WikiDer > Комплексная дифференциальная форма

Complex differential form

В математика, а комплексная дифференциальная форма это дифференциальная форма на многообразие (обычно комплексное многообразие), которому разрешено иметь сложный коэффициенты.

Сложные формы находят широкое применение в дифференциальная геометрия. На сложных многообразиях они являются фундаментальными и служат основой для большей части алгебраическая геометрия, Кэлерова геометрия, и Теория Ходжа. Над некомплексными многообразиями они также играют роль в изучении почти сложные конструкции, теория спиноры, и Структуры CR.

Обычно сложные формы рассматриваются из-за некоторой желательной декомпозиции, которую они допускают. Например, на комплексном многообразии любой комплексный k-форму можно однозначно разложить на сумму так называемых (п,q) -формы: примерно, клинья п дифференциалы голоморфных координат с q дифференциалы их комплексно сопряженных. Ансамбль (п,q) -формы становятся примитивным объектом изучения и определяют более тонкую геометрическую структуру на многообразии, чем k-форм. Даже более тонкие структуры существуют, например, в случаях, когда Теория Ходжа применяется.

Дифференциальные формы на комплексном многообразии

Предположим, что M это комплексное многообразие сложного измерения п. Тогда есть местный система координат состоящий из п комплексные функции z1, ..., zп такие, что переходы координат от одного патча к другому голоморфные функции этих переменных. Пространство сложных форм имеет богатую структуру, которая в основном зависит от того факта, что эти функции перехода являются голоморфными, а не просто гладкий; плавный.

Единые формы

Начнем со случая одноформ. Сначала разложите комплексные координаты на их действительную и мнимую части: zj=Иксj+иуj для каждого j. Сдача

видно, что любую дифференциальную форму с комплексными коэффициентами можно однозначно записать в виде суммы

Пусть Ω1,0 - пространство сложных дифференциальных форм, содержащее только s и Ω0,1 быть пространством форм, содержащим только с. Можно показать по Уравнения Коши – Римана, что пространства Ω1,0 и Ω0,1 устойчивы относительно голоморфных замен координат. Другими словами, если сделать другой выбор шя голоморфной системы координат, то элементы Ω1,0 преобразовать напряженно, как и элементы из Ω0,1. Таким образом, пространства Ω0,1 и Ω1,0 определить сложный векторные пакеты на комплексном многообразии.

Формы высшей степени

Произведение клина сложных дифференциальных форм определяется так же, как и для вещественных форм. Позволять п и q - пара неотрицательных целых чисел ≤ п. Пространство Ωр, д из (п,q) -форм определяется взятием линейных комбинаций клиновидных произведений п элементы из Ω1,0 и q элементы из Ω0,1. Символично,

где есть п факторы Ω1,0 и q факторы Ω0,1. Так же, как и два пространства 1-форм, они устойчивы относительно голоморфных замен координат и, таким образом, определяют векторные расслоения.

Если Ek - пространство всех комплексных дифференциальных форм полной степени k, то каждый элемент Ek однозначно выражается как линейная комбинация элементов из пространств Ωр, д с п+q=k. Более лаконично, есть прямая сумма разложение

Поскольку это разложение в прямую сумму устойчиво относительно голоморфных замен координат, оно также определяет разложение на векторное расслоение.

В частности, для каждого k и каждый п и q с п+q=k, существует каноническая проекция векторных расслоений

Операторы Dolbeault

Обычная внешняя производная определяет отображение сечений через

Внешняя производная сама по себе не отражает более жесткую сложную структуру многообразия.

С помощью d и проекции, определенные в предыдущем подразделе, можно определить Операторы Dolbeault:

Чтобы описать эти операторы в локальных координатах, пусть

куда я и J находятся мультииндексы. потом

Видны следующие свойства:

Эти операторы и их свойства составляют основу Когомологии Дольбо и многие аспекты Теория Ходжа.

Голоморфные формы

Для каждого п, а голоморфный п-форма является голоморфным сечением расслоения Ωп, 0. Тогда в локальных координатах голоморфный п-форму можно записать в виде

где являются голоморфными функциями. Эквивалентно (п, 0) -форма α голоморфна тогда и только тогда, когда

В пучок голоморфных п-forms часто пишут Ωп, хотя иногда это может приводить к путанице, поэтому многие авторы склонны принимать альтернативные обозначения.

Смотрите также

Рекомендации

  • П. Гриффитс; Дж. Харрис (1994). Принципы алгебраической геометрии. Библиотека Wiley Classics. Wiley Interscience. п. 23-25. ISBN 0-471-05059-8.
  • Уэллс, Р. О. (1973). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.
  • Вуазен, Клэр (2008). Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия I. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521718015.