WikiDer > Экспоненциальное поле

Exponential field

В математика, экспоненциальное поле это поле который имеет дополнительную операцию над своими элементами, которая расширяет обычную идею возведение в степень.

Определение

Поле - это алгебраическая структура, состоящая из набора элементов, F, два бинарные операции, сложение (+) такое, что F образует абелева группа с тождеством 0F и умножение (·), такое что F исключая 0F образует абелеву группу при умножении с единицей 1F, и такой, что умножение дистрибутивно по сложению, то есть для любых элементов а, б, c в F, надо а · (б + c) = (а · б) + (а · c). Если есть еще функция E что отображает F в F, и такой, что для каждого а и б в F надо

тогда F называется экспоненциальным полем, а функция E называется экспоненциальной функцией на F.[1] Таким образом, экспоненциальная функция на поле есть гомоморфизм между аддитивной группой F и его мультипликативная группа.

Тривиальная экспоненциальная функция

На любом поле существует тривиальная экспоненциальная функция, а именно карта, которая отправляет каждый элемент в единичный элемент поля при умножении. Таким образом, каждое поле тривиально также является экспоненциальным полем, поэтому интересующие математиков случаи возникают, когда экспоненциальная функция нетривиальна.

Иногда требуется, чтобы экспоненциальные поля имели характеристика нулю, поскольку единственная экспоненциальная функция на поле с ненулевой характеристикой является тривиальной.[2] Чтобы увидеть это первое примечание, для любого элемента Икс в поле с характеристикой п > 0,

Следовательно, с учетом Эндоморфизм Фробениуса,

И так E(Икс) = 1 для каждого Икс.[3]

Примеры

  • Поле действительных чисел р, или же (р, +, ·, 0, 1) так как это может быть написано, чтобы подчеркнуть, что мы рассматриваем его исключительно как поле со сложением, умножением и специальными константами ноль и единица, имеющее бесконечно много экспоненциальных функций. Одна из таких функций - обычная экспоненциальная функция, то есть E(Икс) = еИкс, поскольку у нас есть еИкс+у = еИксеу и е0 = 1, как требуется. Принимая во внимание упорядоченное поле р снабженный этой функцией дает упорядоченное действительное экспоненциальное поле, обозначенное рexp = (р, +, ·, <, 0, 1, ехр).
  • Любое реальное число а > 0 дает экспоненциальную функцию на р, где карта E(Икс) = аИкс удовлетворяет требуемым свойствам.
  • Аналогично действительному экспоненциальному полю существует сложный экспоненциальное поле, Cexp = (C, +, ·, 0, 1, ехр).
  • Борис Зильбер построил экспоненциальное поле Kexp что, что принципиально важно, удовлетворяет эквивалентной формулировке Гипотеза Шануэля с экспоненциальной функцией поля.[4] Предполагается, что это экспоненциальное поле на самом деле Cexp, и доказательство этого факта, таким образом, подтвердило бы гипотезу Шануэля.

Экспоненциальные кольца

Базовый набор F может не быть полем, а может быть просто звенеть, р, и одновременно экспоненциальная функция ослабляется до гомоморфизма из аддитивной группы в р в мультипликативную группу единицы в р. Полученный объект называется экспоненциальное кольцо.[2]

Примером экспоненциального кольца с нетривиальной экспоненциальной функцией является кольцо целых чисел Z оснащен функцией E которая принимает значение +1 при четных целых числах и −1 при нечетных целых числах, т. е. функция Эта экспоненциальная функция и тривиальная функция - единственные две функции на Z которые удовлетворяют условиям.[5]

Открытые проблемы

Экспоненциальные поля - это хорошо изученные объекты в теория моделей, иногда обеспечивая связь между ним и теория чисел как в случае с Зильберработает над Гипотеза Шануэля. В 1990-е годы было доказано, что рexp является модель завершена, результат известен как Теорема Уилки. Этот результат в сочетании с теоремой Хованского о пфаффовы функции, доказывает, что рexp это также о-минимальный.[6] С другой стороны, известно, что Cexp модель не полная.[7] Вопрос о разрешимость все еще не решен. Альфред Тарский поставил вопрос о разрешимости рexp и поэтому теперь он известен как Проблема экспоненциальной функции Тарского. Известно, что если истинная версия гипотезы Шануэля верна, то рexp разрешима.[8]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Гельмут Вольтер, Некоторые результаты об экспоненциальных полях (обзор), Mémoires de la S.M.F. 2е серия 16, (1984), стр.85–94.
  2. ^ а б Лу ван ден Дрис, Кольца экспонент, экспоненциальные многочлены и экспоненциальные функции, Тихоокеанский математический журнал, 113, № 1 (1984), стр. 51–66.
  3. ^ Мартин Бэйс, Джонатан Кирби, А.Дж. Уилки, Свойство Шануэля для экспоненциально трансцендентных сил, (2008), arXiv:0810.4457
  4. ^ Борис Зильбер, Псевдо-возведение в степень на алгебраически замкнутых полях нулевой характеристики, Анна. Pure Appl. Логика, 132, №1 (2005), стр.67–95.
  5. ^ Джузеппина Терцо, Некоторые следствия гипотезы Шануэля в экспоненциальных кольцах, Коммуникации в алгебре, том 36, выпуск 3 (2008), стр.1171–1189.
  6. ^ А.Дж. Уилки, Результаты модельной полноты разложений упорядоченного поля действительных чисел с помощью ограниченных функций Пфаффа и экспоненциальной функции, J. Amer. Математика. Soc., 9 (1996), стр. 1051–1094.
  7. ^ Дэвид Маркер, Замечание о псевдоэкспоненциации Зильбера, Журнал символической логики, 71, №3 (2006), стр. 791–798.
  8. ^ А.Дж. Макинтайр, А.Дж. Уилки, О разрешимости действительного экспоненциального поля, Том 70-летия Крайзеля, (2005).