WikiDer > Циклический четырехугольник

Примеры вписанных четырехугольников.

В Евклидова геометрия, а циклический четырехугольник или вписанный четырехугольник это четырехугольник чей вершины все лежат на одном круг. Этот круг называется описанный круг или описанный круг, а вершины называются конциклический. Центр круга и его радиус называются центр окружности и по окружности соответственно. Другие названия этих четырехугольников: конциклический четырехугольник и хордовый четырехугольник, последнее, поскольку стороны четырехугольника равны аккорды описанной окружности. Обычно предполагается, что четырехугольник выпуклый, но есть и скрещенные вписанные четырехугольники. Приведенные ниже формулы и свойства справедливы в выпуклом случае.

Слово циклический происходит от Древнегреческий κύκλος (куклос), что означает «круг» или «колесо».

Все треугольники есть описанный круг, но не все четырехугольники. Пример четырехугольника, который не может быть вписанным, - это неквадратный ромб. Секция характеристики ниже указано, что необходимые и достаточные условия четырехугольник должен удовлетворять, чтобы иметь описанную окружность.

Особые случаи

Любой квадрат, прямоугольник, равнобедренная трапеция, или же антипараллелограмм циклический. А воздушный змей цикличен если и только если у него два прямых угла. А двухцентровый четырехугольник вписанный четырехугольник, который также тангенциальный и экс-бицентрический четырехугольник вписанный четырехугольник, который также эксантангенциальный. А гармонический четырехугольник представляет собой вписанный четырехугольник, в котором произведение длин противоположных сторон равны.

Характеристики

Круговой четырехугольник ABCD

Окружной центр

Выпуклый четырехугольник - вписанный если и только если четыре перпендикуляр биссектрисы в стороны одновременный. Эта общая точка - центр окружности.^[1]

Дополнительные углы

Выпуклый четырехугольник ABCD является циклическим тогда и только тогда, когда его противоположные углы равны дополнительный, то есть^[1][2]

${ Displaystyle альфа + гамма = бета + дельта = пи радианы (= 180 ^ { circ}).}$

Прямая теорема была предложением 22 в книге 3 Евклидс Элементы.^[3] Эквивалентно выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда каждый внешний угол равно противоположному внутренний угол.

В 1836 году Дункан Грегори обобщил этот результат следующим образом: для любого выпуклого циклического числа 2п-угольник, затем две суммы чередовать внутренние углы каждый равен (п-1)${ displaystyle pi}$.^[4]

Взяв стереографическую проекцию (тангенс половины угла) каждого угла, это можно переформулировать:

${ displaystyle { frac { tan { frac { alpha} {2}} + tan { frac { gamma} {2}}} {1- tan { frac { alpha} {2} } tan { frac { gamma} {2}}}} = { frac { tan { frac { beta} {2}} + tan { frac { delta} {2}}} { 1- tan { frac { beta} {2}} tan { frac { delta} {2}}}} = infty.}$

Из чего следует, что^[5]

${ displaystyle tan { frac { alpha} {2}} tan { frac { gamma} {2}} = tan { frac { beta} {2}} { tan { frac { delta} {2}}} = 1}$

Углы между сторонами и диагоналями

Выпуклый четырехугольник ABCD цикличен тогда и только тогда, когда угол между стороной и диагональ равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.^[6] Это, например,

${ displaystyle angle ACB = angle ADB.}$

Точки Паскаля

ABCD - вписанный четырехугольник. E - точка пересечения диагоналей и F - точка пересечения продолжений сторон до н.э и ОБЪЯВЛЕНИЕ. ${ displaystyle omega}$ круг, диаметр которого - отрезок, EF. п и Q точки Паскаля, образованные кругом ${ displaystyle omega}$.

Еще одно необходимое и достаточное условие выпуклого четырехугольника ABCD быть циклическими: пусть E - точка пересечения диагоналей, пусть F - точка пересечения продолжений сторон ОБЪЯВЛЕНИЕ и до н.э, позволять ${ displaystyle omega}$ круг, диаметр которого является отрезком, EF, и разреши п и Q быть точками Паскаля на сторонах AB и компакт диск образованный кругом ${ displaystyle omega}$.
(1) ABCD вписанный четырехугольник тогда и только тогда, когда точки п и Q коллинеарны центру О, круга ${ displaystyle omega}$.
(2) ABCD вписанный четырехугольник тогда и только тогда, когда точки п и Q середины сторон AB и компакт диск.^[2]

Пересечение диагоналей

Если две строки, одна содержит сегмент AC а другой содержащий сегмент BD, пересекаются в п, то четыре точки А, B, C, D совпадают тогда и только тогда, когда^[7]

