WikiDer > Индуцированный гомоморфизм

В математика, особенно в районе топология известный как алгебраическая топология, индуцированный гомоморфизм это гомоморфизм получено каноническим способом из другой карты.^[1] Например, непрерывная карта из топологическое пространство Икс в космос Y вызывает групповой гомоморфизм от фундаментальная группа из Икс к основной группе Y.

В более общем плане в теория категорий, любой функтор по определению обеспечивает индуцированный морфизм в целевой категории для каждого морфизма в исходной категории. Например, фундаментальные группы, выше гомотопические группы, особые гомологии, и Когомологии де Рама алгебраические структуры, которые функториальный, что означает, что их определение обеспечивает функтор из категории (например) топологических пространств в категорию (например) групп или колец. Это означает, что каждое пространство связано с алгебраической структурой, а каждое непрерывное отображение между пространствами связано с сохраняющим структуру отображением между структурами, называемым индуцированным гомоморфизмом. час часто обозначается ${ displaystyle h _ {*}}$.

Индуцированные гомоморфизмы часто наследуют свойства отображений, из которых они происходят; например, два отображения, обратные друг другу с точностью до гомотопии, индуцируют гомоморфизмы, обратные друг другу. Обычно индуцированные гомоморфизмы используются следующим образом: показывая, что гомоморфизм с определенными свойствами не может существовать, можно сделать вывод, что не может существовать непрерывная карта со свойствами, которые могли бы ее вызвать. Благодаря этому отношения между пространствами и непрерывными отображениями, часто очень сложные, могут быть выведены из отношений между гомоморфизмами, которые они индуцируют. Последние могут быть проще для анализа, поскольку они включают алгебраические структуры, которые часто можно легко описать, сравнить и вычислить в.

В фундаментальных группах

Позволять Икс и Y быть топологические пространства с очками Икс₀ ∈ Икс, у₀ ∈ Y.Позволять час : X → Y быть непрерывная карта такой, что час(Икс₀) = у₀.Тогда мы можем определить карту ${ displaystyle h _ {*}}$ из фундаментальной группы π₁(Икс, Икс₀) к фундаментальной группе π₁(Y, у₀) следующим образом: любой элемент π₁(Икс, Икс₀), представленный петлей ж в Икс основанный на Икс₀, отображается в цикл в π₁(Y, у₀) полученный путем составления с час:

${ displaystyle h _ {*} ([f]): = [h circ f]}$

Здесь [f] обозначает класс эквивалентности ж при гомотопии, как в определении фундаментальной группы. Из определений легко проверить, что ${ displaystyle h _ {*}}$ хорошо определенная функция π₁(Икс, Икс₀) → π₁(Y, у₀): петли в одном классе эквивалентности, т. е. гомотопические петли в Икс, отображаются в гомотопические петли в Y, поскольку гомотопию можно составить с помощью час Кроме того, из определения групповой операции в фундаментальных группах (а именно путем конкатенации петель) следует, что ${ displaystyle h _ {*}}$ является гомоморфизмом группы:

${ displaystyle h _ {*} ([f + g]) = h _ {*} ([f]) + h _ {*} ([g])}$

(куда + обозначает конкатенацию в циклах, первый + в Икс, второй в Y).^[2]Полученный гомоморфизм ${ displaystyle h _ {*}}$ гомоморфизм индуцированный из час.

Его также можно обозначить как π(час).В самом деле, π дает функтор из категории заостренные места к категории групп: он связывает фундаментальную группу π₁(Икс, Икс₀) к каждому указанному пространству (Икс,Икс₀) и ставит в соответствие индуцированный гомоморфизм ${ Displaystyle пи (ч) = ч _ {*}}$ к каждой базовой точке с сохранением непрерывной карты ж: (Икс,Икс₀) (Y,у₀).Чтобы доказать, что он удовлетворяет определению функтора, нужно дополнительно проверить, что он совместим с композицией: для непрерывных отображений, сохраняющих базовую точку ж: (Икс,Икс₀) (Y,у₀) и грамм: (Y,у₀) (Z,z₀), у нас есть:

