WikiDer > Аналитическое кручение

Analytic torsion

В математике Кручение Рейдемейстера (или же R-кручение, или же Кручение Рейдемайстера – Франца) это топологический инвариант из коллекторы представлен Курт Райдемайстер (Рейдемейстер 1935) за 3-х коллектор и обобщены на высшие размеры к Вольфганг Франц (1935) и Жорж де Рам (1936).Аналитическое кручение (или же Кручение Рэя – Зингера) является инвариантом Римановы многообразия определяется Дэниел Б. Рэй и Исадор М. Сингер (1971, 1973a, 1973b) как аналитический аналог кручения Райдемейстера. Джефф Чигер (1977, 1979) и Вернер Мюллер (1978) доказал гипотезу Рэя и Зингера о том, что Кручение Рейдемейстера и аналитическое кручение одинаковы для компактных римановых многообразий.

Кручение Рейдемейстера было первым инвариантом алгебраическая топология которые могут различать замкнутые коллекторы, которые гомотопический эквивалент но нет гомеоморфный, и поэтому его можно рассматривать как рождение геометрическая топология как отдельное поле. Его можно использовать для классификации линзы.

Кручение Рейдемейстера тесно связано с Кручение белой головки; видеть (Милнор 1966). Это также послужило важной мотивацией для арифметическая топология; видеть (Мазур). Более свежие работы по кручению см. В книгах (Тураев 2002) и (Николаеску2002, 2003).

Определение аналитического кручения

Если M является римановым многообразием и E векторное расслоение над M, то есть Оператор лапласа действуя на я-форма со значениями в E. Если собственные значения на я-формы являются λ_j то дзета-функция ζ_я определяется как

{displaystyle zeta _ {i} (s) = sum _ {lambda _ {j}> 0} lambda _ {j} ^ {- s}}

за s большой, и это распространяется на все сложные s к аналитическое продолжениеДзета-регуляризованный определитель лапласиана, действующий на я-forms есть

{displaystyle Delta _ {i} = exp (-zeta _ {i} ^ {prime} (0))}

который формально является произведением положительных собственных значений лапласиана, действующего на я-форм. аналитическое кручение Т(M,E) определяется как

{displaystyle T (M, E) = exp left (sum _ {i} (- 1) ^ {i} izeta _ {i} ^ {prime} (0) / 2ight) = prod _ {i} Delta _ {i } ^ {- (- 1) ^ {i} i / 2}.}

Определение кручения Рейдемейстера

Позволять ${displaystyle X}$ быть конечным связным CW-комплекс с фундаментальная группа ${displaystyle pi: = pi _ {1} (X)}$ и универсальный чехол ${displaystyle {ilde {X}}}$ , и разреши ${displaystyle U}$ - ортогональный конечномерный ${displaystyle pi}$ -представление. Предположим, что

{displaystyle H_ {n} ^ {pi} (X; U): = H_ {n} (Uotimes _ {mathbf {Z} [pi]} C _ {*} ({ilde {X}})) = 0}

для всех п. Если закрепить сотовую основу для ${displaystyle C _ {*} ({ilde {X}})}$ и ортогональный ${displaystyle mathbf {R}}$ -основа для ${displaystyle U}$ , тогда ${displaystyle D _ {*}: = Uotimes _ {mathbf {Z} [pi]} C _ {*} ({ilde {X}})}$ стягиваемая конечная базируемая свободная ${displaystyle mathbf {R}}$ -цепной комплекс. Позволять ${displaystyle gamma _ {*}: D _ {*} o D _ {* + 1}}$ - любое цепное сжатие D_*, т.е. ${displaystyle d_ {n + 1} circ gamma _ {n} + gamma _ {n-1} circ d_ {n} = id_ {D_ {n}}}$ для всех ${displaystyle n}$ . Получаем изоморфизм ${displaystyle (d _ {*} + gamma _ {*}) _ {ext {odd}}: D_ {ext {odd}} o D_ {ext {even}}}$ с ${displaystyle D_ {ext {odd}}: = oplus _ {n, odd}, D_ {n}}$ , ${displaystyle D_ {ext {even}}: = oplus _ {n, {ext {even}}}, D_ {n}}$ . Мы определяем Кручение Рейдемейстера

{displaystyle ho (X; U): = | det (A) | ^ {- 1} в mathbf {R} ^ {> 0}}

где A - матрица ${displaystyle (d _ {*} + gamma _ {*}) _ {ext {odd}}}$ по данным базам. Торсион Рейдемейстера ${displaystyle ho (X; U)}$ не зависит от выбора сотовой основы для ${displaystyle C _ {*} ({ilde {X}})}$ , ортогональный базис для ${displaystyle U}$ и сжатие цепи ${displaystyle gamma _ {*}}$ .

Позволять ${displaystyle M}$ - компактное гладкое многообразие, и пусть ${displaystyle ho двоеточие pi (M) ightarrow GL (E)}$ - унимодулярное представление. ${displaystyle M}$ имеет гладкую триангуляцию. На любой выбор объема ${displaystyle mu in det H _ {*} (M)}$ , получаем инвариант ${displaystyle au _ {M} (ho: mu) в mathbf {R} ^ {+}}$ . Затем мы называем положительное действительное число ${displaystyle au _ {M} (ho: mu)}$ кручение Рейдемейстера многообразия ${displaystyle M}$ относительно ${displaystyle ho}$ и ${displaystyle mu}$ .

