WikiDer > Разложение Гельмгольца

Helmholtz decomposition

В физика и математика, в районе векторное исчисление, Теорема Гельмгольца,[1][2] также известный как основная теорема векторного исчисления,[3][4][5][6][7][8][9] заявляет, что любой достаточно гладкий, быстро разлагающийся векторное поле в трех измерениях можно разложить на сумму безвихревый (завиток-свободное) векторное поле и соленоидный (расхождение-свободно) векторное поле; это известно как Разложение Гельмгольца или же Представительство Гельмгольца. Он назван в честь Герман фон Гельмгольц.[10]

Поскольку безвихревое векторное поле имеет скалярный потенциал и соленоидальное векторное поле имеет векторный потенциал, разложение Гельмгольца утверждает, что векторное поле (удовлетворяющее соответствующим условиям гладкости и убывания) может быть разложено в виде суммы вида , куда - скалярное поле, называемое «скалярным потенциалом», и А - векторное поле, называемое векторным потенциалом.

Формулировка теоремы

Позволять - векторное поле в ограниченной области , дважды непрерывно дифференцируемую, и пусть - поверхность, ограничивающая область . потом можно разложить на компонент без завитков и компонент без дивергенции:[11]

куда

и - оператор набла относительно , нет .

Если и поэтому неограничен, и исчезает быстрее, чем в качестве , то есть[12]

Вывод

Предположим, у нас есть векторная функция из которых мы знаем локон, , а расхождение , в области и полей на границе. Написание функции с использованием дельта-функция в виде

куда - оператор Лапласа, имеем

где мы использовали определение векторный лапласиан:

дифференциация / интеграция по к а в последней строке - линейность аргументов функции:

Тогда с помощью векторных тождеств

мы получили

Благодаря теорема расходимости уравнение можно переписать как

с нормалью к внешней поверхности .

Определение

окончательно получаем

это Функция Грина для лапласиана, а в более общих условиях ее следует заменить соответствующей функцией Грина - например, в двух измерениях ее следует заменить на . Для более высокомерного обобщения см. Обсуждение Разложение Ходжа ниже.

Другой вывод из преобразования Фурье

Отметим, что в сформулированной здесь теореме мы наложили условие, что если не определена в ограниченной области, то распадется быстрее, чем . Таким образом, преобразование Фурье , обозначенный как , гарантированно существует. Мы применяем соглашение

Преобразование Фурье скалярного поля - это скалярное поле, а преобразование Фурье векторного поля - это векторное поле той же размерности.

Теперь рассмотрим следующие скалярные и векторные поля:

Следовательно

Поля с заданной расходимостью и завитком

Термин «теорема Гельмгольца» может также относиться к следующему. Позволять C быть соленоидальное векторное поле и d скалярное поле на р3 которые достаточно гладкие и исчезают быстрее, чем 1/р2 на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такой, что

если дополнительно векторное поле F исчезает как р → ∞, тогда F уникален.[12]

Другими словами, векторное поле может быть построено как с заданной дивергенцией, так и с заданным ротором, и если оно также обращается в нуль на бесконечности, оно однозначно определяется своей дивергенцией и ротором. Эта теорема имеет большое значение в электростатика, поскольку Уравнения Максвелла ведь электрическое и магнитное поля в статическом случае имеют именно такой тип.[12] Доказательство проводится с помощью конструкции, обобщающей приведенную выше: положим

куда представляет Ньютоновский потенциал оператор. (При воздействии на векторное поле, например ∇ × F, он определен для воздействия на каждый компонент.)

Дифференциальные формы

В Разложение Ходжа тесно связано с разложением Гельмгольца, обобщая векторные поля на р3 к дифференциальные формы на Риманово многообразие M. Большинство формулировок разложения Ходжа требуют M быть компактный.[13] Поскольку это не так р3, теорема о разложении Ходжа не является строго обобщением теоремы Гельмгольца. Однако ограничение компактности в обычной формулировке разложения Ходжа можно заменить подходящими предположениями о распаде на бесконечности задействованных дифференциальных форм, что дает надлежащее обобщение теоремы Гельмгольца.

Слабая формулировка

Разложение Гельмгольца также можно обобщить, уменьшив предположения регулярности (необходимость существования сильных производных). Предполагать Ω является ограниченным, односвязным, Липшицевский домен. Каждый интегрируемый с квадратом векторное поле ты ∈ (L2(Ом))3 имеет ортогональный разложение:

куда φ находится в Соболевское пространство ЧАС1(Ом) квадратично интегрируемых функций на Ω частные производные которого определены в распределение смысл квадратично интегрируемы, и АЧАС(локон, Ω), пространство векторных полей Соболева, состоящее из квадратных интегрируемых векторных полей с квадратично интегрируемым ротором.

Для чуть более гладкого векторного поля тыЧАС(локон, Ω), имеет место аналогичное разложение:

куда φЧАС1(Ω), v ∈ (ЧАС1(Ом))d.

