WikiDer > Lagrange-Punkt

Die fünf Lagrange-Punkte Sonne-Erde

EIN Lagrang-Punkt (benannt nach dem italienischen Mathematiker und AstronomJoseph-Louis Lagrange) ist eine spezielle Form von Bahnresonanz. In einem Lagrange-Punkt ist ein kleines Objekt wie a Raumstation eine feste relative Position in Bezug auf zwei Himmelskörper beibehalten, die einen gemeinsamen Schwerpunkt umkreisen. Diese Position ist je nach Fall mehr oder weniger stabil, dabei muss die Masse des Objekts am Lagrange-Punkt relativ zu den beiden Himmelskörpern vernachlässigbar sein und diese Masse muss die richtige Geschwindigkeit und Richtung haben. Jedes Zweikörpersystem, das sich um einen gemeinsamen Schwerpunkt dreht, hat fünf Lagrange-Punkte, von denen drei auf der Verbindungslinie der beiden Himmelskörper liegen. Zweikörpersysteme, für die dies gilt, sind beispielsweise Sonne und Erde, die Sonne und ein anderer Planet sowie die Erde und ihr Mond. Anstatt an einem Lagrange-Punkt "stillzustehen", kann das kleine Objekt diesen auch umkreisen.

Lagrange-Punkte haben mehrere Vorteile als Position für eine Raumstation, ähnlich wie a geostationäre Umlaufbahn hat Vorteile für bestimmte Beobachtungs- und Kommunikationszwecke.

Lagrange-Punkte des Sonne-Erde-Systems

Lagrange-Punkte des Sonne-Erde-Systems

Im Folgenden werden die Lagrange-Punkte für das Sonne-Erde-System erläutert, dies gilt aber sinngemäß auch für andere Zweikörpersysteme.

Lagrange-Punkt L1

Der Punkt L1 liegt auf der Geraden zwischen Erde und Sonne. Ein Objekt, das der Sonne näher als die Erde sein muss Das dritte Keplersche Gesetz ein kürzeres Seitenwechsel die Erde haben. Wenn wir jedoch auf der geraden Linie zwischen Erde und Sonne der Erde nahe genug kommen, wird die Schwerkraft der Erde der der Sonne entgegenwirken und die Umlaufzeit eines Objekts an diesem Punkt wird sich erhöhen. Dadurch entsteht der Punkt L1, in dem die Umlaufzeit gleich der der Erde ist.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) hat diesen Punkt zuerst berechnet. Der Lagrange-Punkt L1 ist viermal so weit vom Mond entfernt, etwa 1,5 Millionen Kilometer in Richtung Sonne.

Der Sonnenbeobachtungssatellit Sonnen- und Heliosphären-Observatorium (SOHO) wird in L1 platziert, damit es eine kontinuierliche Sicht auf die Sonne hat. Der Satellit umkreist L1, sodass er nicht genau in Richtung der Sonne steht. Dies würde die Kommunikation aufgrund von Störungen durch die Sonneneinstrahlung erschweren. Außerdem ist eine Umlaufbahn um L1 nur in der Ebene senkrecht zur Erde-Sonne-Linie möglich, da Stabilität von L1. 's Job SOHO hat eine große Halbachse von etwa 660.000 km in Richtung der Umlaufbahn um die Sonne. Bei einer Entfernung von etwa 1,5 Millionen Kilometern von der Erde beträgt die maximale Abweichung von der Sonnenrichtung mehrere zehn Grad.

Auch der Weltraumklima-Observatorium (DSCOVR) befindet sich hier.

Lagrange-Punkt L2

Der Lagrange-Punkt L2 liegt ebenfalls auf der Erde-Sonne-Achse, aber jetzt weiter von der Sonne entfernt als die Erde. Ein Objekt, das jenseits der Erde umkreist, hat normalerweise eine langsamere Tragödie Seitenwechsel als die Erde. Die Schwerkraft der Erde wirkt jedoch in die gleiche Richtung wie die der Sonne. Durch die größere nach innen gerichtete Kraft verkürzt sich die Umlaufzeit des Objekts, so dass der Punkt L2 existiert. Es ist ungefähr gleich weit von der Erde entfernt wie L1, aber dafür: viermal so weit vom Mond in Richtung Sonne, also immer im Erdschatten.

Der Lagrange-Punkt L2 wird für Weltraumbeobachtungen verwendet, da ein Objekt in L2 die gleiche Position relativ zur Sonne und zur Erde beibehält, was die Kalibrierung erleichtert. Ein weltraumgestützter Beobachtungssatellit hat zu diesem Zeitpunkt immer die Sonne, die Erde und den Mond hinter sich, so dass die Abschirmung einfacher ist und die Beobachtungen rund um die Uhr fortgesetzt werden können. Satelliten werden nicht direkt in L2 platziert, da sich dieser Punkt immer im Schattenkegel der Erde befindet und somit kein Einsatz von Sonnenkollektoren zur Energieversorgung möglich ist. Daher befinden sich Satelliten in einer Umlaufbahn um L2 außerhalb des Schattenkegels der Erde.

