WikiDer > Функтор обратного изображения

Inverse image functor

В математике, особенно в алгебраическая топология и алгебраическая геометрия, функтор обратного изображения это контравариантный строительство снопы; здесь «контравариантный» в смысле данного отображения , прообраз функтор является функтором от категория пучков на Y в категорию пучков на Икс. В функтор прямого изображения является основной операцией на пучках с простейшим определением. Обратное изображение демонстрирует некоторые относительно тонкие особенности.

Определение

Предположим, нам дан пучок на и что мы хотим перевезти к используя непрерывная карта .

Результат назовем обратное изображение или же откат пучок . Если мы попытаемся подражать прямое изображение установив

для каждого открытого набора из , сразу сталкиваемся с проблемой: не обязательно открыто. Лучшее, что мы могли сделать, - это аппроксимировать его открытыми множествами, и даже тогда мы получим предпучка а не связкой. Следовательно, мы определяем быть связка, связанная с предпучкой:

(Здесь открытое подмножество и копредел проходит по всем открытым подмножествам из содержащий .)

Например, если это просто включение точки из , тогда это просто стебель из на этой точке.

Карты ограничений, а также функториальность прообраза следует из универсальная собственность из прямые ограничения.

При работе с морфизмы из локально окольцованные пространства, Например схемы в алгебраическая геометрия, часто работают с снопы -модули, куда структурный пучок . Тогда функтор неуместен, потому что вообще не дает даже связок -модули. Чтобы исправить это, в этой ситуации определяют пучок -модули его прообраз

.

Характеристики

  • Пока определить сложнее, чем , то стебли легче вычислить: учитывая точку , надо .
  • является точный функтор, как видно из приведенного выше расчета стеблей.
  • является (в общем) только правильным. Если точно, ж называется плоский.
  • это левый смежный из функтор прямого изображения . Это означает, что существуют естественные морфизмы единиц и коит и . Эти морфизмы дают естественное соответствие присоединения:
.

Однако морфизмы и находятся Больше никогда изоморфизмы. Например, если обозначает включение замкнутого подмножества, стебель в какой-то момент канонически изоморфна если в и иначе. Аналогичное присоединение справедливо для случая пучков модулей, заменяя к .

Рекомендации

  • Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-16389-3, МИСТЕР 0842190. См. Раздел II.4.