${ displaystyle displaystyle AP cdot PC = BP cdot PD.}$

Перекресток п может быть внутренним или внешним по отношению к кругу. В первом случае вписанный четырехугольник равен ABCD, а в последнем случае вписанный четырехугольник равен ABDC. Когда пересечение является внутренним, равенство утверждает, что произведение длин отрезков, на которые п делит одну диагональ равняется другой диагонали. Это известно как теорема о пересечении хорд так как диагонали вписанного четырехугольника являются хордами описанной окружности.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея выражает произведение длин двух диагоналей е и ж кругового четырехугольника равным сумме произведений противоположных сторон:^{[8]:стр.25[2]}

${ displaystyle displaystyle ef = ac + bd.}$

В разговаривать тоже верно. То есть, если этому уравнению удовлетворяет выпуклый четырехугольник, то образуется вписанный четырехугольник.

Диагональный треугольник

ABCD - вписанный четырехугольник. EFG диагональный треугольник ABCD. Смысл Т пересечения бимедианов ABCD принадлежит девятиточечному кругу EFG.

В выпуклом четырехугольнике ABCD, позволять EFG быть диагональным треугольником ABCD и разреши ${ displaystyle omega}$ быть девятиточечным кругом EFG.ABCD циклично тогда и только тогда, когда точка пересечения бимедианов ABCD принадлежит девятиконечной окружности ${ displaystyle omega}$.^[9][10][2]

Площадь

В площадь K вписанного четырехугольника со сторонами а, б, c, d дан кем-то Формула Брахмагупты^{[8]:стр.24}

${ Displaystyle К = { sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)}} ,}$

где s, то полупериметр, является s = 1/2(а + б + c + d). Это следствие из Формула Бретшнайдера для общего четырехугольника, так как противоположные углы являются дополнительными в циклическом случае. Если также d = 0, вписанный четырехугольник становится треугольником, а формула сводится к Формула Герона.

У кругового четырехугольника есть максимальный площадь среди всех четырехугольников с одинаковой длиной сторон (независимо от последовательности). Это еще одно следствие формулы Бретшнайдера. Это также можно доказать, используя исчисление.^[11]

Четыре неравных длины, каждая из которых меньше суммы трех других, являются сторонами каждого из трех несовпадающих вписанных четырехугольников,^[12] которые по формуле Брахмагупты имеют одинаковую площадь. Конкретно для сторон а, б, c, и d, сторона а может быть напротив любой стороны б, сторона c, или сторона d.

Площадь вписанного четырехугольника с последовательными сторонами а, б, c, d и угол B между сторонами а и б можно выразить как^{[8]:стр.25}

${ Displaystyle К = { tfrac {1} {2}} (ab + cd) sin {B}}$

или^{[8]:стр.26}

${ Displaystyle К = { tfrac {1} {2}} (ac + bd) sin { theta}}$

где θ это любой угол между диагоналями. При условии А не является прямым углом, площадь также можно выразить как^{[8]:стр.26}

${ displaystyle K = { tfrac {1} {4}} (a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} + d ^ {2}) tan {A}.}$

Другая формула^{[13]:стр.83}

${ displaystyle displaystyle K = 2R ^ {2} sin {A} sin {B} sin { theta}}$

где р это радиус описанный круг. Как прямое следствие,^[14]

${ Displaystyle К leq 2R ^ {2}}$

где есть равенство тогда и только тогда, когда четырехугольник - квадрат.

Диагонали

В вписанном четырехугольнике с последовательными вершинами А, B, C, D и стороны а = AB, б = до н.э, c = компакт диск, и d = DA, длины диагоналей п = AC и q = BD можно выразить через стороны как^{[8]:стр.25,[15][16]:п. 84}

${ displaystyle p = { sqrt { frac {(ac + bd) (ad + bc)} {ab + cd}}}}$ и ${ displaystyle q = { sqrt { frac {(ac + bd) (ab + cd)} {ad + bc}}}}$

так показывая Теорема Птолемея

${ displaystyle pq = ac + bd.}$

Согласно с Вторая теорема Птолемея,^{[8]:стр.25,[15]}

${ displaystyle { frac {p} {q}} = { frac {ad + bc} {ab + cd}}}$

используя те же обозначения, что и выше.

Для суммы диагоналей имеем неравенство^{[17]:стр.123, # 2975}

${ displaystyle p + q geq 2 { sqrt {ac + bd}}.}$

Равенство если и только если диагонали имеют одинаковую длину, что можно доказать с помощью AM-GM неравенство.

Более того,^{[17]:стр.64, №1639}

${ displaystyle (p + q) ^ {2} leq (a + c) ^ {2} + (b + d) ^ {2}.}$

В любом выпуклом четырехугольнике две диагонали вместе делят четырехугольник на четыре треугольника; в круговом четырехугольнике противоположные пары этих четырех треугольников равны аналогичный друг другу.

