WikiDer > Условия Дирихле

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Условия Дирихле» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Декабрь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, то Условия Дирихле находятся достаточные условия для настоящий-значен, периодическая функция ж быть равным сумме его Ряд Фурье в каждой точке, где ж является непрерывный. Кроме того, определяется поведение ряда Фурье в точках разрыва (это середина значений разрыва). Эти условия названы в честь Питер Густав Лежен Дирихле.

Условия следующие:^[1]

1. ж должно быть абсолютно интегрируемый за период.
2. ж должен быть из ограниченная вариация в любом заданном ограниченном интервале.
3. ж должен иметь конечное число разрывы в любом заданном ограниченном интервале, и разрывы не могут быть бесконечными.

Теорема Дирихле для одномерного ряда Фурье

Сформулируем теорему Дирихле в предположении ж - периодическая функция периода 2π с разложением в ряд Фурье, где

${ displaystyle a_ {n} = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) e ^ {- inx} , dx.}$

Аналогичное утверждение справедливо независимо от того, какой период ж есть, или какой вариант разложения Фурье выбран (см. Ряд Фурье).

Теорема Дирихле: Если ж удовлетворяет условиям Дирихле, то для всех Икс, имеем, что ряд, полученный подключением Икс в ряд Фурье сходится и определяется выражением

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} a_ {n} e ^ {inx} = { frac {f (x ^ {+}) + f (x ^ {-})} {2}},}$

где обозначение

${ Displaystyle е (х ^ {+}) = lim _ {у к х ^ {+}} е (у)}$

${ displaystyle f (x ^ {-}) = lim _ {y to x ^ {-}} f (y)}$

обозначает правый / левый пределы ж.

Функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, должна иметь правый и левый пределы в каждой точке разрыва, иначе функция должна будет колебаться в этой точке, нарушая условия максимумов / минимумов. Обратите внимание, что в любой точке, где ж непрерывно,

${ Displaystyle { гидроразрыва {е (х ^ {+}) + е (х ^ {-})} {2}} = е (х)}$

Таким образом, теорема Дирихле говорит, в частности, что в условиях Дирихле ряд Фурье для ж сходится и равна ж где бы ж непрерывно.

Рекомендации

внешняя ссылка

• «Условия Дирихле». PlanetMath.