WikiDer > Дуга (геометрия)

Arc (geometry)

А круговой сектор закрашен зеленым. Его криволинейная граница длиной L представляет собой дугу окружности.

В Евклидова геометрия, дуга (символ: ⌒) это связаны подмножество дифференцируемый изгиб. Дуги линии называются сегменты или же лучи, в зависимости от того, ограничены они или нет. Типичный пример изогнутой кривой - это дуга круг, называется дуга окружности. В сфера (или сфероид), дуга большой круг (или большой эллипс) называется большая дуга.

Каждая пара различных точек на окружности определяет две дуги. Если две точки не находятся прямо напротив друг друга, одна из этих дуг, малая дуга, буду подчиняться угол в центре круга меньше чем $π$ радианы (180 градусов), а другая дуга - большая дуга, образует угол больше, чем $π$ радианы.

Круговые дуги

Длина дуги окружности

Длина (точнее, длина дуги) дуги окружности радиуса р и под углом θ (измеряется в радианах) с центром круга, т.е. центральный угол - является

{ Displaystyle L = theta r.}

Это потому что

{ displaystyle { frac {L} { mathrm {окружность}}} = { frac { theta} {2 pi}}.}

Подставляя по окружности

{ displaystyle { frac {L} {2 pi r}} = { frac { theta} {2 pi}},}

и с α это тот же угол, измеренный в градусах, поскольку θ = α/180 $π$ , длина дуги равна

{ displaystyle L = { frac { alpha pi r} {180}}.}

Практический способ определить длину дуги в окружности состоит в том, чтобы построить две линии от конечных точек дуги до центра окружности, измерить угол, где две линии пересекаются с центром, а затем решить для L путем перекрестного умножения утверждения. :

Мера угол в градусах / 360 ° = L/длина окружности.

Например, если угол составляет 60 градусов, а длина окружности 24 дюйма, то

{ displaystyle { begin {align} { frac {60} {360}} & = { frac {L} {24}} 360L & = 1440 L & = 4. end {align}}}

Это так, потому что длина окружности и градусы окружности, которых всегда 360, прямо пропорциональны.

Верхняя половина круга может быть параметризована как

{ displaystyle y = { sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}.}

Тогда длина дуги от ${ Displaystyle х = а}$ к ${ displaystyle x = b}$ является

{ displaystyle L = r { Big [} arcsin left ({ frac {x} {r}} right) { Big]} _ {a} ^ {b}.}

Площадь сектора дуги

Площадь сектора, образованного дугой и центром круга (ограниченного дугой и двумя радиусами, проведенными к ее концам), равна

{ displaystyle A = { frac {r ^ {2} theta} {2}}.}

Площадь А имеет такую же пропорцию площадь круга как угол θ на полный круг:

{ displaystyle { frac {A} { pi r ^ {2}}} = { frac { theta} {2 pi}}.}

Мы можем отменить $π$ с обеих сторон:

{ displaystyle { frac {A} {r ^ {2}}} = { frac { theta} {2}}.}

Умножив обе части на р², получаем окончательный результат:

{ displaystyle A = { frac {1} {2}} r ^ {2} theta.}

Используя преобразование, описанное выше, мы находим, что площадь сектора для центрального угла, измеренная в градусах, равна

{ displaystyle A = { frac { alpha} {360}} pi r ^ {2}.}

Площадь сегмента дуги

Площадь фигуры, ограниченная дугой и прямой линией между двумя ее конечными точками, равна

{ displaystyle { frac {1} {2}} r ^ {2} left ( theta - sin { theta} right).}

Чтобы получить площадь сегмент дуги, нам нужно вычесть площадь треугольника, определяемую центром круга и двумя конечными точками дуги, из площади ${ displaystyle A}$ . Видеть Круговой сегмент для подробностей.

Радиус дуги

Продукт из отрезки линии AP и PB равны произведению отрезков CP и PD. Если дуга имеет ширину AB и высоту CP, то диаметр круга

{ displaystyle CD = { frac {AP cdot PB} {CP}} + CP}

С использованием теорема о пересечении хорд (также известный как сила точки или теорема о секущем касательном) можно вычислить радиус р круга с учетом высоты ЧАС и ширина W дуги:

Рассмотрим аккорд с теми же конечными точками, что и дуга. Его серединный перпендикуляр - это еще одна хорда, которая равна диаметру окружности. Длина первой хорды W, и делится биссектрисой на две равные половины, каждая длиной W/2. Общая длина диаметра 2р, и он разделен на две части первым аккордом. Длина одной части равна сагитта дуги, ЧАС, а другая часть - это остаток диаметра длиной 2р − ЧАС. Применение теоремы о пересечении хорд к этим двум хордам дает