WikiDer > Том Холмса – Томпсона - Википедия

Holmes–Thompson volume - Wikipedia

В геометрии нормированные пространства, то Том Холмса – Томпсона это понятие объем что позволяет сравнивать множества, содержащиеся в разных нормированных пространствах (одной размерности). Его представили Раймонд Д. Холмс и Энтони Чарльз Томпсон.^[1]

Определение

Том Холмса – Томпсона ${ displaystyle operatorname {Vol} _ { text {HT}} (A)}$ измеримого множества ${ Displaystyle А Subteq R ^ {п}}$ в нормированном пространстве ${ Displaystyle ( mathbb {R} ^ {n}, | - |)}$ определяется как 2п-размерный мера набора продуктов ${ displaystyle A times B ^ {*},}$ куда ${ Displaystyle В ^ {*} substeq mathbb {R} ^ {п}}$ дуальный единичный шар ${ Displaystyle | - |}$ (в единичный мяч из двойная норма ${ Displaystyle | - | ^ {*}}$ ).

Симплектическое (безкоординатное) определение

Объем Холмса – Томпсона можно определить без координат: если ${ Displaystyle A substeq V}$ является измеримым множеством в п-мерное реальное нормированное пространство ${ Displaystyle (V, | - |),}$ то его объем Холмса – Томпсона определяется как модуль интеграла от объемная форма ${ displaystyle { frac {1} {n!}} overbrace { omega wedge cdots wedge omega} ^ {n}}$ по набору ${ Displaystyle А раз В ^ {*}}$ ,

{ displaystyle operatorname {Vol} _ {HT} (A) = left | int _ {A times B ^ {*}} { frac {1} {n!}} omega ^ {n} право |}

куда ${ displaystyle omega}$ это стандартная симплектическая форма в векторном пространстве ${ Displaystyle V раз V ^ {*}}$ и ${ Displaystyle B ^ {*} substeq V ^ {*}}$ дуальный единичный шар ${ Displaystyle | - |}$ .

Это определение согласуется с предыдущим, потому что если каждый вектор ${ displaystyle x in V}$ заданы линейные координаты ${ Displaystyle (х_ {я}) _ {0 leq я <п}}$ и каждый ковектор ${ displaystyle varphi in V ^ {*}}$ дается двойные координаты ${ Displaystyle (п_ {я}) _ {0 leq я <п}}$ (так что ${ Displaystyle varphi (х) = сумма _ {я} р_ {я} х_ {я}}$ ), то стандартная симплектическая форма имеет вид ${ displaystyle omega = sum _ {i} mathrm {d} x_ {i} wedge mathrm {d} p_ {i}}$ , а форма объема -

{ displaystyle { frac {1} {n!}} omega ^ {n} = pm ; mathrm {d} x_ {0} wedge dots wedge mathrm {d} x_ {n-1 } wedge mathrm {d} p_ {0} wedge dots wedge mathrm {d} p_ {n-1},}

интеграл по множеству ${ Displaystyle A times B ^ {*} substeq V times V ^ {*} cong mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {n}}$ это просто обычный объем множества в координатном пространстве ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ .

Объем в финслеровых многообразиях

В более общем смысле, объем Холмса – Томпсона измеримого множества ${ displaystyle A}$ в Финслеровский коллектор ${ displaystyle (M, F)}$ можно определить как

{ displaystyle operatorname {Vol} _ { text {HT}} (A): = int _ {B ^ {*} A} { frac {1} {n!}} omega ^ {n}, }

куда ${ Displaystyle B ^ {*} A = {(x, p) in mathrm {T} ^ {*} M: x in A { text {and}} p in mathrm {T} _ {x} ^ {*} M { text {with}} | p | _ {x} ^ {*} leq 1 }}$ и ${ displaystyle omega}$ это стандартная симплектическая форма на котангенсный пучок ${ displaystyle mathrm {T} ^ {*} M}$ . Определение объема Холмса-Томпсона подходит для установления связи между общим объемом многообразия и длиной геодезические (кратчайшие кривые), содержащиеся в нем (например, систолическое неравенство^[2]^[3] и объемы заполнения^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]) потому что, согласно Теорема Лиувилля, то геодезический поток сохраняет симплектический объем множеств кокасательного расслоения.