Das Wilkinson Mikrowellen-Anisotropie-Sonde befindet sich bereits im Orbit um den Lagrange-Punkt L2 der Erde/Sonne. Die vorgeschlagene James Webb Weltraumteleskop wird ebenfalls in eine Umlaufbahn um den Lagrange-Punkt L2 gebracht. Die Europäische Weltraumorganisation ESA hat im Mai 2009 die Weltraumteleskop Herschel und der Planck-Observatorium in die Umlaufbahn um L2 gebracht. Am 19. Dezember 2013 wurde ein weiterer Satellit gestartet, der Gaia, die in a lissajous-ähnliche Umlaufbahn um den Punkt L2.

Lagrange-Punkt L3

Der Lagrange-Punkt L3 liegt ebenfalls auf der Achse zwischen Erde und Sonne, aber jetzt von der Erde aus gesehen auf der anderen Seite der Sonne. Ein Objekt erfährt an diesem Punkt die Anziehungskraft der Erde und der Sonne in die gleiche Richtung. Allerdings ist die Anziehungskraft der Erde in dieser großen Entfernung gering. Der Lagrange-Punkt L3 ist also fast so weit von der Sonne entfernt wie die Erde (der Abstand zum gemeinsamen Schwerpunkt ist etwas größer, der zur Sonne etwas kleiner).

Bei der Positionierung am Lagrange-Punkt L3 ist ein Satellit immer außer Sichtweite der Erde. Eine direkte Kommunikation mit dem Satelliten erscheint schwierig (die Sonne steht dazwischen), es sei denn, über einen Satelliten an den Lagrange-Punkten L4 und L5 mit der notwendigen Zeitverzögerung.

Lagrange-Punkte L4 und L5

Die Lagrange-Punkte L4 und L5 befinden sich auf der Erdumlaufbahn und liegen dem 1-fachen der Erde-Sonne-Distanz vor oder nach (in einer geraden Linie, nicht entlang der Krümmung der Umlaufbahn). Das Objekt befindet sich somit an der Spitze eines gleichseitigen Dreiecks mit der Erde-Sonne-Achse als Basis. Da die Entfernungen des Objekts von der Sonne und von der Erde gleich sind, ist das Verhältnis zwischen den Anziehungskräften gleich dem Verhältnis zwischen den Massen von Sonne und Erde. Dadurch wird die resultierende Kraft genau durch den Schwerpunkt des Zwei-Körper-Systems gehen. Die resultierende Kraft ist genau so groß, dass die Umlaufzeit der Erde entspricht.

Die Lagrange-Punkte L4 und L5 sind die einzigen Lagrange-Punkte, die sich auf der Umlaufbahn um die Sonne mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen, weil sie den gleichen Abstand von der Sonne wie die Erde haben. Auf L4 ist die trojanischer Asteroid 2010 TK7.^[1] Diese Punkte können sich auch befinden kordylewski wolken.

Lagrange-Punkte L4 und L5 des Erde-Mond-Systems sind Positionen, die möglicherweise in Betracht gezogen werden Weltraumkolonien zu gründen.

Ableitung von L1 und L2 im Erde-Sonne-System

Schema zur Berechnung der Lagrange-Punkte 1 und 2

L1

Der Lagrange-Punkt 1 liegt zwischen Sonne und Erde. Aus der Definition eines Lagrangeschen Punktes folgt, dass der Seitenwechsel ab diesem Punkt muss die Umlaufzeit der Erde in ihrer Umlaufbahn um die Sonne gleich sein. Die Formel für die Erdperiode erhalten wir aus dem Gravitationsgesetz und Zentripetalbeschleunigung:

${displaystyle { egin{aligned}{frac {GM_{sun}M_{earth}}{d^{2}}}&={frac {M_{earth}v^{2}}{d}}//v&= {frac {2pi d}{T}}//{frac {GM_{sun}M_{erde}}{d^{2}}}&={frac {M_{erde}({frac {2pi d}{T }})^{2}}{d}}//Pfeil nach links T&={sqrt {frac {4pi ^{2}d^{3}}{GM_{sun}}}}end{ausgerichtet}}}$

Die Kraft am Punkt L1 ist gleich der Differenz zwischen der Anziehungskraft der Sonne und der Erdanziehungskraft. Die resultierende Kraft am Punkt muss die Zentripetalkraft mit der gleichen Umlaufzeit wie die Erde bereitstellen:

${displaystyle { egin{aligned}{frac {GmM_{sun}}{(dx)^{2}}}-{frac {GmM_{erde}}{x^{2}}}&={frac {mv^{ 2}}{dx}}//v&={frac {2pi (dx)}{T}}//Pfeil nach links {frac {GM_{sun}}{(dx)^{2}}}-{frac {GM_{ Erde}}{x^{2}}}&={frac {({frac {2pi (dx)}{T}})^{2}}{dx}}end{ausgerichtet}}}$

Um die Gleichung funktionsfähig zu halten, nehmen wir an, dass ${Anzeigestil x}$ ist klein im Vergleich zu ${displaystyle d}$ und folglich können wir die binomiale Entwicklung anwenden.

