WikiDer > Алгебраическое уравнение

Algebraic equation

В математика, алгебраическое уравнение или полиномиальное уравнение является уравнение формы

{ displaystyle P = 0}

где п это многочлен с участием коэффициенты в некоторых поле, часто поле рациональное число. Для большинства авторов алгебраическое уравнение одномерный, что означает, что в нем участвует только один переменная. С другой стороны, полиномиальное уравнение может включать несколько переменных, и в этом случае оно называется многомерный и срок полиномиальное уравнение обычно предпочитают алгебраическое уравнение.

Например,

{ displaystyle x ^ {5} -3x + 1 = 0}

является алгебраическим уравнением с целыми коэффициентами и

{ displaystyle y ^ {4} + { frac {xy} {2}} = { frac {x ^ {3}} {3}} - xy ^ {2} + y ^ {2} - { frac {1} {7}}}

является многомерным полиномиальным уравнением над рациональными числами.

Некоторые, но не все полиномиальные уравнения с рациональные коэффициенты есть решение, которое является алгебраическое выражение которые можно найти с помощью конечного числа операций, которые включают только те же типы коэффициентов (то есть могут быть решено алгебраически). Это можно сделать для всех таких уравнений степень один, два, три или четыре; но для степени пять или выше это можно сделать только для некоторых уравнений, не для всех. Большое количество исследований было посвящено вычислению эффективных и точных приближений настоящий или сложный решения одномерного алгебраического уравнения (см. Алгоритм поиска корней) и общих решений нескольких многомерных полиномиальных уравнений (см. Система полиномиальных уравнений).

История

Изучение алгебраических уравнений, вероятно, старо, как математика: Вавилонские математики, еще в 2000 г. до н.э. могли решить некоторые виды квадратные уравнения (отображается на Старый вавилонский глиняные таблички).

Одномерные алгебраические уравнения над рациональными числами (т. Е. С рациональный коэффициенты) имеют очень долгую историю. Древние математики хотели найти решения в виде радикальные выражения, любить ${ displaystyle x = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}}}$ для положительного решения ${ displaystyle x ^ {2} -x-1 = 0}$ . Древние египтяне умели таким образом решать уравнения степени 2. Индийский математик Брахмагупта (597–668 гг. Н.э.) подробно описал квадратную формулу в своем трактате Brāhmasphuṭasiddhānta, опубликованном в 628 г., но написанном словами, а не символами. В 9 веке Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми и другие исламские математики получили квадратичная формула, общее решение уравнений степени 2, и признал важность дискриминант. В эпоху Возрождения в 1545 г. Джероламо Кардано опубликовал решение Сципионе-дель-Ферро и Никколо Фонтана Тарталья к уравнения степени 3 и что из Лодовико Феррари для уравнения степени 4. в заключение Нильс Хенрик Абель в 1824 г. доказал, что уравнения степени 5 и выше не имеют общих решений с использованием радикалов. Теория Галуа, названный в честь Эварист Галуа, показал, что некоторые уравнения, по крайней мере, степени 5, даже не имеют идиосинкратического решения в радикалах, и дал критерии для определения того, действительно ли уравнение разрешимо с использованием радикалов.

Направления обучения

Алгебраические уравнения лежат в основе ряда областей современной математики: Алгебраическая теория чисел является изучением (одномерных) алгебраических уравнений над рациональными числами (то есть с рациональный коэффициенты). Теория Галуа был представлен Эварист Галуа определить критерии для решения, можно ли решить алгебраическое уравнение в терминах радикалов. В теория поля, алгебраическое расширение является расширением, в котором каждый элемент является корнем алгебраического уравнения над базовым полем. Трансцендентная теория чисел это изучение действительных чисел, которые не являются решениями алгебраического уравнения над рациональными числами. А Диофантово уравнение представляет собой (обычно многомерное) полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами, для которого интересны целочисленные решения. Алгебраическая геометрия это исследование решений в алгебраически замкнутое поле многомерных полиномиальных уравнений.

Два уравнения эквивалентны, если они имеют одинаковый набор решения. В частности, уравнение ${ Displaystyle P = Q}$ эквивалентно ${ displaystyle P-Q = 0}$ . Отсюда следует, что изучение алгебраических уравнений равносильно изучению многочленов.

