WikiDer > Изолированная особенность

Isolated singularity

В комплексный анализ, филиал математика, изолированная особенность тот, у которого нет другого особенности близко к этому. Другими словами, комплексное число z₀ - изолированная особенность функции ж если существует открыто диск D сосредоточен на z₀ такой, что ж является голоморфный на D {z₀}, то есть на набор получен из D принимая z₀ из.

Формально и в общем объеме функциональный анализ, изолированная особенность функции ${ displaystyle f}$ есть ли топологически изолированный точка в открытом наборе, где определена функция.

Каждая особенность мероморфная функция изолирован, но изолированности особенностей недостаточно для гарантии мероморфности функции. Многие важные инструменты комплексного анализа, такие как Серия Laurent и теорема о вычетах требуют, чтобы все соответствующие особенности функции были изолированы. Существуют три типа изолированных особенностей: устраняемые особенности, полюса и существенные особенности.

Примеры

Функция ${ displaystyle { frac {1} {z}}}$ имеет 0 как изолированную особенность.
В косеканс функция ${ Displaystyle csc влево ( пи г вправо)}$ имеет каждый целое число как изолированную особенность.

Неизолированные особенности

Помимо изолированных особенностей, сложные функции одной переменной могут демонстрировать другое сингулярное поведение. А именно, существуют два вида неизолированных особенностей:

Кластерные точки, т.е. предельные точки изолированных особенностей: если все они полюса, несмотря на допущение Серия Laurent расширения на каждом из них, такое расширение невозможно на его пределе.
Естественные границы, т.е. любой неизолированный набор (например, кривая), функции которого не могут быть аналитически продолжение вокруг (или вне их, если это замкнутые кривые в Сфера Римана).

Примеры

Естественной границей этого степенного ряда является единичный круг (см. Примеры).

Функция ${ displaystyle tan left ({ frac {1} {z}} right)}$ является мероморфный в ${ displaystyle mathbb {C} backslash {0 }}$ , с простыми полюсами в ${ displaystyle z_ {n} = left ({ frac { pi} {2}} + n pi right) ^ {- 1}}$ , для каждого ${ Displaystyle п в mathbb {N} _ {0}}$ . С ${ displaystyle z_ {n} rightarrow 0}$ , каждый проколотый диск с центром в ${ displaystyle 0}$ имеет бесконечное количество сингулярностей внутри, поэтому разложение Лорана недоступно для ${ displaystyle tan left ({ frac {1} {z}} right)}$ вокруг ${ displaystyle 0}$ , который на самом деле является точкой скопления его полюсов.
Функция ${ displaystyle csc left ({ frac { pi} {z}} right)}$ имеет особенность в 0, которая нет изолированы, так как есть дополнительные особенности на взаимный каждого целое число которые расположены произвольно близко к 0 (хотя особенности на этих обратных величинах изолированы).
Функция здесь определена как Серия Маклорена ${ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} г ^ {2 ^ {п}}}$ сходится внутри открытого единичного диска с центром в ${ displaystyle 0}$ и имеет единичную окружность в качестве естественной границы.