WikiDer > Когомологии Дольбо

Dolbeault cohomology

В математика, в частности в алгебраическая геометрия и дифференциальная геометрия, Когомологии Дольбо (названный в честь Пьер Дольбо) является аналогом когомологии де Рама за комплексные многообразия. Позволять M - комплексное многообразие. Тогда группы когомологий Дольбо ${ Displaystyle Н ^ {р, д} (М, mathbb {C})}$ зависят от пары целых чисел п и q и реализуются как субчастент пространства сложные дифференциальные формы степени (п,q).

Построение групп когомологий

Пусть Ω^п,q быть векторный набор сложных дифференциальных форм степени (п,q). В статье о сложные формы, оператор Дольбо определяется как дифференциальный оператор на гладких участках

{ displaystyle { bar { partial}}: Gamma ( Omega ^ {p, q}) to Gamma ( Omega ^ {p, q + 1})}

С

{ displaystyle { bar { partial}} ^ {2} = 0}

с этим оператором связаны некоторые когомология. В частности, определим когомологии как факторное пространство

{ displaystyle H ^ {p, q} (M, mathbb {C}) = { frac { ker left ({ bar { partial}}: Gamma ( Omega ^ {p, q}, M) to Gamma ( Omega ^ {p, q + 1}, M) right)} {{ bar { partial}} Gamma ( Omega ^ {p, q-1})}}. }

Когомологии Дольбо векторных расслоений

Если E это голоморфное векторное расслоение на комплексном многообразии Икс, то можно также определить штраф разрешающая способность связки ${ displaystyle { mathcal {O}} (E)}$ голоморфных сечений E, с использованием Оператор Dolbeault из E. Таким образом, это решение когомологии пучков из ${ displaystyle { mathcal {O}} (E)}$ .

Лемма Дольбо – Гротендика.

Чтобы установить изоморфизм Дольбо, нам нужно доказать лемму Дольбо – Гротендика (или ${ displaystyle { bar { partial}}}$ -Лемма Пуанкаре). Сначала докажем одномерную версию ${ displaystyle { bar { partial}}}$ -Лемма Пуанкаре; мы будем использовать следующую обобщенную форму Интегральное представление Коши для гладких функций:

Предложение: Позволять ${ Displaystyle B _ { varepsilon} (0): = lbrace z in mathbb {C} mid | z | < varepsilon rbrace}$ открытый шар с центром в ${ displaystyle 0}$ радиуса ${ displaystyle varepsilon in mathbb {R} _ {> 0},}$ ${ displaystyle { overline {B _ { varepsilon} (0)}} substeq U}$ открыть и ${ displaystyle f in { mathcal {C}} ^ { infty} (U)}$ , тогда

{ displaystyle forall z in B _ { varepsilon} (0): quad f (z) = { frac {1} {2 pi i}} int _ { partial B _ { varepsilon} (0 )} { frac {f ( xi)} { xi -z}} d xi + { frac {1} {2 pi i}} iint _ {B _ { varepsilon} (0)} { frac { partial f} { partial { bar { xi}}}} { frac {d xi wedge d { bar { xi}}} { xi -z}}.}

Лемма ( ${ displaystyle { bar { partial}}}$ -Лемма Пуанкаре на комплексной плоскости): Пусть ${ displaystyle B _ { varepsilon} (0), U}$ быть как прежде и ${ Displaystyle альфа в { mathcal {A}} _ { mathbb {C}} ^ {0,1} (U)}$ гладкая форма, то

{ displaystyle { mathcal {C}} ^ { infty} (U) ni g (z): = { frac {1} {2 pi i}} int _ {B _ { varepsilon} (0 )} { frac {f ( xi)} { xi -z}} d xi wedge d { bar { xi}}}

удовлетворяет ${ displaystyle alpha = { bar { partial}} g}$ на ${ displaystyle B _ { varepsilon} (0).}$