Расчет с использованием координат

Если ${ displaystyle M}$ это область в координатном пространстве ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ , то касательное и котангенсное пространства в каждой точке ${ displaystyle x in M}$ оба могут быть отождествлены с ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ . Метрика Финслера - это непрерывная функция ${ Displaystyle F: TM = M times mathbb {R} ^ {n} to [0, + infty)}$ что дает (возможно асимметричная) норма ${ Displaystyle F_ {x}: v in mathbb {R} ^ {n} mapsto | v | _ {x} = F (x, v)}$ за каждую точку ${ displaystyle x in M}$ . Объем Холмса – Томпсона подмножества $А \subseteq M$ можно вычислить как

{ displaystyle operatorname {Vol} _ { textrm {HT}} (A) = | B ^ {*} A | = int _ {A} | B_ {x} ^ {*} | , mathrm { d} operatorname {Vol_ {n}} (x)}

где для каждой точки ${ displaystyle x in M}$ , набор ${ Displaystyle B_ {х} ^ {*} substeq mathbb {R} ^ {n}}$ дуальный единичный шар ${ displaystyle F_ {x}}$ (единичный шар двойная норма ${ Displaystyle F_ {x} ^ {*} = | - | _ {x} ^ {*}}$ ), бары ${ displaystyle | - |}$ обозначают обычный объем подмножества в координатном пространстве, а ${ displaystyle mathrm {d} operatorname {Vol_ {n}} (x)}$ это продукт всех $п$ координатные дифференциалы ${ displaystyle mathrm {d} x_ {i}}$ .

Эта формула снова следует из того факта, что $2 п$ -форма ${ displaystyle textstyle {{ frac {1} {n!}} omega ^ {n}}}$ равно (с точностью до знака) произведению дифференциалов всех ${ displaystyle n}$ координаты ${ Displaystyle mathrm {х} _ {я}}$ и их двойные координаты ${ displaystyle p_ {i}}$ . Том Холмса – Томпсона. $А$ тогда равен обычному объему подмножества ${ displaystyle B ^ {*} A = {(x, p) in M times mathbb {R} ^ {n}: p in B_ {x} ^ {*} }}$ из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ .

Формула Сантало

Если ${ displaystyle A}$ представляет собой простую область финслерова многообразия (то есть область, гомеоморфную шару, с выпуклой границей и единственной геодезической вдоль ${ displaystyle A}$ соединяя каждую пару точек ${ displaystyle A}$ ), то его объем Холмса – Томпсона может быть вычислен с точки зрения длины пути (вдоль ${ displaystyle A}$ ) между граничными точками ${ displaystyle A}$ с помощью Формула Сантало, что, в свою очередь, основано на том, что геодезический поток на кокасательном расслоении равен Гамильтониан.^[9]

Нормализация и сравнение с евклидовой мерой и мерой Хаусдорфа

Авторы оригинала использовали^[1] другая нормализация для объема Холмса – Томпсона. Они разделили приведенное здесь значение на том Евклидова п-мяч, чтобы объем Холмса – Томпсона совпадал с мерой произведения в стандартном евклидовом пространстве ${ Displaystyle ( mathbb {R} ^ {n}, | - | _ {2})}$ . Эта статья не следует этому соглашению.

Если объем Холмса – Томпсона в нормированных пространствах (или финслеровом многообразии) нормирован, то он никогда не превышает Мера Хаусдорфа. Это следствие Неравенство Бляшке-Сантало. Равенство выполняется тогда и только тогда, когда пространство евклидово (или является римановым многообразием).

Рекомендации

Альварес-Пайва, Хуан-Карлос; Томпсон, Энтони С. (2004). "Глава 1: Объемы нормированных и финслеровых пространств" (PDF). В Бао, Дэвид; Брайант, Роберт Л .; Черн, Шиинг-Шэнь; Шен, Чжунминь (ред.). Сэмплер геометрии Римана-Финслера. Публикации ИИГС. 50. Издательство Кембриджского университета. С. 1–48. ISBN 0-521-83181-4. МИСТЕР 2132656.