Краткая история кручения Рейдемайстера

Кручение Рейдемейстера впервые было использовано для комбинаторной классификации трехмерных объектов. линзы в (Рейдемейстер 1935) Райдемейстером, а в многомерных пространствах - Францем. В классификацию включены примеры гомотопический эквивалент Трехмерные многообразия, не являющиеся гомеоморфный - в то время (1935 г.) классификация была только до PL гомеоморфизм, но позже Э.Дж. Броды (1960) показал, что это была классификация до гомеоморфизм.

Дж. Х. К. Уайтхед определил "кручение" гомотопической эквивалентности между конечными комплексами. Это прямое обобщение концепции Рейдемейстера, Франца и де Рама; но это более тонкий инвариант. Кручение белой головки обеспечивает ключевой инструмент для изучения комбинаторных или дифференцируемых многообразий с нетривиальной фундаментальной группой и тесно связан с концепцией «простого гомотопического типа», см. (Милнор 1966)

В 1960 году Милнор открыл отношение двойственности инвариантов кручения многообразий и показал, что (скрученный) многочлен Александера узлов является кручением Рейдемистера его узлового дополнения в ${displaystyle S ^ {3}}$ . (Милнор 1962) Для каждого q то Двойственность Пуанкаре ${displaystyle P_ {o}}$ побуждает

{displaystyle P_ {o} имя оператора двоеточия {det} (H_ {q} (M)) {overset {sim} {, longrightarrow,}} (имя оператора {det} (H_ {nq} (M))) ^ {- 1 }}

и тогда получаем

{displaystyle Delta (t) = pm t ^ {n} Delta (1 / t).}

Центральную роль в них играет представление фундаментальной группы узлового дополнения. Он устанавливает связь между теорией узлов и инвариантами кручения.

Теорема Чигера – Мюллера

Позволять ${displaystyle (M, g)}$ - ориентируемое компактное риманово многообразие размерности n и ${displaystyle ho двоеточие pi (M) ightarrow mathop {GL} (E)}$ представление фундаментальной группы ${displaystyle M}$ на вещественном векторном пространстве размерности N. Тогда мы можем определить комплекс де Рама

{displaystyle Lambda ^ {0} {stackrel {d_ {0}} {longrightarrow}} Lambda ^ {1} {stackrel {d_ {1}} {longrightarrow}} cdots {stackrel {d_ {n-1}} {longrightarrow} } Лямбда ^ {n}}

и формально сопряженный ${displaystyle d_ {p}}$ и ${displaystyle delta _ {p}}$ из-за плоскостности ${displaystyle E_ {q}}$ . Как обычно, мы также получаем лапласиан Ходжа на p-формах

{displaystyle Delta _ {p} = delta _ {p + 1} d_ {p} + d_ {p-1} delta _ {p}.}

При условии, что ${displaystyle partial M = 0}$ , то лапласиан является симметричным положительным полуположительным эллиптическим оператором с чисто точечным спектром

{displaystyle 0leq lambda _ {0} leq lambda _ {1} leq cdots ightarrow infty.}

Таким образом, как и раньше, мы можем определить дзета-функцию, связанную с лапласианом ${displaystyle Delta _ {q}}$ на ${displaystyle Lambda ^ {q} (E)}$ к

{displaystyle zeta _ {q} (s; ho) = sum _ {lambda _ {j}> 0} lambda _ {j} ^ {- s} = {frac {1} {Gamma (s)}} int _ { 0} ^ {infty} t ^ {s-1} {ext {Tr}} (e ^ {- tDelta _ {q}} - P_ {q}) dt, {ext {Re}} (s)> {frac {n} {2}}}

куда ${displaystyle P}$ это проекция ${displaystyle L ^ {2} Lambda (E)}$ на пространство ядра ${displaystyle {mathcal {H}} ^ {q} (E)}$ лапласиана ${displaystyle Delta _ {q}}$ . Более того, это было показано (Сили 1967) который ${displaystyle zeta _ {q} (s; ho)}$ распространяется на мероморфную функцию ${displaystyle sin mathbf {C}}$ которая голоморфна в ${displaystyle s = 0}$ .

Как и в случае ортогонального представления, определим аналитическое кручение ${displaystyle T_ {M} (хо; E)}$ к

{displaystyle T_ {M} (ho; E) = exp {iggl (} {frac {1} {2}} sum _ {q = 0} ^ {n} (- l) ^ {q} q {frac {d } {ds}} zeta _ {q} (s; ho) {iggl |} _ {s = 0} {iggr)}.}.

В 1971 году Д. Рэй и И.М.Зингер предположили, что ${displaystyle T_ {M} (ho; E) = au _ {M} (ho; mu)}$ для любого унитарного представления ${displaystyle ho}$ . Эта гипотеза Рэя – Зингера была в конечном итоге независимо доказана Чигером (1977, 1979) и Мюллер (1978). Оба подхода ориентированы на логарифм кручений и их следов. Для нечетномерных многообразий это проще, чем для четномерных, что связано с дополнительными техническими трудностями. Эта теорема Чигера – Мюллера (что два понятия кручения эквивалентны) вместе с Теорема Атьи – Патоди – Зингера, позже легла в основу Теория возмущений Черна – Саймонса..

Доказательство теоремы Чигера-Мюллера для произвольных представлений было позже дано Дж. М. Бисмутом и Вейпином Чжаном. В их доказательстве используется Деформация Виттена.

Navigation

Navigation

Themenportale

WikiDer > Аналитическое кручение

Содержание

Определение аналитического кручения

Определение кручения Рейдемейстера

Краткая история кручения Рейдемайстера

Теорема Чигера – Мюллера

Рекомендации