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Für den philosophischen Begriff der Existenz siehe Existieren

Existenz bedeutet in der Mathematik und Logik dass eine Eigenschaft für mindestens ein Element von a Sammlung gilt. Die entsprechende ExistenzQuantor wird notiert als ${displaystyle existiert }$.

Das Existenzquantum besteht aus drei Teilen:

• Erklärung von gebundene Variablen;
• Spezifikation der Domain;
• Vorschlag.

Diese werden im Folgenden genauer beschrieben.

Beschreibung der drei Teile des Existenzquantums

Erklärung

Der erste Teil beschreibt die gebundenen Variablen. Diese werden als gebunden bezeichnet, da sie nur innerhalb der Klammern von this vorkommen dürfen ${displaystyle existiert }$-Prädikat. Außerhalb der Klammern ist der Wert einer solchen Variablen undefiniert und daher unbrauchbar. Hier können mehrere Variablen gleichzeitig deklariert werden, in der Regel durch Kommas getrennt.

Domain

In diesem Abschnitt bildet ein Prädikat die Domäne über die gebundenen Variablen. Sie können die Einschränkung wie folgt auferlegen: ${displaystyle xin mathbb {N} }$, also umgangssprachlich: "für alle natürlichen Zahlen x". Wenn der Definitionsbereich leer ist, also der den Definitionsbereich beschreibende Satz "falsch" ergibt, liefert das Prädikat mit dem Existenzquantor immer "falsch", unabhängig vom folgenden Satz Manchmal wird die Domäne auch weggelassen, dann wird die Domäne als "wahr" angenommen.

Das Einschränken einer Domäne mit einer Bedingung entspricht dem Hinzufügen einer Konjunktion:

${displaystyle (existiert xin mathbb {R} { ext{ with}}x>0:x^{2}=3)}$

entspricht

${displaystyle (existiert xin mathbb {R} :x>0land x^{2}=3)}$

Vorschlag

Hier ist auch ein Satz, der etwas über alle Elemente aus dem beschriebenen Bereich aussagt. Es kann auch Alquantoren oder existenzielle Quantoren im Auftreten, sodass Sie eine verschachtelte Struktur erhalten. Deklarierte Variablen können in verschachtelten Quantoren verwendet werden, aber nicht umgekehrt!

Äquivalenzregeln

Domain-Dämpfung: ${displaystyle (existiert x:Pwedge Q:R)Linksrechtspfeil (existiert x:P:Qwedge R)}$

Domainaufteilung: ${displaystyle (existiert x:Plor Q:R)Linksrechtspfeil (existiert x:P:R)lor (existiert x:Q:R)}$

DeMorgan: ${Anzeigestil zB (für alle x:P:Q)LinksRechtspfeil (existiert x:P:zB Q)}$ und ${Anzeigestil zB (existiert x:P:Q)Linksrechtspfeil (für alle x:P:zB Q)}$

Beispiele

Die folgende Aussage ist wahr: es gibt a reelle ZahlX so dass ${Anzeigestil x^{2}=3}$. Dies gilt für ${displaystyle x={sqrt {3}}}$ und ${displaystyle x=-{sqrt {3}}}$. Mathematiker merken an:

${displaystyle (existiert xin mathbb {R} :x^{2}=3)}$

Die folgende Aussage ist jedoch falsch: Es gibt ein gerade Zahlz so dass ${Anzeigestil z^{2}=3}$. Beachten Sie in diesem Fall:

${displaystyle (kein Satz mathbb {Z} :z^{2}=3)}$.

Der folgende Ausdruck ist wahr, da es eine natürliche Zahl gleich 1 gibt.${displaystyle (existiert x:xin mathbb {N} :x=1)}$ :

Der folgende Ausdruck ist falsch, da es sich um eine leere Domäne handelt. Es gibt kein x, das sowohl eine natürliche Zahl als auch kleiner als 0 ist.${displaystyle (existiert x:xin mathbb {N} Land x<0:x=1)}$

Quantoreneliminierung

An einer Beseitigungsproblem in seiner allgemeinen Form geht es darum, eine gegebene logische Aussage mit Quantoren durch eine äquivalente Aussage ohne Quantoren zu ersetzen. Praktische Probleme beinhalten oft existenzielle Quantoren.

Das Satz von Tarski garantiert, dass die Quantoreneliminierung für jedes System reeller algebraischer Gleichungen und Ungleichungen möglich ist.

Siehe auch

• Einzigartigkeit
• Universalität