Полиномиальное уравнение над рациональными числами всегда можно преобразовать в эквивалентное, в котором коэффициенты находятся целые числа. Например, умножая на 42 = 2 · 3 · 7 и группируя его члены в первом члене, ранее упомянутое полиномиальное уравнение ${ displaystyle y ^ {4} + { frac {xy} {2}} = { frac {x ^ {3}} {3}} - xy ^ {2} + y ^ {2} - { frac {1} {7}}}$ становится

{ displaystyle 42y ^ {4} + 21xy-14x ^ {3} + 42xy ^ {2} -42y ^ {2} + 6 = 0.}

Потому что синус, возведение в степень, и 1 /Т не являются полиномиальными функциями,

{ displaystyle e ^ {T} x ^ {2} + { frac {1} {T}} xy + sin (T) z-2 = 0}

является не полиномиальное уравнение от четырех переменных Икс, у, z, и Т над рациональными числами. Однако это полиномиальное уравнение от трех переменных Икс, у, и z над полем элементарные функции в переменной Т.

Теория

Полиномы

Учитывая неизвестное уравнение $Икс$

{ displaystyle ( mathrm {E}) qquad a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + dots + a_ {1} x + a_ {0} = 0}

,

с коэффициентами в поле $K$ , можно эквивалентно сказать, что решения (E) в $K$ корни в $K$ полинома

{ displaystyle P = a_ {n} X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + dots + a_ {1} X + a_ {0} quad in K [X] }

.

Можно показать, что многочлен степени $п$ в поле не больше $п$ корни. Следовательно, уравнение (E) имеет не более $п$ решения.

Если $K '$ это расширение поля из $K$ , можно рассматривать (E) как уравнение с коэффициентами в $K$ и решения (E) в $K$ также решения в $K '$ (обратное, вообще говоря, неверно). Всегда можно найти расширение поля $K$ известный как поле разрыва полинома $п$ , в котором (E) имеет хотя бы одно решение.

Существование решений вещественных и сложных уравнений

В основная теорема алгебры заявляет, что поле из сложные числа замкнуто алгебраически, то есть все полиномиальные уравнения с комплексными коэффициентами и степенью не менее одной имеют решение.

Отсюда следует, что все полиномиальные уравнения степени 1 или более с действительными коэффициентами имеют сложный решение. С другой стороны, такое уравнение, как ${ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}$ не имеет решения в ${ Displaystyle mathbb {R}}$ (решениями являются мнимые единицы $я$ и $-я$ ).

Хотя реальные решения реальных уравнений интуитивно понятны (они $Икс$ -координаты точек, где кривая $у = п (Икс)$ пересекает $Икс$ -axis), существование сложных решений реальных уравнений может быть неожиданным и менее простым для визуализации.

Однако монический многочлен из странный степень обязательно должна иметь настоящий корень. Связанный полиномиальная функция в $Икс$ непрерывно и приближается ${ displaystyle - infty}$ так как $Икс$ подходы ${ displaystyle - infty}$ и ${ displaystyle + infty}$ так как $Икс$ подходы ${ displaystyle + infty}$ . Посредством теорема о промежуточном значении, поэтому он должен принимать нулевое значение в некоторой реальной $Икс$ , которое тогда является решением полиномиального уравнения.

Связь с теорией Галуа

Существуют формулы, дающие решения действительных или комплексных многочленов степени меньше или равной четырем в зависимости от их коэффициентов. Авель показал, что невозможно найти такую формулу вообще (используя только четыре арифметических действия и извлекая корни) для уравнений пятой степени и выше. Теория Галуа предоставляет критерий, который позволяет определить, можно ли выразить решение данного полиномиального уравнения с помощью радикалов.

Явное решение численных уравнений

Подход

Явное решение действительного или комплексного уравнения степени 1 тривиально. Решение уравнение более высокой степени $п$ сводится к разложению ассоциированного многочлена на множители, т. е. переписыванию (E) в виде

{ displaystyle a_ {n} (x-z_ {1}) dots (x-z_ {n}) = 0}

,

где решения тогда ${ displaystyle z_ {1}, dots, z_ {n}}$ . Проблема в том, чтобы выразить ${ displaystyle z_ {i}}$ с точки зрения ${ displaystyle a_ {i}}$ .

