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Konstruktion der orthographischen Zylinderprojektion

stereographische Zylinderprojektion

gnomonische Zylinderprojektion

EIN Zylinderüberstand ist ein Kartenprojektion erstellt durch Abbildung der Erdoberfläche auf a Zylinder die dann zu einer ebenen Fläche ausgerollt wird. Die Karte ist also rechteckig mit zwei gegenüberliegenden Seiten, die miteinander verbunden sind. Die anderen beiden Seiten entsprechen den Schnittpunkten der Zylinderachse mit der Erdoberfläche. Mathematisch kann die ganze Karte auch aus einem unendlich langen Streifen bestehen, so dass es um die beiden Punkte Bereiche gibt, die außerhalb einer endlichen Version der Karte liegen.

Das Bild von dem sphärische Oberfläche zum Zylindermantel hat die besondere Eigenschaft, dass das Bild in allen die gleichen Eigenschaften hat Richtungen von der Zylinderachse. Formaler gesagt, wenn die Kugel um diese Achse gedreht wird, wird das Bild angewendet, und das Ergebnis wird um denselben Winkel umgekehrt, das Ergebnis ist dasselbe, als ob das Bild direkt angewendet würde. Außerdem hat das Bild an beiden Enden der Zylinderachse die gleichen Eigenschaften. Formaler gesagt, wenn die Kugel in einer Ebene senkrecht zur Achse gespiegelt wird, das Bild angewendet und das Ergebnis zurückgespiegelt wird, erhält man dasselbe, als ob das Bild direkt angewendet würde.

Das Kennfeld hat in der Richtung senkrecht zur Zylinderachse schöner Kreis in der Mitte als gerade Linie dargestellt, und in Achsrichtung senkrecht dazu große Halbkreise als parallele Geraden dargestellt.

Normalerweise wird die Erdachse als Zylinderachse genommen, und eine Halbebene mit dieser Achse als Rand wird am Schnittpunkt dieser Halbebene mit dem Zylinder dargestellt. Das Bildgebungsverfahren ist dann für jeden Längengrad analog und für die nördliche und südliche Hemisphäre analog. Als Ergebnis schneiden sich die Parallelen und Meridiane auf der Karte im rechten Winkel: a Gradgitter von Rechtecken. Darüber hinaus sind die Meridiane überall gleich beabstandet (Längengrad ist eine lineare Skala) und jede Parallele hat den gleichen Abstand vom Äquator wie die Parallele der gegenüberliegenden Breite. Der Sammelname für Projektionen mit diesen Eigenschaften lautet normaler Zylinderüberstand / normale zylindrische Projektion. Der linke und rechte Rand der gesamten Karte werden ausgerichtet.

Der Nord-Süd-Maßstab ist überall auf der Karte in jeder Variation der normalen Zylinderprojektion gleich, aber der Ost-West-Maßstab variiert extrem, da er an den Polen bis ins Unendliche geht. Bei einer Karte eines begrenzten Gebiets, beispielsweise eines Landes, ist diese Abweichung viel geringer, aber immer noch groß im Vergleich zu Projektionen, bei denen die Meridiane zum nächsten Pol näher zusammenkommen. Dies ist auch mit Zylinderüberstand möglich, dann aber schief (siehe auch unten).

Es gibt noch mehrere Möglichkeiten, die Projektion durchzuführen. Die Projektion ist gegeben durch ${Anzeigestil y}$ als Funktion des Breitengrades ${displaystyle eta }$ (oder analog mit einer Zylinderachse in einer anderen Position).

Mit weiter:

• ${Anzeigestil R}$ der Radius der Erde
• ${Anzeigestil s}$ das Rahmen^[1] in Richtung parallel zur Zylinderachse

wir haben die folgenden Zylinderprojektionen.