Доказательство. Мы утверждаем, что ${ displaystyle g}$ определенная выше, является корректно определенной гладкой функцией, такой что ${ displaystyle f}$ находится на местном уровне ${ displaystyle { bar { partial}}}$ -точный. Чтобы показать это, мы выбираем точку ${ Displaystyle ш в В _ { varepsilon} (0)}$ и открытый район ${ Displaystyle ш в В substeq B _ { varepsilon} (0)}$ , то можно найти гладкую функцию ${ displaystyle rho: B _ { varepsilon} (0) to mathbb {R}}$ носитель которого компактен и лежит в ${ displaystyle B _ { varepsilon} (0)}$ и ${ Displaystyle Rho | _ {V} Equ 1}$ Тогда мы можем написать

{ displaystyle f = f_ {1} + f_ {2}: = rho f + (1- rho) f}

и определить

{ displaystyle g_ {i}: = { frac {1} {2 pi i}} int _ {B _ { varepsilon} (0)} { frac {f_ {i} ( xi)} { xi -z}} d xi wedge d { bar { xi}}.}

С ${ Displaystyle f_ {2} эквив 0}$ в ${ displaystyle V}$ тогда ${ displaystyle g_ {2}}$ четко очерченный и гладкий; мы отмечаем, что

{ displaystyle { begin {align} g_ {1} & = int _ {B _ { varepsilon} (0)} { frac {f_ {1} ( xi)} { xi -z}} d xi wedge d { bar { xi}} & = { frac {1} {2 pi i}} int _ { mathbb {C}} { frac {f_ {1} ( xi )} { xi -z}} d xi wedge d { bar { xi}} & = pi ^ {- 1} int _ {0} ^ { infty} int _ {0 } ^ {2 pi} f_ {1} (z + re ^ {i theta}) e ^ {- i theta} d theta dr, end {выровнено}}}

что действительно хорошо определено и гладко, поэтому то же самое верно и для ${ displaystyle g}$ . Теперь покажем, что ${ Displaystyle { bar { partial}} г = альфа}$ на ${ displaystyle B _ { varepsilon} (0)}$ .

{ displaystyle { frac { partial g_ {2}} { partial { bar {z}}}} = { frac {1} {2 pi i}} int _ {B _ { varepsilon} ( 0)} f_ {2} ( xi) { frac { partial} { partial { bar {z}}}} { Big (} { frac {1} { xi -z}} { Большой)} d xi wedge d { bar { xi}} = 0}

поскольку ${ Displaystyle ( xi -z) ^ {- 1}}$ голоморфен в ${ Displaystyle B _ { varepsilon} (0) setminus V}$ .

{ displaystyle { begin {align} { frac { partial g_ {2}} { partial { bar {z}}}} = & pi ^ {- 1} int _ { mathbb {C} } { frac { partial f_ {1} (z + re ^ {i theta})} { partial { bar {z}}}} e ^ {- i theta} d theta wedge dr = & pi ^ {- 1} int _ { mathbb {C}} { Big (} { frac { partial f_ {1}} { partial { bar {z}}}} { Большой)} (z + re ^ {i theta}) e ^ {- i theta} d theta wedge dr = & { frac {1} {2 pi i}} iint _ {B_ { varepsilon} (0)} { frac { partial f_ {1}} { partial { bar { xi}}}} { frac {d xi wedge d { bar { xi}} } { xi -z}} конец {выровнено}}}

применяя обобщенную формулу Коши к ${ displaystyle f_ {1}}$ мы нашли

{ displaystyle f_ {1} (z) = { frac {1} {2 pi i}} int _ { partial B _ { varepsilon} (0)} { frac {f_ {1} ( xi )} { xi -z}} d xi + { frac {1} {2 pi i}} iint _ {B _ { varepsilon} (0)} { frac { partial f} { partial { bar { xi}}}} { frac {d xi wedge d { bar { xi}}} { xi -z}} = { frac {1} {2 pi i}} iint _ {B _ { varepsilon} (0)} { frac { partial f} { partial { bar { xi}}}} { frac {d xi wedge d { bar { xi) }}} { xi -z}}}

поскольку ${ displaystyle f_ {1} | _ { partial B _ { varepsilon} (0)} = 0}$ , но потом ${ displaystyle f = f_ {1} = { frac { partial g_ {1}} { partial { bar {z}}}} = { frac { partial g} { partial { bar {z }}}}}$ на ${ displaystyle B _ { varepsilon} (0)}$ . QED

Доказательство леммы Дольбо – Гротендика.

