WikiDer > Круговой сегмент - Википедия

В геометрия, а круговой сегмент (символ: ⌓) является областью круг который «отрезан» от остальной части круга секущий или аккорд. Более формально круговой сегмент - это область двумерное пространство что ограничено дуга (менее 180 °) окружности и хордой, соединяющей концы дуги.

Формула

Круговой сегмент (зеленый) заключен между секущей / хордой (пунктирная линия) и дугой, конечные точки которой равны хорде (дуга, показанная над зеленой областью).

Позволять р быть радиус из круг, θ центральный угол в радианы, α центральный угол в градусы, c аккорд длина, s длина дуги, час то сагитта (высота) сегмента, и d высота (или апофема) из треугольный часть.

Радиус

${ displaystyle R = h + d = { frac {h} {2}} + { frac {c ^ {2}} {8h}}}$

Радиус в единицах час и c можно получить выше, используя Теорема о пересекающихся аккордах, где 2р (в диаметр) и c перпендикулярно пересекающиеся хорды:

${ displaystyle (2R-h) cdot h = { frac {c} {2}} cdot { frac {c} {2}} = { frac {c ^ {2}} {4}}}$

${ displaystyle 2R = { frac {c ^ {2}} {4h}} + h}$

${ displaystyle R = { frac {c ^ {2}} {8h}} + { frac {h} {2}}}$

Длина дуги составляет

${ displaystyle s = { frac { alpha} {180 ^ { circ}}} pi R = { theta} R = arcsin left ({ frac {c} {h + { frac {c ^) {2}} {4h}}}} right) left (h + { frac {c ^ {2}} {4h}} right)}$

Длину дуги в единицах arcsin можно получить выше, рассматривая вписанный угол который образует ту же дугу, а одна сторона угла представляет собой диаметр. Вписанный таким образом угол равен θ/2 и является частью прямоугольного треугольника, гипотенуза это диаметр. Это также полезно при выводе других обратная тригонометрия формы ниже.

С дальнейшей помощью формулы полууглов и пифагорейские тождества, то длина хорды является

${ displaystyle c = 2R sin { frac { theta} {2}} = R { sqrt {2-2 cos theta}} = 2R { sqrt {1- (d / R) ^ {2 }}}}$

Сагитта

${ displaystyle h = R left (1- cos { frac { theta} {2}} right) = R - { sqrt {R ^ {2} - { frac {c ^ {2}} {4}}}}}$

Угол

${ displaystyle theta = 2 arctan { frac {c} {2d}} = 2 arccos { frac {d} {R}} = 2 arccos left (1 - { frac {h} {R }} right) = 2 arcsin { frac {c} {2R}}}$

Площадь

В площадь А кругового сегмента равна площади круговой сектор минус площадь треугольной части

${ Displaystyle A = { гидроразрыва {R ^ {2}} {2}} left ( theta - sin theta right) = R ^ {2} left ( arcsin { frac {c} { 2R}} - { frac {c} {2R}} { sqrt {1- left ({ frac {c} {2R}} right) ^ {2}}} right) = R left ( R arccos { frac {d} {R}} - d { sqrt {1 - { frac {d ^ {2}} {R ^ {2}}}}} right)}$

с центральным углом в радианах, или

${ displaystyle A = { frac {R ^ {2}} {2}} left ({ frac { alpha pi} {180 ^ { circ}}}} - sin left ({ frac { alpha pi} {180 ^ { circ}}} right) right)}$

с центральным углом в градусах.

Пропорционально всей площади диска ${ Displaystyle S = pi R ^ {2}}$, у вас есть

${ displaystyle { frac {A} {S}} = { frac {1} {2 pi}} left ( theta - sin theta right) = { frac { alpha} {360 ^ { circ}}} - { frac { sin alpha} {2 pi}}}$

Приложения

Формулу площади можно использовать при расчете объема частично заполненного цилиндрического резервуара.

В оформлении окон или дверей с закругленным верхом, c и час могут быть единственными известными значениями и могут использоваться для расчета р для настройки компаса чертежника.

По фрагментам можно восстановить полные размеры всего круглого объекта, измерив длину дуги и длину хорды фрагмента.

Для проверки положения отверстий на круговом массиве. Особенно полезно для проверки качества обработанных изделий.

Для вычисления площади или центроида плоской формы, содержащей круглые сегменты.

Смотрите также

• Хорда (геометрия)
• Сферический сегмент
• Коническое сечение
• Поперечное сечение
• Круговой сектор

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. «Круговой сегмент». MathWorld.

внешняя ссылка

• Определение кругового сегмента С интерактивной анимацией
• Формулы для площади кругового сегмента С интерактивной анимацией