^ ^а ^б Холмс, Раймонд Д .; Томпсон, Энтони Чарльз (1979). "N-мерная площадь и содержание в пространствах Минковского ». Пасифик Дж. Математика. 85 (1): 77–110. Дои:10.2140 / pjm.1979.85.77. МИСТЕР 0571628.
^ Сабурау, Стефан (2010). «Локальная экстремальность сферы Калаби – Кроука для длины кратчайшей замкнутой геодезической». Журнал Лондонского математического общества. 82 (3): 549–562. arXiv:0907.2223. Bibcode:2009arXiv0907.2223S. Дои:10.1112 / jlms / jdq045.
^ Альварес Пайва, Хуан-Карлос; Балачев, Флоран; Цанев, Кроум (2016). «Изосистолические неравенства для оптических гиперповерхностей». Успехи в математике. 301: 934–972. arXiv:1308.5522. Bibcode:2013arXiv1308.5522A. Дои:10.1016 / j.aim.2016.07.003.
^ Иванов, Сергей В. (2010). «Сравнение объемов через граничные расстояния». Труды ICM. 1004: arXiv: 1004.2505. arXiv:1004.2505. Bibcode:2010arXiv1004.2505I.
^ Иванов, Сергей В. (2001). «О двумерных минимальных заполнениях». Алгебра и анализ (на русском). 13 (1): 26–38.
^ Иванов, Сергей В. (2002). «О двумерных минимальных заполнениях». Санкт-Петербургская математика. J. 13 (1): 17–25. МИСТЕР 1819361.
^ Иванов, Сергей В. (2011). «Заполнение минимальности финслеровских 2-дисков». Proc. Стеклова Математика. 273 (1): 176–190. arXiv:0910.2257. Дои:10.1134 / S0081543811040079.
^ Иванов, Сергей В. (2013). «Локальная монотонность риманова и финслерова объема относительно граничных расстояний». Geometriae Dedicata. 164 (2013): 83–96. arXiv:1109.4091. Bibcode:2011arXiv1109.4091I. Дои:10.1007 / s10711-012-9760-у.
^ «Формула Сантало». Энциклопедия математики.

[holmes1979ndimensional-1] а ^б Холмс, Раймонд Д .; Томпсон, Энтони Чарльз (1979). "N-мерная площадь и содержание в пространствах Минковского ». Пасифик Дж. Математика. 85 (1): 77–110. Дои:10.2140 / pjm.1979.85.77. МИСТЕР 0571628.

[2] Сабурау, Стефан (2010). «Локальная экстремальность сферы Калаби – Кроука для длины кратчайшей замкнутой геодезической». Журнал Лондонского математического общества. 82 (3): 549–562. arXiv:0907.2223. Bibcode:2009arXiv0907.2223S. Дои:10.1112 / jlms / jdq045.

[3] Альварес Пайва, Хуан-Карлос; Балачев, Флоран; Цанев, Кроум (2016). «Изосистолические неравенства для оптических гиперповерхностей». Успехи в математике. 301: 934–972. arXiv:1308.5522. Bibcode:2013arXiv1308.5522A. Дои:10.1016 / j.aim.2016.07.003.

[4] Иванов, Сергей В. (2010). «Сравнение объемов через граничные расстояния». Труды ICM. 1004: arXiv: 1004.2505. arXiv:1004.2505. Bibcode:2010arXiv1004.2505I.

[5] Иванов, Сергей В. (2001). «О двумерных минимальных заполнениях». Алгебра и анализ (на русском). 13 (1): 26–38.

[6] Иванов, Сергей В. (2002). «О двумерных минимальных заполнениях». Санкт-Петербургская математика. J. 13 (1): 17–25. МИСТЕР 1819361.

[7] Иванов, Сергей В. (2011). «Заполнение минимальности финслеровских 2-дисков». Proc. Стеклова Математика. 273 (1): 176–190. arXiv:0910.2257. Дои:10.1134 / S0081543811040079.

[8] Иванов, Сергей В. (2013). «Локальная монотонность риманова и финслерова объема относительно граничных расстояний». Geometriae Dedicata. 164 (2013): 83–96. arXiv:1109.4091. Bibcode:2011arXiv1109.4091I. Дои:10.1007 / s10711-012-9760-у.

[9] «Формула Сантало». Энциклопедия математики.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Navigation