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In dem Mathematik ist ein Cullen-Zahl ein natürliche Zahl des Formulars ${displaystyle C_{n}=ncdot 2^{n} 1,}$ mit ${displaystyle n}$ eine natürliche Zahl ungleich 0. Cullen-Zahlen wurden zuerst untersucht von studied James Cullen im 1905. Cullen-Zahlen sind ein Sonderfall von proth zahlen.

Geschichte

Das irischJesuitenpriester und der Mathematiker James Cullen hielten sich zurück 1905 beschäftigt sich mit den jetzt nach ihm benannten Nummern. Er hatte das bemerkt, außer ${Displaystil C_{1}=3}$ alle Zahlen dieser Form bis ${displaystyle C_{99}}$zusammengesetzt sind und daher nein Primzahlen sein. Er war sich nicht sicher, wie die Nummer war ${Displaystil C_{53}}$ Bedenken, aber Allan J. C. Cunningham aufgenommen 1906 beseitigt diese Unsicherheit, indem gezeigt wird, dass 5591 ein Teiler ist. Cunningham hat bewiesen, dass alle Zahlen ${displaystyle C_{n}}$ mit ${displaystyle nleq 200}$ zusammengesetzt sind, mit der möglichen Ausnahme von ${Anzeigestil n=141.}$

Im 1958 Bestätigt Raphael M. Robinson dass 18496 eine Primzahl ist, und zeigte, dass mit Ausnahme von ${Displaystil C_{1}}$ und ${Displaystil C_{141}}$ alle Cullen-Nummern für ${displaystyle nleq 1000}$ bestehen.

Im 1984 bewiesen Wilfrid Keller Welche ${Anzeigestil C_{4713}, C_{5795}, C_{6611}}$ und ${Displaystil C_{18496}}$ sind auch Primzahlen, aber alle anderen Cullen-Zahlen für ${displaystyle nleq 30000}$ bestehen.

Eigenschaften

1976 zeigte Christopher Hooley dazu die natürliche Dichte der natürlichen Zahlen ${displaystyle n}$ Wofür ${displaystyle C_{n}}$ ist prim, von Ordnung ${Anzeigestil o(x)}$ ist für ${displaystyle x o infty .}$ Diesbezüglich sind fast alles Cullen-Zahlen zusammengesetzt; das einzig bekannte Cullen-Primzahlen sind die mit ${Anzeigestil n=1,141,4713,5795,6611,18496,32292,32469,59656,90825,262419,361275}$ und ${displaystyle 481899}$^[1]. Es wird vermutet, dass es unendlich viele Cullen-Primzahlen gibt.

Ab August 2009 ist die größte bekannte Cullen-Primzahl 6679881 × 26679881 1 bestehend aus 2.010.852 Ziffern.

Eine Cullen-Nummer ${displaystyle C_{n}}$ ist teilbar durch ${Anzeigestil p=2n-1}$ wenn ${displaystyle p}$ ein Primzahl ist von der Form ${Anzeigestil 8k-3.}$ Es folgt weiter aus dem Der kleine Satz von Fermat dass wenn ${displaystyle p}$ eine andere Primzahl als 2 ist, ${displaystyle p}$ Teiler von ${Anzeigestil C_{m(k)}}$ für jeden ${Anzeigestil m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k}$ mit ${Anzeigestil k>0.}$ Es wurde auch gezeigt, dass die Primzahl ${displaystyle p}$ Teiler von ${Displaystil C_{(p 1)/2}}$ wenn 2 nein quadratischer Rest ist modulo ${displaystyle p,}$, und wenn 2 ein quadratischer Rest modulo . ist ${displaystyle p,}$${displaystyle p}$ Teiler von ${Anzeigestil C_{(3p-1)/2}.}$

Es ist noch nicht bekannt, ob es eine Primzahl gibt ${displaystyle p}$ ist so ${displaystyle C_{p}}$ ist auch eine Primzahl.

Verallgemeinerungen

Manchmal a verallgemeinerte Cullen-Zahl definiert als Zahl der Form ${displaystyle ncdot b^{n} 1,}$ in welchem ${displaystyle n 2geq b.}$ Wenn eine Primzahl in dieser Form geschrieben werden kann, wird sie zu a verallgemeinerte Cullen-Primzahl erwähnt. Woodall-Zahlen manchmal werden Cullen-Zahlen zweiter Art erwähnt.

Externe Links

• Das Prime-Glossar: Cullen-Zahl
• MathWorld: Cullen-Zahl