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Universalität bedeutet in der Mathematik und Logik dass eine Eigenschaft für alle Elemente von a Sammlung gilt. Die entsprechende Universal- Quantor (oder al-quantor) wird notiert als ${displaystyle forall }$.

Der Alquantisierer besteht aus drei Teilen:

• Erklärung von gebundene Variablen;
• Spezifikation der Domain;
• Vorschlag.

Diese werden im Folgenden genauer beschrieben.

Erklärung

Der erste Teil beschreibt die gebundenen Variablen. Diese werden als gebunden bezeichnet, da sie nur innerhalb der Klammern von this vorkommen dürfen ${displaystyle forall }$-Prädikat. Außerhalb der Klammern ist der Wert einer solchen Variablen undefiniert und daher unbrauchbar. Hier können mehrere Variablen gleichzeitig deklariert werden, in der Regel durch Kommas getrennt.

Domain

In diesem Abschnitt bildet ein Prädikat die Domäne über die gebundenen Variablen. Die Einschränkung kann beispielsweise auferlegt werden: ${displaystyle xin mathbb {N} }$, also umgangssprachlich: "für alle natürlichen Zahlen x". Wenn der Definitionsbereich leer ist, also der den Definitionsbereich beschreibende Satz "falsch" ergibt, liefert das Prädikat mit dem Alquantisierer immer "wahr", unabhängig von der dann folgenden Aussage Manchmal wird die Domäne auch weggelassen, dann wird die Domäne als "wahr" angenommen.

Das Einschränken einer Domain mit einer Bedingung entspricht dem Hinzufügen einer Implikation:

${displaystyle (für alle xin mathbb {R} { ext{ with }}x>3):x^{2}>9}$

entspricht

${displaystyle forall xin mathbb {R} :(x>3impliziert x^{2}>9)}$

und (wenn wegen des Kontexts ${displaystyle mathbb {R} }$ muss nicht angegeben werden):

${displaystyle (für alle x>3):x^{2}>9}$

entspricht

${Anzeigestil für alle x:(x>3impliziert x^{2}>9)}$

Vorschlag

Hier ist auch ein Satz, der etwas über alle Elemente aus dem beschriebenen Bereich aussagt. Es kann auch Alquantoren oder existenzielle Quantoren enthalten, so dass eine verschachtelte Struktur entsteht. Deklarierte Variablen können in verschachtelten Quantoren verwendet werden, aber nicht umgekehrt!

Beispiele

Die folgende Aussage ist wahr: für alle ganze Zahlenz zählt das ${displaystyle z^{2}}$ ist eine ganze Zahl. Mathematiker merken an:

${displaystyle forallsatz mathbb {Z} :z^{2}in mathbb {Z} .}$.

"für alle z, die Element von Z sind, ist z quadratisches Element von Z"

Die folgende Aussage ist jedoch falsch: für alle reale NummernX zählt das ${Anzeigestil x^{2}}$ ist eine ganze Zahl. Dies gilt beispielsweise nicht für X = 1/2. In diesem Fall wird vermerkt:

${displaystyle ot forall xin mathbb {R} :x^{2}in mathbb {Z} .}$

Im ersten Fall gilt die Universalität, im zweiten nicht.

Beachten Sie, dass Anweisung 2 auch formuliert werden kann als

${displaystyle existiert xin mathbb {R} :x^{2}otin mathbb {Z} ,}$

wahr ${displaystyle existiert }$ das existenzielles Quantum ist.

Äquivalenzregeln

Domain-Dämpfung: ${displaystyle (für alle x:Pwedge Q:R)Linksrechtspfeil (für alle x:P:QRightarrow R)}$

Domainaufteilung: ${Anzeigestil (für alle x:Plor Q:R)Pfeil nach links (für alle x:P:R)Keil (für alle x:Q:R)}$

DeMorgan: ${Anzeigestil zB (für alle x:P:Q)LinksRechtspfeil (existiert x:P:zB Q)}$ und ${displaystyle zB (existiert x:P:Q)Linksrechtspfeil (für alle x:P:eg Q)}$

Wobei P, Q und R Sätze sind.

Siehe auch

• Existenz
• Einzigartigkeit