WikiDer > Функтор прямого изображения

Direct image functor

В математика, в области теория связок и особенно в алгебраическая геометрия, то функтор прямого изображения обобщает понятие сечение связки к относительному случаю.

Определение

Позволять ж: Икс → Y быть непрерывное отображение из топологические пространства, а Sh (-) обозначают категория связок абелевы группы на топологическом пространстве. В прямое изображение функтор

{ displaystyle f _ {*}: operatorname {Sh} (X) to operatorname {Sh} (Y)}

посылает пачку F на Икс его прямому образу предпучка, который определен на открытых подмножествах U из Y к

{ Displaystyle f _ {*} F (U): = F (f ^ {- 1} (U)),}

который оказывается связкой на Y, также называемый прямая связка.

Это присвоение является функториальным, т.е. морфизм пучков φ: F → грамм на Икс порождает морфизм пучков ж_∗(φ): ж_∗(F) → ж_∗(грамм) на Y.

Пример

Если Y является точкой, то прямое изображение равно Функтор глобальных секций.Пусть f: X → Y - непрерывное отображение топологических пространств или морфизм схем. Затем исключительный инверсный образ является функтором^!: D (Y) → D (X).

Варианты

Аналогичное определение применяется к пучкам на Topoi, Такие как этальные снопы. Вместо прообраза выше ж⁻¹(U) волокнистый продукт из U и Икс над Y используется.

Более высокие прямые изображения

Функтор прямого изображения остается точный, но обычно не совсем точно. Следовательно, можно считать правильным производные функторы прямого изображения. Они называются более высокие прямые изображения и обозначен р^q ж_∗.

Можно показать, что есть выражение, подобное приведенному выше, для более высоких прямых изображений: для пучка F на Икс, р^q ж_∗(F) - связка, связанная с предпучком

{ Displaystyle U mapsto H ^ {q} (f ^ {- 1} (U), F).}

Характеристики

Функтор прямого изображения правый смежный к функтор обратного изображения, что означает, что для любого непрерывного ${ displaystyle f: от X до Y}$ и снопы ${ displaystyle { mathcal {F}}, { mathcal {G}}}$ соответственно на Икс, Y, существует естественный изоморфизм:

{ displaystyle mathrm {Hom} _ { mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} { mathcal {G}}, { mathcal {F}}) = mathrm {Hom} _ { mathbf {Sh} (Y)} ({ mathcal {G}}, f _ {*} { mathcal {F}})}

.

Если ж включение замкнутого подпространства Икс ⊆ Y тогда ж_∗ точно. Собственно, в этом случае ж_∗ является эквивалентность между связками на Икс и шкивы на Y поддерживается на Икс. Это следует из того, что стебель ${ displaystyle (f _ {*} { mathcal {F}}) _ {y}}$ является ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {y}}$ если ${ displaystyle y in X}$ и ноль в противном случае (здесь замкнутость Икс в Y используется).