WikiDer > Бекенштейн связан

Согласно оценке Бекенштейна, энтропия из черная дыра пропорциональна количеству Планковские площади что потребуется, чтобы покрыть черную дыру горизонт событий.

В физика, то Бекенштейн связан (названный в честь Якоб Бекенштейн) - верхний предел энтропия S, или же Информация я, которая может содержаться в данной конечной области пространства, имеющей конечное количество энергии - или, наоборот, максимальное количество информации, требуемое для точного описания данной физической системы вплоть до квантового уровня.^[1] Это означает, что информация о физической системе или информация, необходимая для точного описания этой системы, должна быть конечной, если область пространства и энергия конечны. В Информатика, это означает, что существует максимальная скорость обработки информации (Предел Бремермана) для физической системы, имеющей конечный размер и энергию, и что Машина Тьюринга с конечными физическими размерами и неограниченной памятью физически невозможно.

Уравнения

Универсальная форма переплета была первоначально найдена Якобом Бекенштейном как неравенство^[1][2][3]

${ displaystyle S leq { frac {2 pi kRE} { hbar c}},}$

куда S это энтропия, k является Постоянная Больцмана, р это радиус из сфера что может заключить данную систему, E это общая масса – энергия включая любые массы покоя, час это приведенная постоянная Планка, и c это скорость света. Обратите внимание, что хотя гравитация играет значительную роль в ее применении, выражение для границы не содержит гравитационная постоянная грамм.

В информационном плане с S = k · I ·ln 2 оценка дается выражением

${ displaystyle I leq { frac {2 pi RE} { hbar c ln 2}},}$

куда я это Информация выражается в количестве биты содержатся в квантовых состояниях в сфере. В пер Фактор 2 возникает из определения информации как логарифм к основание 2 числа квантовых состояний.^[4] С помощью эквивалентность массы и энергии, информационный предел можно переформулировать как

${ displaystyle I leq { frac {2 pi cRM} { hbar ln 2}} примерно 2,5769082 раз 10 ^ {43} { frac { text {bit}} {{ text {кг }} cdot { text {m}}}} cdot M cdot R,}$

куда ${ displaystyle M}$ - масса (в кг), а ${ displaystyle R}$ радиус (в метрах) системы.

Происхождение

Бекенштейн получил оценку на основе эвристических аргументов, связанных с черные дыры. Бекенштейн утверждал, что если существует система, которая нарушает границу, т. Е. Имеет слишком большую энтропию, второй закон термодинамики опустив его в черную дыру. В 1995 г. Тед Якобсон продемонстрировал, что Уравнения поля Эйнштейна (т.е. общая теория относительности) можно получить, предположив, что оценка Бекенштейна и законы термодинамики верны.^[5][6] Тем не менее, несмотря на то, что был разработан ряд аргументов, которые показывают, что для того, чтобы законы термодинамики и общей теории относительности были взаимно согласованными, должна существовать определенная форма ограничения, точная формулировка границы была предметом споров до работы Казини в 2008 .^{[2][3][7][8][9][10][11][12][13][14][15]}

Доказательство в квантовой теории поля

Доказательство оценки Бекенштейна в рамках квантовая теория поля был подарен Casini в 2008 году.^[16] Одним из важнейших выводов доказательства было найти правильную интерпретацию величин, фигурирующих по обе стороны границы.

Наивные определения энтропии и плотности энергии в квантовой теории поля страдают от ультрафиолетовые расхождения. В случае границы Бекенштейна ультрафиолетовых расхождений можно избежать, взяв различия между величинами, вычисленными в возбужденном состоянии, и теми же величинами, вычисленными в вакуумном состоянии. Например, учитывая пространственную область ${ displaystyle V}$, Казини определяет энтропию в левой части оценки Бекенштейна как

${ Displaystyle S_ {V} = S ( rho _ {V}) - S ( rho _ {V} ^ {0}) = - mathrm {tr} ( rho _ {V} log rho _ {V}) + mathrm {tr} ( rho _ {V} ^ {0} log rho _ {V} ^ {0})}$

куда ${ Displaystyle S ( rho _ {V})}$ это Энтропия фон Неймана из приведенная матрица плотности ${ displaystyle rho _ {V}}$ связана с ${ displaystyle V}$ в возбужденном состоянии ${ displaystyle rho}$, и ${ Displaystyle S ( rho _ {V} ^ {0})}$ - соответствующая энтропия фон Неймана для вакуумного состояния ${ displaystyle rho ^ {0}}$.