Продольные и поперечные поля

Терминология, часто используемая в физике, относится к компоненту векторного поля без завитков как к продольный компонент а бездивергентная составляющая - как поперечный компонент.[14] Эта терминология происходит от следующей конструкции: Вычислить трехмерное преобразование Фурье векторного поля . Затем разложите это поле в каждой точке k, на две составляющие, одна из которых направлена ​​продольно, т. е. параллельно k, другой из которых направлен в поперечном направлении, т.е. перпендикулярно k. Пока у нас есть

Теперь применим обратное преобразование Фурье к каждой из этих компонент. Используя свойства преобразований Фурье, получаем:

С и ,

мы можем получить

так что это действительно разложение Гельмгольца.[15]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ О теореме Гельмгольца в конечных областях. К Жан Блейдель. Ассоциация исследований университетов Среднего Запада, 1958.
  2. ^ Герман фон Гельмгольц. Clarendon Press, 1906. Автор Лео Кенигсбергер. p357
  3. ^ Элементарный курс интегрального исчисления. К Дэниел Александр Мюррей. Американская книжная компания, 1898. С. 8.
  4. ^ Дж. У. Гиббс & Эдвин Бидвелл Уилсон (1901) Векторный анализ, страница 237, ссылка с Интернет-архив
  5. ^ Электромагнитная теория, Том 1. Автор Оливер Хевисайд. Типография и издательство "Электрик", с ограниченной ответственностью, 1893 г.
  6. ^ Элементы дифференциального исчисления. К Уэсли Стокер Баркер Вулхаус. Уил, 1854 г.
  7. ^ Элементарный трактат по интегральному исчислению: основан на методе скоростей или колебаний. К Уильям Вулси Джонсон. Джон Уайли и сыновья, 1881 год.
    Смотрите также: Метод флюсий.
  8. ^ Векторное исчисление: с приложениями к физике. К Джеймс Бирни Шоу. Д. Ван Ностранд, 1922. С. 205.
    Смотрите также: Теорема Грина.
  9. ^ Трактат по интегральному исчислению, том 2. Автор Джозеф Эдвардс. Chelsea Publishing Company, 1922 год.
  10. ^ Видеть:
    • Х. Гельмгольц (1858) "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welcher der Wirbelbewegungen entsprechen" (Об интегралах уравнений гидродинамики, соответствующих вихревым движениям), Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 55: 25–55. На странице 38 компоненты скорости жидкости (тыvш) выражаются через градиент скалярного потенциала P и ротор векторного потенциала (LMN).
    • Тем не менее, Гельмгольца в значительной степени ожидал Джордж Стоукс в своей статье: Г. Г. Стоукс (представлен: 1849; опубликован: 1856) «По динамической теории дифракции». Труды Кембриджского философского общества, т. 9, часть I, страницы 1–62; см. страницы 9–10.
  11. ^ "Теорема Гельмгольца" (PDF). Вермонтский университет. Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-08-13. Получено 2011-03-11.
  12. ^ а б c Дэвид Дж. Гриффитс, Введение в электродинамику, Прентис-Холл, 1999, стр. 556.
  13. ^ Кантарелла, Джейсон; ДеТерк, Деннис; Глюк, Герман (2002). «Векторное исчисление и топология областей в трехмерном пространстве». Американский математический ежемесячник. 109 (5): 409–442. Дои:10.2307/2695643. JSTOR 2695643.
  14. ^ Стюарт, А. М .; Продольные и поперечные компоненты векторного поля, Sri Lankan Journal of Physics 12, 33–42 (2011).
  15. ^ Онлайн-записи лекций Роберта Литтлджона

Рекомендации

Общие ссылки

  • Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков, 4-е издание, Academic Press: San Diego (1995), стр. 92–93
  • Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков - международное издание, 6-е издание, Academic Press: San Diego (2005), стр. 95–101
  • Резерфорд Арис, Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости, Прентис-Холл (1962), OCLC 299650765, стр. 70–72

Ссылки на слабую формулировку

  • Amrouche, C .; Бернарди, К.; Дауге, М .; Жиро, В. (1998). «Векторные потенциалы в трехмерных негладких областях». Математические методы в прикладных науках. 21: 823–864. Bibcode:1998MMAS ... 21..823A. Дои:10.1002 / (sici) 1099-1476 (199806) 21: 9 <823 :: aid-mma976> 3.0.co; 2-b.
  • Р. Даутрей и Ж.-Л. Львы. Спектральная теория и приложения, том 3 математического анализа и численных методов в науке и технике. Springer-Verlag, 1990.
  • В. Жиро и П.А. Равиар. Методы конечных элементов для уравнений Навье – Стокса: теория и алгоритмы. Ряды Спрингера в вычислительной математике. Спрингер-Верлаг, 1986.

внешняя ссылка