Если M и N середины диагоналей AC и BD, тогда^[18]

${ displaystyle { frac {MN} {EF}} = { frac {1} {2}} left | { frac {AC} {BD}} - { frac {BD} {AC}} right |}$

где E и F являются точками пересечения продолжений противоположных сторон.

Если ABCD вписанный четырехугольник, где AC встречает BD в E, тогда^[19]

${ displaystyle { frac {AE} {CE}} = { frac {AB} {CB}} cdot { frac {AD} {CD}}.}$

Набор сторон, которые могут образовывать циклический четырехугольник, может быть расположен в любой из трех различных последовательностей, каждая из которых может образовывать циклический четырехугольник той же площади в одной описанной окружности (площади совпадают в соответствии с формулой площади Брахмагупты). Любые два из этих циклических четырехугольников имеют общую длину диагонали.^{[16]:п. 84}

Формулы углов

Для кругового четырехугольника с последовательными сторонами а, б, c, d, полупериметр s, и угол А между сторонами а и d, то тригонометрические функции из А даны^[20]

${ displaystyle cos A = { frac {a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}} {2 (ad + bc)}},}$

${ Displaystyle грех A = { гидроразрыва {2 { sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)}}} {(ad + bc)}},}$

${ displaystyle tan { frac {A} {2}} = { sqrt { frac {(s-a) (s-d)} {(s-b) (s-c)}}}.}$

Угол θ между диагоналями удовлетворяет^{[8]:стр.26}

${ displaystyle tan { frac { theta} {2}} = { sqrt { frac {(s-b) (s-d)} {(s-a) (s-c)}}}.}.}$

Если расширения противоположных сторон а и c пересекаться под углом φ, тогда

${ displaystyle cos { frac { varphi} {2}} = { sqrt { frac {(sb) (sd) (b + d) ^ {2}} {(ab + cd) (ad + bc )}}}}$

где s это полупериметр.^{[8]:стр.31}

Формула окружности парамешвары

Круговой четырехугольник с последовательными сторонами а, б, c, d и полупериметр s имеет окружной радиус ( радиус из описанный круг) предоставлено^[15][21]

${ displaystyle R = { frac {1} {4}} { sqrt { frac {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)} {(sa) (sb) (sc) (sd )}}}.}$

Это было выведено индийским математиком Ватассери. Парамешвара в 15 веке.

С помощью Формула Брахмагупты, Формулу Парамешвары можно переформулировать как

${ displaystyle 4KR = { sqrt {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)}}}$

где K - площадь вписанного четырехугольника.

Антицентр и коллинеарности

Четыре отрезка, каждый перпендикуляр к одной стороне вписанного четырехугольника и проходя через противоположную сторону середина, находятся одновременный.^{[22]:стр.131;[23]} Эти отрезки называются солодовые привычки,^[24] что является аббревиатурой от средней точки высоты. Их общая точка называется антицентр. Он имеет свойство отражать центр окружности в "центроид вершины". Таким образом, в циклическом четырехугольнике центр описанной окружности, "центр тяжести вершины" и антицентр равны коллинеарен.^[23]

Если диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точках п, а средние точки диагоналей M и N, то антицентром четырехугольника является ортоцентр из треугольник MNP.

Другие свойства

Японская теорема

• В круговом четырехугольнике ABCD, то стимуляторы M₁, M₂, M₃, M₄ (см. рисунок справа) в треугольники DAB, ABC, BCD, и CDA являются вершинами прямоугольник. Это одна из теорем, известных как Японская теорема. В ортоцентры из тех же четырех треугольников являются вершинами четырехугольника конгруэнтный к ABCD, а центроиды в этих четырех треугольниках - вершины другого вписанного четырехугольника.^[6]
• В круговом четырехугольнике ABCD с центром окружности О, позволять п быть точкой, где диагонали AC и BD пересекаются. Тогда угол APB это среднее арифметическое углов AOB и COD. Это прямое следствие теорема о вписанном угле и теорема о внешнем угле.
• Ни у одного вписанного четырехугольника с рациональной площадью и с неравными рациональными сторонами не бывает. арифметика или геометрическая прогрессия.^[25]

• Если вписанный четырехугольник имеет длину сторон, образующую арифметическая прогрессия четырехугольник также экс-бицентрический.
• Если противоположные стороны вписанного четырехугольника продолжаются до пересечения в E и F, то внутренний биссектриса угла углов на E и F перпендикулярны.^[12]

