WikiDer > Вуден кардинал

В теория множеств, а Вуден кардинал (назван в честь В. Хью Вудин) это количественное числительное λ такое, что для всех функций

ж : λ → λ

существует кардинал κ <λ такой, что

{ж(β) | β <κ} ⊆ κ

и элементарное вложение

j : V → M

от Вселенная фон Неймана V в переходный внутренняя модель M с критическая точка κ и

V_{j (f) (κ)} ⊆ M.

Эквивалентное определение таково: λ - Woodin если и только если λ - это сильно недоступен и для всех ${ displaystyle A substeq V _ { lambda}}$ существует ${ displaystyle lambda _ {A}}$ <λ, что равно ${ displaystyle < lambda}$-${ displaystyle A}$-сильный.

${ displaystyle lambda _ {A}}$ существование ${ displaystyle < lambda}$-${ displaystyle A}$-сильный означает, что для всех порядковые α <λ, существует ${ displaystyle j: V to M}$ который является элементарное вложение с критическая точка ${ displaystyle lambda _ {A}}$, ${ displaystyle j ( lambda _ {A})> alpha}$, ${ Displaystyle V _ { alpha} substeq M}$ и ${ Displaystyle J (A) cap V _ { alpha} = A cap V _ { alpha}}$. (Смотрите также сильный кардинал.)

Кардиналу Вудена предшествует стационарный набор из измеримые кардиналы, и, таким образом, это Мало кардинал. Однако первый кардинал Вудена даже не слабо компактный.

Последствия

Кардиналы Вудина важны в описательная теория множеств. По результату^[1] из Мартин и Стали, существование бесконечного числа кардиналов Вудена влечет проективная детерминированность, что, в свою очередь, означает, что каждое проективное множество измеримый, имеет Бэр недвижимость (отличается от открытого набора скудный набор, то есть множество, которое является счетным объединением нигде не плотные множества), а идеальный набор собственности (либо счетно, либо содержит идеально подмножество).

Непротиворечивость существования кардиналов Вудена может быть доказана с помощью гипотез детерминированности. Работает в ZF+ОБЪЯВЛЕНИЕ+ОКРУГ КОЛУМБИЯ можно доказать, что ${ displaystyle Theta _ {0}}$ является Вуденом в классе наследственно ординально определимых множеств. ${ displaystyle Theta _ {0}}$ - это первый ординал, на который нельзя отобразить континуум с помощью ординально-определяемой сюръекции (см. Θ (теория множеств)).

Шела доказал, что если существование кардинала Вудена непротиворечиво, то непротиворечиво и нестационарный идеал на ω₁ является ${ displaystyle aleph _ {2}}$-насыщенный. Вудин также доказал равносогласованность существования бесконечного числа кардиналов Вудена и существования ${ displaystyle aleph _ {1}}$-плотный идеал над ${ displaystyle aleph _ {1}}$.

Кардиналы Hyper-Woodin

А кардинал κ называется гипервудином, если существует нормальная мера U на κ такое, что для любого множества S, набор

{λ <κ | λ <κ-S-сильный}

в U.

λ является <κ-S-сильным тогда и только тогда, когда для каждого δ <κ существует переходный класс N и элементарное вложение

j: V → N

с

λ = крит (j),

j (λ) ≥ δ и

${ Displaystyle J (S) cap H _ { delta} = S cap H _ { delta}}$.

Название отсылает к классическому результату, что кардинал является Вуденом тогда и только тогда, когда для каждого набора S, набор

{λ <κ | λ <κ-S-сильный}

это стационарный набор

Мера U будет содержать набор всех Кардиналы Шела ниже κ.

Слабо гипервудинские кардиналы

А кардинал κ называется слабо гипервуденовским, если для каждого множества S существует нормальная мера U на κ такое, что множество {λ <κ | λ <κ-S-strong} находится в U. λ является <κ-S-сильным тогда и только тогда, когда для каждого δ <κ существует транзитивный класс N и элементарное вложение j: V → N с λ = crit (j), j (λ)> = δ и ${ displaystyle j (S) cap H _ { delta} = S cap H _ { delta}.}$

Название отсылает к классическому результату, что кардиналом является Вуден, если для каждого набора S, множество {λ <κ | λ <κ-S-сильный} стационарен.

Разница между кардиналами гипервудина и слабо гипервудиновыми кардиналами состоит в том, что выбор U не зависит от выбора набора S для кардиналов Hyper-Woodin.

Примечания и ссылки

дальнейшее чтение

• Канамори, Акихиро (2003). Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
• Доказательства двух результатов, перечисленных в следствиях, см. Справочник по теории множеств (Ред. Форман, Канамори, Магидор) (в печати). Черновики некоторых глав доступны.
• Эрнест Шиммерлинг, Кардиналы Вудина, кардиналы Шелаха и основная модель Митчелла-Стила, Proceedings of the American Mathematical Society 130/11, pp. 3385–3391, 2002, онлайн
• Сталь, Джон Р. (Октябрь 2007 г.). "Что такое кардинал Вудена?" (PDF). Уведомления Американского математического общества. 54 (9): 1146–7. Получено 2008-01-15.