WikiDer > Бифуркационная диаграмма

Bifurcation diagram

В математика, особенно в динамические системы, а бифуркационная диаграмма показывает значения, посещенные или приближенные асимптотически (фиксированные точки, периодические орбиты, или хаотичный аттракторы) системы как функция параметр бифуркации в системе. Обычно стабильные значения представляются сплошной линией, а нестабильные значения - пунктирной линией, хотя часто нестабильные точки опускаются. Бифуркационные диаграммы позволяют визуализировать теория бифуркации.

Анимация, показывающая формирование бифуркационной диаграммы

Бифуркационная диаграмма круговая карта. Черные области соответствуют Языки Арнольда.

Логистическая карта

Бифуркационная диаграмма логистическая карта. В аттрактор для любого значения параметра р отображается на вертикальной линии при этом р.

Примером может служить бифуркационная диаграмма логистическая карта:

{ Displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n}). ,}

Параметр бифуркации р отображается на горизонтальной оси графика, а на вертикальной оси показан набор значений логистическая функция посещается асимптотически из почти всех начальных условий.

На бифуркационной диаграмме показано разветвление периодов устойчивых орбит от 1 до 2, от 4 до 8 и т. Д. Каждая из этих точек бифуркации представляет собой бифуркация удвоения периода.Отношение длин последовательных интервалов между значениями р для которого происходит бифуркация сходится к первая постоянная Фейгенбаума.

На диаграмме также показано удвоение периода от 3 до 6 до 12 и т. Д., От 5 до 10 до 20 и т. Д. И т. Д.

Нарушение симметрии в бифуркационных множествах

Нарушение симметрии вилы раздвоение как параметр ε разнообразен. ε = 0 - случай симметричной бифуркации вил.

В динамической системе, такой как

{ Displaystyle { ddot {x}} + е (х; му) + varepsilon g (x) = 0,}

который структурно стабильный когда ${ displaystyle mu neq 0}$ , если построена бифуркационная диаграмма, обрабатывая ${ displaystyle mu}$ как параметр бифуркации, но для разных значений ${ displaystyle varepsilon}$ , дело ${ displaystyle varepsilon = 0}$ - симметричная развилка вил. Когда ${ displaystyle varepsilon neq 0}$ , мы говорим, что у нас есть вилы с нарушенная симметрия. Это показано на анимации справа.