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EIN Bandmatrix ist ein Quadrat Matrix wo nur Nullen außerhalb einer Anzahl von Diagonalen auftreten. Diagonalen sind Linien in der Matrix, die schräg von links oben nach rechts unten verlaufen. Auf einer Diagonalen ist die Differenz des Zeilenindex und des Spaltenindex der Elemente konstant. Das Hauptdiagonale ist die Linie, auf der diese beiden Indizes gleich sind und verläuft vom oberen linken Element zum unteren rechten Element.

Eine Bandmatrix mit allen Elementen gleich Null außerhalb der Hauptdiagonalen heißt a diagonale Matrix. Es hat also den Aufbau:

${displaystyle { egin{bmatrix}{a_{1,1}}&{0}&{}&{}&{0}/{0}&{a_{2,2}}&{0}&{}& {}/{}&{0}&{a_{3,3}}&ddots &{}/{}&{}&ddots &ddots &{0}/{0}&{}&{}&{0}&{ a_{n,n}}/end{bmatrix}}}$

EIN tridiagonale Matrix hat neben der Hauptdiagonalen auch die beiden benachbarten Nebendiagonalen, auf denen Elemente ungleich Null vorkommen können. Der Aufbau ist also:

${displaystyle { egin{bmatrix}{a_{1,1}}&{a_{1,2}}&{}&{}&{0}/{a_{2,1}}&{a_{2,2 }}&{a_{2,3}}&{}&{}/{}&{a_{3,2}}&{a_{3,3}}&ddots &{}/{}&{}&ddots &ddots &{a_{n-1,n}}/{0}&{}&{}&{a_{n,n-1}}&{a_{n,n}}/end{bmatrix}}}$

wo die Elemente ${displaystyle a_{i 1,i}}$ die subdiagonalen (subdiagonalen) Formen und die Elemente ${displaystyle a_{i,i 1}}$ die obere Diagonale (Superdiagonale). Auf der unteren Diagonale ist der Zeilenindex der Elemente immer eins mehr als der Spaltenindex und auf der oberen Diagonale eins weniger. Eine tridiagonale Matrix ist gleichzeitig eine obere und eine untereHessenberg-Matrix.

Eine Bandmatrix mit zwei Längsnebendiagonalen auf jeder Seite der Hauptdiagonalen heißt a fünfeckige Matrix. Der Aufbau ist dann:

${displaystyle { egin{bmatrix}{a_{1,1}}&{a_{1,2}}&{a_{1,3}}&{0}&{}&{0}/{a_{2, 1}}&{a_{2,2}}&{a_{2,3}}&{a_{2,4}}&{}&{0}/{a_{3,1}}&{a_{ 3.2}}&{a_{3.3}}&{a_{3.4}}&ddots &{0}/{0}&{a_{4.2}}&{a_{4.3}} &{a_{4,4}}&ddots &{a_{n-2,n}}/{}&{}&ddots &ddots &ddots &{a_{n-1,n}}/{0}&{}&{ }&{a_{n,n-2 }}&{a_{n,n-1}}&{a_{n,n}}/end{bmatrix}}}$

In der Praxis lässt sich eine Bandmatrix sehr wirtschaftlich durch Verschieben des in horizontaler Richtung lagern um die Matrix zu schließen so dass die diagonalen Elemente übereinander gelegt werden. Eine dreieckige nein×neinMatrix kann als a . gespeichert werden nein×3-Matrix. Bei sehr großen Bandmatrizen, wie man sie regelmäßig in der numerische Mathematik Bei der Lösung großer Systeme wird dadurch vermieden, dass ein Großteil des verfügbaren Speichers mit nutzlosen Nullen gefüllt wird. Dabei ist zu berücksichtigen, dass Koeffizienten, die derselben Unbekannten angehören, nicht mehr untereinander, sondern diagonal von rechts oben nach links unten aufgeführt werden.

Für lineare Gleichungssysteme, deren Koeffizientenmatrix eine tridiagonale Matrix ist, kann es sein tridiagonaler Matrixalgorithmus verwendet werden.

Siehe auch

• Blockmatrix