WikiDer > Beta-Funktion

Das Beta-Funktion von Euler ist ein Spezialfunktion in dem Mathematik, die definiert ist als

${displaystyle B(x,y)=int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1},{m {d}}t}$

vor dem komplexe Zahlen${Anzeigestil x}$ und ${displaystyle y}$ deren Realteil größer als 0 ist. Diese Funktion ist symmetrisch in ${Anzeigestil x}$ und ${displaystyle y}$, was bedeutet, dass ${Anzeigestil B(x,y)=B(y,x)}$.

Die Beta-Funktion bezieht sich auf die Gamma-Funktion; es gibt

${displaystyle B(x,y)={frac {Gamma (x)Gamma (y)}{Gamma (x y)}}}$

Die Betafunktion kann auf viele andere Arten geschrieben werden:

${displaystyle mathrm {B} (x,y)=2int _{0}^{pi /2}(sin heta)^{2x-1}(cos heta)^{2y-1},{m {d}} heta ,quad ({m {Re}}(x)>0,,{m {Re}}(y)>0)}$

${displaystyle mathrm {B} (x,y)=int _{0}^{infty }{frac {t^{x-1}}{(1 t)^{xy}}},{m {d}} tqquad({m{Re}}(x)>0, {m{Re}}(y)>0)}$

${displaystyle mathrm {B} (x,y)={frac {1}{y}}sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}{frac {y^{n 1}} {n!(xn)}}}$

${displaystyle mathrm {B} (x,y)=sum _{n=0}^{infty }{frac {n-y wähle n}{x n}}}$

${displaystyle mathrm {B} (x,y)={frac {xy}{xy}}prod _{n=1}^{infty }{frac {1 {frac {xy}{n}}}{(1 { frac {x}{n}})(1 {frac {y}{n}})}}}$

Ähnlichkeiten

${displaystyle mathrm {B} (x,y)cdot mathrm {B} (x y,1-y)={frac {pi }{xsin(pi y)}}}$

Es gibt eine trigonometrische Form der Beta-Funktion:

${displaystyle B(x,y)=2int _{0}^{frac {pi}{2}} {(sin t)^{2x-1}(cos t)^{2y-1}},mathrm {d } t}$

Externe Links

• Beta-Funktion auf MathWorld