Теперь мы готовы доказать лемму Дольбо – Гротендика; представленное здесь доказательство связано с Гротендик.^[1] Обозначим через ${ displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)}$ Открыто полидиск сосредоточен в ${ displaystyle 0 in mathbb {C} ^ {n}}$ с радиусом ${ displaystyle varepsilon in mathbb {R} _ {> 0}}$ .

Лемма (Дольбо – Гротендик): Пусть ${ displaystyle alpha in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {p, q} (U)}$ куда ${ displaystyle { overline { Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)}} substeq U}$ открыть и ${ displaystyle q> 0}$ такой, что ${ displaystyle { bar { partial}} alpha = 0}$ , то существует ${ displaystyle beta in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {p, q-1} (U)}$ который удовлетворяет: ${ displaystyle alpha = { bar { partial}} beta}$ на ${ displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0).}$

Прежде чем приступить к доказательству, заметим, что любое ${ displaystyle (p, q)}$ -форму можно записать как

{ displaystyle alpha = sum _ {IJ} alpha _ {IJ} dz_ {I} wedge d { bar {z}} _ {J} = sum _ {J} left ( sum _ { I} alpha _ {IJ} dz_ {I} right) _ {J} wedge d { bar {z}} _ {J}}

для мультииндексов ${ Displaystyle I, J, | I | = p, | J | = q}$ , поэтому мы можем свести доказательство к случаю ${ displaystyle alpha in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {0, q} (U)}$ .

Доказательство. Позволять ${ displaystyle k> 0}$ наименьший индекс такой, что ${ displaystyle alpha in (d { bar {z}} _ {1}, dots, d { bar {z}} _ {k})}$ в пучке ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ { infty}}$ -модулей, проводим индукцию по ${ displaystyle k}$ . За ${ displaystyle k = 0}$ у нас есть ${ Displaystyle альфа эквив 0}$ поскольку ${ displaystyle q> 0}$ ; далее мы предполагаем, что если ${ displaystyle alpha in (d { bar {z}} _ {1}, dots, d { bar {z}} _ {k})}$ тогда существует ${ displaystyle beta in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {0, q-1} (U)}$ такой, что ${ displaystyle alpha = { bar { partial}} beta}$ на ${ displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)}$ . Тогда предположим ${ displaystyle omega in (d { bar {z}} _ {1}, dots, d { bar {z}} _ {k + 1})}$ и обратите внимание, что мы можем написать

{ displaystyle omega = d { bar {z}} _ {k + 1} wedge psi + mu, qquad psi, mu in (d { bar {z}} _ {1} , dots, d { bar {z}} _ {k}).}

С ${ displaystyle omega}$ является ${ displaystyle { bar { partial}}}$ -закрыто следует, что ${ displaystyle psi, mu}$ голоморфны по переменным ${ displaystyle z_ {k + 2}, dots, z_ {n}}$ и разгладить оставшиеся на полидиске ${ displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)}$ . Кроме того, мы можем применить ${ displaystyle { bar { partial}}}$ -Лемма Пуанкаре о гладких функциях ${ Displaystyle z_ {к + 1} mapsto psi _ {J} (z_ {1}, dots, z_ {k + 1}, dots, z_ {n})}$ на открытом шаре ${ displaystyle B _ { varepsilon _ {k + 1}} (0)}$ , значит, существует семейство гладких функций ${ displaystyle g_ {J}}$ которые удовлетворяют

{ displaystyle psi _ {J} = { frac { partial g_ {J}} { partial { bar {z}} _ {k + 1}}} quad { text {on}} quad B _ { varepsilon _ {k + 1}} (0).}

${ displaystyle g_ {J}}$ также голоморфны в ${ displaystyle z_ {k + 2}, dots, z_ {n}}$ . Определять