Этот подход применяется в более общем случае, если коэффициенты и решения принадлежат область целостности.

Общие техники

Факторинг

Если уравнение $п (Икс) = 0$ степени $п$ имеет рациональный корень $α$ , ассоциированный многочлен можно разложить на множители, чтобы получить вид $п (Икс) = (Икс - α) Q (Икс)$ (от разделение $п (Икс)$ от $Икс - α$ или письменно $п (Икс) - п (α)$ как линейная комбинация условий формы $Икс k - α k$ , и за вычетом $Икс - α$ . Решение $п (Икс) = 0$ таким образом сводится к решению степени $п - 1$ уравнение $Q (Икс) = 0$ . См., Например, кейс $п = 3$ .

Устранение субдоминирующего термина

Чтобы решить уравнение степени $п$ ,

{ displaystyle ( mathrm {E}) qquad a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + dots + a_ {1} x + a_ {0} = 0}

,

обычным предварительным шагом является устранение степени $п - 1$ срок: установив ${ displaystyle x = y - { frac {a_ {n-1}} {n , a_ {n}}}}$ , уравнение (E) принимает вид

{ displaystyle a_ {n} y ^ {n} + b_ {n-2} y ^ {n-2} + dots + b_ {1} x + b_ {0} = 0}

.

Леонард Эйлер разработал эту технику для дело $п = 3$ но это также применимо к дело $п = 4$ , Например.

Квадратные уравнения

Чтобы решить квадратное уравнение вида ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ один вычисляет дискриминант Δ определяется формулой ${ displaystyle Delta = b ^ {2} -4ac}$ .

Если полином имеет действительные коэффициенты, он имеет:

два различных действительных корня, если ${ displaystyle Delta> 0}$ ;
один настоящий двойной корень, если ${ displaystyle Delta = 0}$ ;
нет настоящего корня, если ${ displaystyle Delta <0}$ , но два комплексно-сопряженных корня.

Кубические уравнения

Самый известный метод решения кубических уравнений путем записи корней в радикалах - это Формула Кардано.

Уравнения четвертой степени

Для подробного обсуждения некоторых методов решения см .:

Трансформация Чирнхауса (общий метод, успех не гарантируется);
Безу метод (общий метод, успех не гарантируется);
Метод Феррари (решения для степени 4);
Метод Эйлера (решения для степени 4);
Метод Лагранжа (решения для степени 4);
Метод Декарта (решения для степени 2 или 4);

Уравнение четвертой степени ${ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0}$ с участием ${ displaystyle a neq 0}$ может быть сведено к квадратному уравнению заменой переменной при условии, что биквадратный ( $б = г = 0$ ) или квазипалиндромный ( $е = а, d = b$ ).

Некоторые кубические и четвертые уравнения могут быть решены с помощью тригонометрия или гиперболические функции.

Уравнения высшей степени

Эварист Галуа и Нильс Хенрик Абель независимо показал, что в общем случае полином степени 5 и выше не разрешим в радикалах. У некоторых конкретных уравнений есть решения, например, связанные с циклотомические многочлены степеней 5 и 17.

Чарльз Эрмит, с другой стороны, показали, что многочлены степени 5 разрешимы с помощью эллиптические функции.

В противном случае можно найти численные приближения к корням, используя алгоритмы поиска корней, такие как Метод Ньютона.

Смотрите также

Алгебраическая функция
Алгебраическое число
Поиск корня
Линейное уравнение (степень = 1)
Квадратное уровненеие (степень = 2)
Кубическое уравнение (степень = 3)
Уравнение четвертой степени (степень = 4)
Квинтическое уравнение (степень = 5)
Шестическое уравнение (степень = 6)
Септическое уравнение (степень = 7)
Система линейных уравнений
Система полиномиальных уравнений
Линейное диофантово уравнение
Линейное уравнение над кольцом
Теорема Крамера (алгебраические кривые), от количества точек, обычно достаточного для определения двумерного пкривая степени

Navigation