Предложение: Если есть все эквалайзеры, то в факторизации из (1) является эпиморфизм.[2]
Доказательство —
Позволять быть таким, чтобы , нужно показать, что . Поскольку эквалайзер существуют, факторизуется как с моник. Но потом это факторизация с мономорфизм. Следовательно, по универсальному свойству изображения существует единственная стрелка такой, что и с тех пор моник . Кроме того, есть и по свойству мономорфизма можно получить .
Это означает, что и таким образом уравнивает откуда .
Второе определение
В категории со всеми конечными пределы и копределы, то изображение определяется как эквалайзер так называемых пара коядра.[3]
Примечания:
Конечная биполнота категории обеспечивает существование выталкиваний и эквалайзеров.
можно назвать обычное изображение в качестве это регулярный мономорфизм, т.е. эквалайзер пары морфизма. (Напомним также, что эквалайзер автоматически является мономорфизмом).
В абелевой категории свойство пары коядров можно записать и условие эквалайзера . Более того, все мономорфизмы регулярны.
Теорема — Если всегда факторизуется через регулярные мономорфизмы, тогда два определения совпадают.
Доказательство —
Первое определение подразумевает второе: Предположить, что (1) держит с регулярный мономорфизм.
Выравнивание: нужно показать, что . Поскольку пара коядра и по предыдущему предложению, поскольку есть все эквалайзеры, стрелка в факторизации является эпиморфизм, следовательно .
Универсальность: в категории со всеми копределами (или хотя бы со всеми выталкиваемыми) сам допускает коядровую пару
Более того, как регулярный мономорфизм является уравнителем пары морфизмов но мы утверждаем здесь, что это также уравнитель .
Действительно, по построению таким образом, диаграмма "пары коядров" для дает уникальный морфизм такой, что . Теперь карта что уравнивает также удовлетворяет , следовательно, по диаграмме эквалайзера для , существует уникальная карта такой, что .
Наконец, используйте диаграмму пары коядров (из ) с : существует уникальный такой, что . Следовательно, любая карта что уравнивает также уравнивает и, таким образом, однозначно факторизуется как . Это точно означает, что эквалайзер .
Второе определение подразумевает первое:
Факторизация: принимая на схеме эквалайзера ( соответствует ), получаем факторизацию .
Универсальность: позволять быть факторизацией с регулярный мономорфизм, т.е. уравнитель некоторой пары .
потом так что по диаграмме "пары коядров" ( ), с , существует единственный такой, что .
Теперь из (м от эквалайзера (я1, я2) диаграмма), получаем , следовательно, в силу универсальности в уравнителе (d1, d2) диаграмма с ж заменен на м) существует единственная такой, что .
^Митчелл, Барри (1965), Теория категорий, Чистая и прикладная математика, 17, Academic Press, ISBN978-0-124-99250-4, МИСТЕР0202787 Раздел I.10 стр.12
^Митчелл, Барри (1965), Теория категорий, Чистая и прикладная математика, 17, Academic Press, ISBN978-0-124-99250-4, МИСТЕР0202787 Предложение 10.1 п.12
^Кашивара, Масаки; Шапира, Пьер (2006), «Категории и связки», Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 332, Berlin Heidelberg: Springer, стр. 113–114. Определение 5.1.1.