{ displaystyle { tilde { psi}}: = sum _ {J} g_ {J} d { bar {z}} _ {J}}

тогда

{ displaystyle { begin {align} omega - { bar { partial}} { tilde { psi}} & = d { bar {z}} _ {k + 1} wedge psi + mu - sum _ {J} { frac { partial g_ {J}} { partial { bar {z}} _ {k + 1}}} d { bar {z}} _ {k + 1 } wedge d { bar {z}} _ {J} + sum _ {j = 1} ^ {k} sum _ {J} { frac { partial g_ {J}} { partial { bar {z}} _ {j}}} d { bar {z}} _ {j} wedge d { bar {z}} _ {J setminus lbrace j rbrace} & = d { bar {z}} _ {k + 1} wedge psi + mu -d { bar {z}} _ {k + 1} wedge psi + sum _ {j = 1} ^ {k } sum _ {J} { frac { partial g_ {J}} { partial { bar {z}} _ {j}}} d { bar {z}} _ {j} wedge d { bar {z}} _ {J setminus lbrace j rbrace} & = mu + sum _ {j = 1} ^ {k} sum _ {J} { frac { partial g_ { J}} { partial { bar {z}} _ {j}}} d { bar {z}} _ {j} wedge d { bar {z}} _ {J setminus lbrace j rbrace} in (d { bar {z}} _ {1}, dots, d { bar {z}} _ {k}), end {align}}}

поэтому мы можем применить к нему предположение индукции, существует ${ displaystyle eta in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {0, q-1} (U)}$ такой, что

{ displaystyle omega - { bar { partial}} { tilde { psi}} = { bar { partial}} eta quad { text {on}} quad Delta _ { varepsilon } ^ {n} (0)}

и ${ displaystyle zeta: = eta + { tilde { psi}}}$ завершает шаг индукции. QED

Предыдущую лемму можно обобщить, допуская полидиски с

{ displaystyle varepsilon _ {k} = + infty}

для некоторых компонентов полирадиуса.

Лемма (расширенный Dolbeault-Grothendieck). Если ${ displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)}$ открытый полидиск с ${ displaystyle varepsilon _ {k} in mathbb {R} cup lbrace + infty rbrace}$ и ${ displaystyle q> 0}$ , тогда ${ displaystyle H _ { bar { partial}} ^ {p, q} ( Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)) = 0.}$

Доказательство. Мы рассматриваем два случая: ${ displaystyle alpha in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {p, q + 1} (U), q> 0}$ и ${ displaystyle alpha in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {p, 1} (U)}$ .

Случай 1. Позволять ${ displaystyle alpha in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {p, q + 1} (U), q> 0}$ , и мы покрываем ${ displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)}$ с полидисками ${ Displaystyle { overline { Delta _ {я}}} subset Delta _ {я + 1}}$ , то по лемме Дольбо – Гротендика можно найти формы ${ displaystyle beta _ {я}}$ бидегри ${ Displaystyle (п, д-1)}$ на ${ displaystyle { overline { Delta _ {i}}} substeq U_ {i}}$ открыть так, чтобы ${ displaystyle alpha | _ { Delta _ {i}} = { bar { partial}} beta _ {i}}$ ; мы хотим показать это

{ displaystyle beta _ {i + 1} | _ { Delta _ {i}} = beta _ {i}.}

Продолжим индукцию по ${ displaystyle i}$ : случай, когда ${ displaystyle i = 1}$ выполняется по предыдущей лемме. Пусть утверждение верно для ${ displaystyle k> 1}$ и возьми ${ displaystyle Delta _ {k + 1}}$ с

{ displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0) = bigcup _ {i = 1} ^ {k + 1} Delta _ {i} quad { text {and}} quad { overline { Delta _ {k}}} subset Delta _ {k + 1}.}

Затем находим ${ Displaystyle (п, д-1)}$ -форма ${ displaystyle beta '_ {k + 1}}$ определены в открытой окрестности ${ displaystyle { overline { Delta _ {k + 1}}}}$ такой, что ${ displaystyle alpha | _ { Delta _ {k + 1}} = { bar { partial}} beta _ {k + 1}}$ . Позволять ${ displaystyle U_ {k}}$ быть открытым соседством ${ displaystyle { overline { Delta _ {k}}}}$ тогда ${ displaystyle { bar { partial}} ( beta _ {k} - beta '_ {k + 1}) = 0}$ на ${ displaystyle U_ {k}}$ и мы можем снова применить лемму Дольбо-Гротендика, чтобы найти ${ Displaystyle (п, д-2)}$ -форма ${ displaystyle gamma _ {k}}$ такой, что ${ displaystyle beta _ {k} - beta '_ {k + 1} = { bar { partial}} gamma _ {k}}$ на ${ displaystyle Delta _ {k}}$ . Теперь позвольте ${ displaystyle V_ {k}}$ быть открытым набором с ${ displaystyle { overline { Delta _ {k}}} subset V_ {k} subsetneq U_ {k}}$ и ${ displaystyle rho _ {k}: Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0) to mathbb {R}}$ гладкая функция такая, что:

{ displaystyle operatorname {supp} ( rho _ {k}) subset U_ {k}, qquad rho | _ {V_ {k}} = 1, qquad rho _ {k} | _ { Дельта _ { varepsilon} ^ {n} (0) setminus U_ {k}} = 0.}

потом ${ displaystyle rho _ {k} gamma _ {k}}$ является корректно определенной гладкой формой на ${ displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)}$ что удовлетворяет

{ displaystyle beta _ {k} = beta '_ {k + 1} + { bar { partial}} ( gamma _ {k} rho _ {k}) quad { text {on} } quad Delta _ {k},}

отсюда форма

{ displaystyle beta _ {k + 1}: = beta '_ {k + 1} + { bar { partial}} ( gamma _ {k} rho _ {k})}

удовлетворяет

{ displaystyle { begin {align} beta _ {k + 1} | _ { Delta _ {k}} & = beta '_ {k + 1} + { bar { partial}} gamma _ {k} = beta _ {k} { bar { partial}} beta _ {k + 1} & = { bar { partial}} beta '_ {k + 1} = alpha | _ { Delta _ {k + 1}} end {align}}}

Случай 2. Если вместо этого ${ displaystyle alpha in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {p, 1} (U),}$ мы не можем применить лемму Дольбо-Гротендика дважды; мы принимаем ${ displaystyle beta _ {я}}$ и ${ displaystyle Delta _ {i}}$ как и раньше, мы хотим показать, что

{ displaystyle left | left. left ({ beta _ {i}} _ {I} - { beta _ {i + 1}} _ {I} right) right | _ { Delta _ {k-1}} right | _ { infty} <2 ^ {- i}.}

Снова проведем индукцию по ${ displaystyle i}$ : за ${ displaystyle i = 1}$ ответ дает лемма Дольбо-Гротендика. Далее мы предполагаем, что утверждение верно для ${ displaystyle k> 1}$ . Мы принимаем ${ Displaystyle Delta _ {k + 1} supset { overline { Delta _ {k}}}}$ такой, что ${ displaystyle Delta _ {k + 1} cup lbrace Delta _ {i} rbrace _ {i = 1} ^ {k}}$ охватывает ${ displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)}$ , то мы можем найти ${ displaystyle (p, 0)}$ -форма ${ displaystyle beta '_ {k + 1}}$ такой, что

{ displaystyle alpha | _ { Delta _ {k + 1}} = { bar { partial}} beta '_ {k + 1},}

что также удовлетворяет ${ displaystyle { bar { partial}} ( beta _ {k} - beta '_ {k + 1}) = 0}$ на ${ displaystyle Delta _ {k}}$ , т.е. ${ displaystyle beta _ {k} - beta '_ {k + 1}}$ является голоморфным ${ displaystyle (p, 0)}$ -форма везде, где определено, следовательно, Теорема Стоуна – Вейерштрасса мы можем написать это как

{ displaystyle beta _ {k} - beta '_ {k + 1} = sum _ {| I | = p} (P_ {I} + r_ {I}) dz_ {I}}

куда ${ displaystyle P_ {I}}$ являются многочленами и

{ displaystyle left | r_ {I} | _ { Delta _ {k-1}} right | _ { infty} <2 ^ {- k},}

но тогда форма

{ displaystyle beta _ {k + 1}: = beta '_ {k + 1} + sum _ {| I | = p} P_ {I} dz_ {I}}