• Reale Zylinderprojektionen:
  • Oberflächengetreue Zylinderprojektion (orthographische Projektion), ${displaystyle y,=Rssin eta }$: Linien werden von der Mittelachse des Zylinders im rechten Winkel zu dieser Achse zum Mantel gezogen; die Größe des Zylinders relativ zur Kugel bestimmt die Variante der Projektion.
  • Gnomonische Zylinderprojektion, ${displaystyle y,=Rs an eta}$: Linien werden vom Mittelpunkt der Kugel zum Mantel des Zylinders gezogen. Die gesamte Karte ist unendlich hoch; einer tatsächlichen Karte fehlen daher immer Gebiete um den Nord- und Südpol. Bereiche in der Nähe sind stark vergrößert.
  • Stereografische Zylinderprojektion, ${displaystyle y,=2R,s an { frac {1}{2}} eta }$: Linien werden von einem Punkt auf dem Äquator auf der anderen Seite der Erde zum Mantel des Zylinders gezogen.
• Falsche Zylinderprojektionen (keine geometrische Projektion im engeren Sinne):
  • Äquidistante Zylinderprojektion: distanztreu entlang der Meridiane, ${displaystyle y,=Rs eta }$. Varianten, die diese Distanztreue beibehalten, werden erhalten, wenn die Karte vertikal gestreckt oder gestaucht wird. Man kann also einen Breitengrad wählen, bei dem ein Quadrat auf der Erde ein Quadrat auf der Karte ist. Das gilt auch auf dem anderen Breitengrad.
  • Mercator-Projektion: winkeltreu, ${displaystyle y,=R,sln left[ an left({ frac {1}{4}}pi { frac {1}{2}} eta ight)ight]}$. Ein Quadrat auf der Erde ist immer ein Quadrat auf der Karte. Die gesamte Karte ist unendlich hoch; Gebiete um den Nord- und Südpol fehlen also immer auf einer aktuellen Karte. Die Skala ist in jede Richtung ${displaystyle {frac {s}{cos eta}}}$.

In der Nähe des Großkreises in der Mitte (${displaystyle eta=0}$) besteht große Übereinstimmung mit der richtigen Skalierung zwischen den relevanten Ergebnissen.

In der eckengerechten Projektion mit ${Anzeigestil s}$ der Maßstab in Querrichtung ist ebenfalls fest, in den anderen Projektionen ist er beliebig. Diese kann daher so gewählt werden, dass mit einer gewissen ${displaystyle eta }$ der Maßstab ist in jeder Richtung gleich. Dies gilt auch für den umgekehrten Wert von ${displaystyle eta .}$

Andere Ausrichtungen

Ein Beispiel für eine andere Ausrichtung des Zylinders ist die Zylinderachse durch 0° NB 90° WL und 0° NB 90° OL. Wir haben es hier mit denselben drei senkrecht zueinander stehenden große Kreise teilt die Erdoberfläche in 8 gleich sphärische Dreiecke (nach dem Muster von a Oktaeder). Genau wie in der Projektion mit der Zylinderachse durch die Pole werden diese hier als 8 Rechtecke dargestellt, von denen immer eine Seite einen Punkt darstellt. Welcher Winkel des Kugeldreiecks als Seite dargestellt wird, ist jedoch immer unterschiedlich. In diesem Zusammenhang sind die anderen Meridiane (deren Hälften von einem Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite eines der genannten Kugeldreiecke verlaufen) und die Parallelen (deren Viertel von einer Seite zur anderen Seite eines der genannten Kugeldreiecke verlaufen) in dargestellt die Projektion mit der Zylinderachse durch die Pole als gerade Linien und hier als gekrümmte Linien dargestellt. Siehe auch das entsprechende Beispiel der transversale Mercatorprojektion.

Bei einer Karte eines begrenzten Gebietes, beispielsweise eines Landes, kann die Variation des Maßstabs dadurch eingeschränkt werden, dass die Zylinderachse etwa parallel zum relevanten Teil der Erdoberfläche gewählt wird. Außerdem können dann statt einer zwei Linien gewählt werden, bei denen die Ost-West-Skala gleich der Nord-Süd-Skala ist, genau wie eine Gerade straight Kegelprojektion.

Pseudozylindrische Projektionen

Projektionen, die auf einer Zylinderprojektion basieren, aber nachträglich weiterverarbeitet wurden, um bestimmte Eigenschaften zu erhalten pseudozylindrisch erwähnt. Beispiele:

• Mollweide-Projektion
• Projektion von Goode
• Sinusförmige Projektion
• Universelle transversale Mercator-Projektion