${ Displaystyle пи (г circ f) = pi (g) circ pi (f).}$

Отсюда следует, что если час не только непрерывное отображение, но и гомеоморфизм между Икс и Y, то индуцированный гомоморфизм ${ Displaystyle пи (ч)}$ является изоморфизм между фундаментальными группами (поскольку гомоморфизм, индуцированный обратным к час является инверсией ${ Displaystyle пи (ч)}$, по приведенному выше уравнению) (см. раздел III.5.4, стр. 201, в H. Schubert.)^[3]

Приложения

1. В тор не гомеоморфен р² потому что их основные группы не изоморфный (их основные группы не имеют одинаковых мощность). В более общем смысле односвязное пространство не может быть гомеоморфным неодносвязному пространству; у одного есть тривиальная фундаментальная группа, а у другого - нет.

2. Фундаментальная группа единичной окружности изоморфна группе целые числа. Следовательно, одноточечный компактификация из р имеет фундаментальную группу, изоморфную группе целых чисел (так как одноточечная компактификация р гомеоморфна единичной окружности). Это также показывает, что одноточечная компактификация односвязного пространства не обязательно должна быть односвязной.

3. Обратное утверждение теоремы не обязательно. Например, р² и р³ имеют изоморфные фундаментальные группы, но все же не гомеоморфны. Их фундаментальные группы изоморфны, потому что каждое пространство односвязно. Однако эти два пространства не могут быть гомеоморфными, потому что удаление точки из р² оставляет неодносвязное пространство, но удаляет точку из р³ оставляет односвязное пространство (Если мы удалим строку, лежащую в р³, пространство больше не будет просто связано. Фактически это обобщается на р^п посредством чего удаление (п − 2)-мерное подпространство из р^п оставляет неодносвязное пространство).

4. Если А это отвод сильной деформации топологического пространства Икс, то карта включения из А к Икс индуцирует изоморфизм между фундаментальными группами (так что фундаментальная группа Икс можно описать, используя только петли в подпространстве А).

Другие примеры

Точно так же существуют индуцированные гомоморфизмы высших гомотопические группы и группы гомологии. Любой теория гомологии приходит с индуцированными гомоморфизмами. Например, симплициальные гомологии, особые гомологии, и Гомологии Бореля – Мура все имеют индуцированные гомоморфизмы (IV.1.3, с. 240–241) ^[3] Аналогично любой когомология приходит индуцированный гомоморфизм, но в противоположном направлении (от группы, связанной с Y группе, связанной с Икс). Например, Когомологии Чеха, когомологии де Рама, и особые когомологии все имеют индуцированные гомоморфизмы (IV.4.2–3, стр. 298–299).^[3] Такие обобщения, как кобордизм также индуцировали гомоморфизмы.

Общее определение

Учитывая некоторые категория ${ displaystyle T}$ топологических пространств (возможно, с некоторой дополнительной структурой), таких как категория всех топологических пространств Вершина или категория заостренный топологические пространства, т. е. топологические пространства с выделенной базовой точкой, и функтор ${ displaystyle F: T to A}$ из этой категории в какую-то категорию ${ displaystyle A}$ алгебраических структур, таких как категория групп Grp или абелевых групп Ab который затем связывает такую ​​алгебраическую структуру с каждым топологическим пространством, то для каждого морфизм ${ displaystyle f: от X до Y}$ из ${ displaystyle T}$ (которое обычно является непрерывным отображением, возможно, сохраняющим некоторую другую структуру, такую ​​как базовая точка), этот функтор индуцирует индуцированный морфизм ${ Displaystyle F (е): F (X) к F (Y)}$ в ${ displaystyle A}$ (который является гомоморфизмом групп, если ${ displaystyle A}$ категория групп) между алгебраическими структурами ${ Displaystyle F (X)}$ и ${ Displaystyle F (Y)}$ связано с ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$, соответственно.

Если ${ displaystyle F}$ не функтор, а контравариантный функтор то по определению он индуцирует морфизмы в противоположном направлении: ${ Displaystyle F (е): F (Y) к F (X)}$. Группы когомологий привести пример.

Рекомендации

• Джеймс Мункрес (1999). Топология, 2-е издание, Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.