Четырехугольники Брахмагупты

А Брахмагупта четырехугольник^[26] представляет собой вписанный четырехугольник с целыми сторонами, целыми диагоналями и целой площадью. Все четырехугольники Брахмагупты со сторонами а, б, c, d, диагонали е, ж, площадь K, и радиус окружности р можно получить расчетные знаменатели из следующих выражений, включающих рациональные параметры т, ты, и v:

${ Displaystyle а = [T (U + V) + (1-УФ)] [U + V-T (1-УФ)]}$

${ displaystyle b = (1 + u ^ {2}) (v-t) (1 + tv)}$

${ displaystyle c = t (1 + u ^ {2}) (1 + v ^ {2})}$

${ Displaystyle d = (1 + v ^ {2}) (u-t) (1 + tu)}$

${ Displaystyle е = и (1 + t ^ {2}) (1 + v ^ {2})}$

${ Displaystyle f = v (1 + t ^ {2}) (1 + u ^ {2})}$

${ Displaystyle К = УФ [2t (1-УФ) - (и + v) (1-т ^ {2})] [2 (и + v) т + (1-УФ) (1-т ^ {2} )]}$

${ displaystyle 4R = (1 + u ^ {2}) (1 + v ^ {2}) (1 + t ^ {2}).}$

Ортодиагональный корпус

Циркумрадиус и площадь

Для вписанного четырехугольника, который также является ортодиагональный (имеет перпендикулярные диагонали), предположим, что пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длиной п₁ и п₂ и делит вторую диагональ на отрезки длины q₁ и q₂. потом^[27] (первое равенство - это предложение 11 в Архимед' Книга лемм)

${ displaystyle D ^ {2} = p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2} + d ^ {2}}$

где D это диаметр из описанный круг. Это верно, потому что диагонали перпендикулярны аккорды круга. Из этих уравнений следует, что по окружности р можно выразить как

${ displaystyle R = { tfrac {1} {2}} { sqrt {p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2}}}}$

или, исходя из сторон четырехугольника, как^[22]

${ displaystyle R = { tfrac {1} {2}} { sqrt {a ^ {2} + c ^ {2}}} = { tfrac {1} {2}} { sqrt {b ^ { 2} + d ^ {2}}}.}$

Отсюда также следует, что^[22]

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 8R ^ {2}.}$

Таким образом, согласно Четырехугольная теорема Эйлера, окружной радиус можно выразить через диагонали п и q, а расстояние Икс между серединами диагоналей как

${ displaystyle R = { sqrt { frac {p ^ {2} + q ^ {2} + 4x ^ {2}} {8}}}.}$

Формула для площадь K вписанного ортодиагонального четырехугольника по четырем сторонам получается непосредственно при объединении Теорема Птолемея и формула для площадь ортодиагонального четырехугольника. Результат^{[28]:стр.222}

${ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} (ac + bd).}$

Другие свойства

• В круговом ортодиагональном четырехугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей.^[22]
• Теорема Брахмагупты утверждает, что для вписанного четырехугольника, который также ортодиагональный, перпендикуляр с любой стороны через точку пересечения диагоналей делит пополам противоположную сторону.^[22]
• Если вписанный четырехугольник также ортодиагонален, расстояние от центр окружности в любую сторону равна половине длины противоположной стороны.^[22]
• В круговом ортодиагональном четырехугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей.^[22]

Циклические сферические четырехугольники

В сферическая геометрия, сферический четырехугольник, образованный четырьмя пересекающимися большими окружностями, является циклическим тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны, т.е. α + γ = β + δ для последовательных углов α, β, γ, δ четырехугольника.^[29] Одно направление этой теоремы было доказано И. А. Лекселлом в 1786 г. Лекселл.^[30] показал, что в сферическом четырехугольнике, вписанном в маленький круг сферы, суммы противоположных углов равны, а в описанном четырехугольнике - суммы противоположных сторон. Первая из этих теорем является сферическим аналогом теоремы о плоскости, а вторая теорема двойственная к ней, то есть результат перестановки больших кругов и их полюсов.^[31] Кипер и др.^[32] доказал обратное теореме: если суммы противоположных сторон равны в сферическом четырехугольнике, то существует вписывающая окружность для этого четырехугольника.

Смотрите также

• Теорема бабочки
• Циклический многоугольник
• Сила точки
• Таблица аккордов Птолемея
• Пентагон Роббинса

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Д. Фрайвер: Четырехугольники точек Паскаля, вписанные в вписанный четырехугольник

внешняя ссылка

• Вывод формулы для площади циклического четырехугольника
• Центры в циклическом четырехугольнике в завязать узел
• Четыре параллельные линии в циклическом четырехугольнике в завязать узел
• Вайсштейн, Эрик В. «Циклический четырехугольник». MathWorld.