Что касается правой части границы Бекенштейна, то трудно дать строгую интерпретацию величины ${ displaystyle 2 pi RE}$, куда ${ displaystyle R}$ - характерный масштаб системы, а ${ displaystyle E}$ - характерная энергия. Этот продукт имеет те же блоки, что и генератор Повышение лоренца, и естественным аналогом буста в этой ситуации является модульный гамильтониан состояния вакуума ${ Displaystyle К = - журнал rho _ {V} ^ {0}}$. Казини определяет правую часть границы Бекенштейна как разность между математическим ожиданием модульного гамильтониана в возбужденном состоянии и в состоянии вакуума,

${ displaystyle K_ {V} = mathrm {tr} (K rho _ {V}) - mathrm {tr} (K rho _ {V} ^ {0}).}$

С этими определениями граница читается как

${ Displaystyle S_ {V} leq K_ {V},}$

который можно переставить, чтобы получить

${ Displaystyle mathrm {tr} ( rho _ {V} log rho _ {V}) - mathrm {tr} ( rho _ {V} log rho _ {V} ^ {0}) geq 0.}$

Это просто утверждение о положительности относительная энтропия, что доказывает оценку Бекенштейна.

Примеры

Черные дыры

Бывает, что Граничная энтропия Бекенштейна – Хокинга трехмерного черные дыры точно насыщает границу

${ displaystyle r_ {s} = { frac {2GM} {c ^ {2}}},}$

${ displaystyle A = 4 pi r_ {s} ^ {2} = { frac {16 pi G ^ {2} M ^ {2}} {c ^ {4}}},}$

${ Displaystyle l_ {P} ^ {2} = hbar G / c ^ {3},}$

${ displaystyle S = { frac {kA} {4l_ {P} ^ {2}}} = { frac {4 pi kGM ^ {2}} { hbar c}},}$

куда ${ displaystyle k}$ является Постоянная Больцмана, А - двумерная площадь горизонта событий черной дыры в единицах Планковская площадь, ${ Displaystyle l_ {P} ^ {2} = hbar G / c ^ {3}}$.

Оценка тесно связана с термодинамика черной дыры, то голографический принцип и ковариантная оценка энтропии квантовой гравитации, и может быть получена из предполагаемой сильной формы последней.

Человеческий мозг

Средний человеческий мозг имеет массу 1,5 кг и объем 1260 см.³. Если мозг аппроксимировать сферой, то радиус будет 6,7 см.

Информационная граница Бекенштейна составит около 2,6×10⁴² бит и представляет собой максимум информации, необходимой для идеального воссоздания среднего человеческого мозга до квантового уровня. Это означает, что число ${ displaystyle O = 2 ^ {I}}$ из состояния человеческого мозга должно быть меньше, чем ${ displaystyle приблизительно 10 ^ {7,8 times 10 ^ {41}}}$.

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка

• Джейкоб Д. Бекенштейн, "Бекенштейн связан", Scholarpedia, Vol. 3, № 10 (2008), с. 7374, г. Дои:10.4249 / scholarpedia.7374.
• Джейкоб Д. Бекенштейн, «Энтропия Бекенштейна-Хокинга», Scholarpedia, Vol. 3, № 10 (2008), с. 7375, г. Дои:10.4249 / scholarpedia.7375.
• Сайт Якоба Д. Бекенштейна в Институт физики Рака, Еврейский университет Иерусалима, который содержит ряд статей о границе Бекенштейна.
• О'Дауд, Мэтт (12 сентября 2018 г.). «Сколько информации во Вселенной?». PBS Space Time - через YouTube.