удовлетворяет

{ displaystyle { begin {align} { bar { partial}} beta _ {k + 1} & = { bar { partial}} beta '_ {k + 1} = alpha | _ { Delta _ {k + 1}} left | ({ beta _ {k}} _ {I} - { beta _ {k + 1}} _ {I}) | _ { Delta _ {k-1}} right | _ { infty} & = | r_ {I} | _ { infty} <2 ^ {- k} end {align}}}

что завершает шаг индукции; поэтому мы построили последовательность ${ Displaystyle lbrace beta _ {я} rbrace _ {я in mathbb {N}}}$ который равномерно сходится к некоторому ${ displaystyle (p, 0)}$ -форма ${ displaystyle beta}$ такой, что ${ displaystyle alpha | _ { Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)} = { bar { partial}} beta}$ . QED

Теорема Дольбо

Теорема Дольбо - сложный аналог^[2] из теорема де Рама. Он утверждает, что когомологии Дольбо изоморфны когомологии пучков из пучок голоморфных дифференциальных форм. Конкретно,

{ Displaystyle H ^ {p, q} (M) cong H ^ {q} (M, Omega ^ {p})}

куда ${ displaystyle Omega ^ {p}}$ является пучком голоморфных п формы на M.

Версия для логарифмические формы также был установлен.^[3]

Доказательство

Позволять ${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {p, q}}$ быть прекрасная связка из ${ Displaystyle C ^ { infty}}$ формы типа ${ displaystyle (p, q)}$ . Тогда ${ displaystyle { overline { partial}}}$ -Лемма Пуанкаре утверждает, что последовательность

{ displaystyle Omega ^ {p, q} { xrightarrow { overline { partial}}} { mathcal {F}} ^ {p, q + 1} { xrightarrow { overline { partial}}} { mathcal {F}} ^ {p, q + 2} { xrightarrow { overline { partial}}} cdots}

точно. Как и любая длинная точная последовательность, эта последовательность разбивается на короткие точные последовательности. Соответствующие им длинные точные последовательности когомологий дают результат, если использовать, что высшие когомологии тонкого пучка исчезают.

Явный пример расчета

Когомологии Дольбо ${ displaystyle n}$ -размерный сложное проективное пространство является

{ displaystyle H _ { bar { partial}} ^ {p, q} (P _ { mathbb {C}} ^ {n}) = { begin {cases} mathbb {C} & p = q 0 & { text {else}} end {case}}}

Воспользуемся следующим известным фактом из Теория Ходжа:

{ displaystyle H _ { rm {dR}} ^ {k} left (P _ { mathbb {C}} ^ {n}, mathbb {C} right) = bigoplus _ {p + q = k} H _ { bar { partial}} ^ {p, q} (P _ { mathbb {C}} ^ {n})}

потому что ${ displaystyle P _ { mathbb {C}} ^ {n}}$ компактный Кэлерово комплексное многообразие. потом ${ displaystyle b_ {2k + 1} = 0}$ и

{ displaystyle b_ {2k} = h ^ {k, k} + sum _ {p + q = 2k, p neq q} h ^ {p, q} = 1.}

Кроме того, мы знаем, что ${ displaystyle P _ { mathbb {C}} ^ {n}}$ Кэлер, и ${ displaystyle 0 neq [ omega ^ {k}] in H _ { bar { partial}} ^ {k, k} (P _ { mathbb {C}} ^ {n}),}$ куда ${ displaystyle omega}$ фундаментальная форма, связанная с Метрика Фубини – Этюд (который действительно является Келером), поэтому ${ displaystyle h ^ {k, k} = 1}$ и ${ displaystyle h ^ {p, q} = 0}$ в любое время ${ displaystyle p neq q,}$ что дает результат.

Смотрите также

Двойственность Серра

Сноски

^ Серр, Жан-Пьер (1953–1954), "Faisceaux analytiques sur l'espace projectif", Семинэр Анри Картан, 6 (Обсуждение № 18): 1–10
^ В отличие от когомологий де Рама, когомологии Дольбо больше не являются топологическим инвариантом, поскольку они тесно зависят от сложной структуры.
^ Наварро Аснар, Висенте (1987), "Sur la théorie de Hodge – Deligne", Inventiones Mathematicae, 90 (1): 11–76, Дои:10.1007 / bf01389031, Раздел 8

Navigation