r} {P}} right) e (rnT ^ {2}).}$

Позволять ${ displaystyle lambda _ { infty, varphi}}$ - собственное значение Лапласа ${ displaystyle varphi}$. Есть постоянный ${ displaystyle theta in mathbb {R}}$ такой, что ${ displaystyle lambda _ { infty, varphi} = { frac {e ^ {- i theta} + e ^ {i theta}} { sqrt {p}}}.}$

Определение 4. Предположим, что ${ Displaystyle v _ { infty} (a / b) = deg (a) - deg (b), nu = v _ { infty} (y)}$. Функция Уиттекера

${ displaystyle W_ {0, я theta} (y) = { begin {case} { frac { sqrt {p}} {e ^ {i theta} -e ^ {- i theta}}} left [ left ({ frac {e ^ {i theta}} { sqrt {p}}} right) ^ { nu -1} - left ({ frac {e ^ {- i theta}} { sqrt {p}}} right) ^ { nu -1} right], & { text {when}} nu geq 2; 0, & { text {иначе} } end {case}}}$.

Определение 5. Разложение Фурье – Уиттекера. ${ displaystyle varphi (z) = sum _ {r in R} omega _ { varphi} (r) e (rxT ^ {2}) W_ {0, i theta} (y).}$. Один звонит ${ Displaystyle omega _ { varphi} (г)}$ коэффициенты Фурье – Уиттекера ${ displaystyle varphi}$.

Определение 6. Оператор Аткина – Ленера ${ displaystyle W _ { alpha _ { ell}} = { begin {pmatrix} ell ^ { alpha _ { ell}} & b N & ell ^ { alpha _ { ell}} d конец {pmatrix}}}$ с ${ displaystyle ell ^ {2 alpha _ { ell}} d-bN = ell ^ { alpha _ { ell}}.}$

Определение 7. Предположим, что, ${ displaystyle varphi}$ это Собственная форма Гекке. Собственное значение Аткина – Ленера ${ displaystyle w _ { alpha _ { ell}, varphi} = { frac { varphi (W _ { alpha _ { ell}} z)} { varphi (z)}}}$ с ${ Displaystyle ш _ { альфа _ { ell}, varphi} = pm 1.}$

Определение 8. ${ displaystyle L ( varphi, s) = sum _ {r in R backslash {0 }} { frac { omega _ { varphi} (r)} { left vert r right vert _ {p} ^ {s}}}.}$

Позволять ${ displaystyle { widetilde {S}} _ {0} ({ widetilde { Gamma}} _ {0} (N))}$ быть метаплектической версией ${ Displaystyle S_ {0} ( Gamma _ {0} (N))}$, ${ Displaystyle {E_ {1}, ldots, E_ {d} }}$ быть хорошим собственным основанием для Хекке ${ displaystyle { widetilde {S}} _ {0} ({ widetilde { Gamma}} _ {0} (N))}$ с уважением к Внутренний продукт Петерсона. Отметим Переписка Шимуры к ${ displaystyle operatorname {Sh}.}$

Теорема [(Алтуг, Цимерман 2010), Теор. 5.1, с. 60]. Предположим, что ${ displaystyle K _ { varphi} = { frac {1} {{ sqrt {p}} ({ sqrt {p}} - e ^ {- i theta}) ({ sqrt {p}} - е ^ {я тета})}}}$, ${ displaystyle chi _ {D}}$ квадратичный характер с ${ displaystyle Delta ( chi _ {D}) = D}$. потом

${ displaystyle sum _ { operatorname {Sh} (E_ {i}) = varphi} left vert omega _ {E_ {i}} (D) right vert _ {p} ^ {2} = { frac {K _ { varphi} G_ {1} (D) left vert D right vert _ {p} ^ {- 3/2}} { langle varphi, varphi rangle}} L ( varphi otimes chi _ {D}, 1/2) prod _ { ell} left (1+ left ({ frac { ell ^ { alpha _ { ell}}}} { D}} right) w _ { alpha _ { ell}, varphi} right).}$

Рекомендации

• Waldspurger, Жан-Лу (1985), "Sur les valeurs de surees L-fonctions automorphes en leur center de symétrie", Compositio Mathematica, 54 (2): 173–242
• Виньера, Мари-Франс (1981), «Валер в центре симметрии функций L associées aux formes modulaire», Семинария Теории Номбр, Париж, 1979–1980 годы, Progress in Math., Birkhäuser, стр. 331–356.
• Шимура, Горо (1976), "О специальных значениях дзета-функций, связанных с формами возврата", Сообщения по чистой и прикладной математике., 29: 783–804
• Алтуг, Салим Али; Цимерман, Джейкоб (2010). «Метаплектическая гипотеза Рамануджана над функциональными полями с приложениями к квадратичным формам». arXiv:1008.0430v3.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Лэнглендс, Роберт (1970). О функциональном уравнении L-функций Артина..CS1 maint: ref = harv (связь)
• Делинь, Пьер (1972). "Les constantes des équations fonctionelle des fonctions L". Модульные функции одной переменной II. Международная летняя школа по модульным функциям. Антверпен. С. 501–597.CS1 maint: ref = harv (связь)