WikiDer > Эмпирическая мера

Empirical measure

В теория вероятности, эмпирическая мера это случайная мера возникающие из конкретной реализации (обычно конечной) последовательности случайные переменные. Точное определение приведено ниже. Эмпирические меры имеют отношение к математическая статистика.

Мотивация для изучения эмпирических показателей заключается в том, что часто невозможно узнать истинную основу вероятностная мера . Собираем наблюдения и вычислить относительные частоты. Мы можем оценить , или связанная функция распределения соответственно с помощью эмпирической меры или эмпирической функции распределения. Это всегда хорошие оценки при определенных условиях. Теоремы в области эмпирические процессы представьте темпы этой конвергенции.

Определение

Позволять быть последовательностью независимый одинаково распределены случайные переменные со значениями в пространстве состояний S с распределением вероятностей п.

Определение

В эмпирическая мера пп определено для измеримых подмножеств S и дано
куда это индикаторная функция и это Мера Дирака.

Характеристики

  • Для фиксированного измеримого множества А, нПп(А) это биномиальный случайная величина со средним значением нП(А) и дисперсия нП(А)(1 − п(А)).
  • Для фиксированного раздел из S, случайные переменные сформировать полиномиальное распределение с вероятности событий
    • В ковариационная матрица этого полиномиального распределения .

Определение

это эмпирическая мера проиндексировано , набор измеримых подмножеств S.

Чтобы еще больше обобщить это понятие, заметим, что эмпирическая мера карты измеримые функции к их эмпирическое среднее,

В частности, эмпирическая мера А просто эмпирическое среднее значение индикаторной функции, пп(А) = пп яА.

Для фиксированной измеримой функции , случайная величина со средним значением и дисперсия .

Сильным закон больших чисел, пп(А) сходится к п(А) почти наверняка для фиксированного А. по аналогии сходится к почти наверняка для фиксированной измеримой функции . Проблема равномерной сходимости пп к п был открыт до Вапник и Червоненкис решил это в 1968 году.[1]

Если класс (или же ) является Гливенко – Кантелли относительно п тогда пп сходится к п равномерно над (или же ). Другими словами, с вероятностью 1 имеем

Эмпирическая функция распределения

В эмпирическая функция распределения дает пример эмпирических мер. Для реальных iid случайные переменные это дается

В этом случае эмпирические меры индексируются классом Было показано, что униформа Класс Гливенко – Кантелли, особенно,

с вероятностью 1.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Вапник, В .; Червоненкис А (1968). «Равномерная сходимость частот возникновения событий к их вероятностям». Докл. Акад. АН СССР. 181.

дальнейшее чтение