${displaystyle { egin{aligned}{frac {GM_{sun}}{d^{2}}}left(1-{frac {x}{d}}ight)^{-2}-{frac {GM_{earth }}{x^{2}}}&={frac {4pi ^{2}d}{T^{2}}}left(1-{frac {x}{d}}ight)//left(1 -{frac {x}{d}}ight)^{-2}ungefähr 1-2left(-{frac {x}{d}}ight)=1 {frac {2x}{d}}//Linksrechtspfeil {frac {GM_{sun}}{d^{2}}}links(1 {frac {2x}{d}}ight)-{frac {GM_{erde}}{x^{2}}}&={frac { 4pi ^{2}d}{T^{2}}}left(1-{frac {x}{d}}ight)//Linksrightarrow {frac {GM_{sun}}{d^{2}}}links (1 {frac {2x}{d}}ight)-{frac {GM_{earth}}{x^{2}}}&={frac {4pi ^{2}d}{left({sqrt {frac { 4pi ^{2}d^{3}}{GM_{sun}}}}ight)^{2}}}left(1-{frac {x}{d}}ight)//Linksrightarrow {frac {GM_{ Sonne}}{d^{2}}}links(1 {frac {2x}{d}}ight)-{frac {GM_{erde}}{x^{2}}}&={frac {GM_{sun }}{d^{2}}}left(1-{frac {x}{d}}ight)//Linksrightarrow {frac {GM_{sun}}{d^{2}}}left(1 {frac { 2x}{d}}ight)-{frac {GM_{sun}}{d^{2}}}links(1-{frac {x}{d}}ight)-{frac {GM_{earth}}{ x^{2}}}&=0//Linksrechtspfeil {frac {GM_{sun}}{d^{2}}}left({frac {3x}{d}}ight)-{frac {GM_{earth} }{x^{2}}}&=0//Pfeil nach links {frac {GM_{ sun}}{d^{2}}}left({frac {3}{d}}ight)&={frac {GM_{earth}}{x^{3}}}//Linksrightarrow {frac {3M_{ Sonne}}{M_{erde}d^{3}}&={frac {1}{x^{3}}}//Pfeil nach links {frac {M_{erde}d^{3}}{3M_{sun }}}&=x^{3}//Linksrechtspfeil x&=links({frac {M_{earth}}{3M_{sun}}}ight)^{1/3}dend{aligned}}}$

Nach dem Einfüllen der Erdmasse: 5.972•10²⁴ kg, Sonnenmasse: 1,989•10³⁰ kg und die Entfernung Erde-Sonne: 149.600.000 km erhalten wir für den Lagrange-Punkt 1 eine Entfernung von 1,5 Millionen km von der Erde.

L2

Für den Lagrange-Punkt 2 ist die Ableitung die gleiche, aber man muss besonders auf die Minuszeichen achten: Die Kraft am Punkt L2 ist gleich der Summe der Anziehungskraft der Sonne und der Erdanziehung, die im gleiche Richtung. Die resultierende Kraft am Punkt muss wiederum die Zentripetalkraft liefern, die dafür sorgt, dass ein Körper am Lagrange-Punkt 2 die gleiche Umlaufzeit wie die Erde hat:

${displaystyle { egin{aligned}{frac {GmM_{sun}}{(dx)^{2}}} {frac {GmM_{erde}}{x^{2}}}}&={frac {mv^{2 }}{dx}}//v&={frac {2pi (dx)}{T}}//Pfeil nach links {frac {GM_{sun}}{(dx)^{2}}} {frac {GM_{erde} }{x^{2}}}&={frac {({frac {2pi (dx)}{T}})^{2}}{dx}}end{ausgerichtet}}}$

Wir dürfen die Binomialentwicklung wieder anwenden.

${displaystyle { egin{aligned}{frac {GM_{sun}}{d^{2}}}left(1 {frac {x}{d}}ight)^{-2} {frac {GM_{earth}} {x^{2}}}&={frac {4pi ^{2}d}{T^{2}}}left(1 {frac {x}{d}}ight)//left(1 {frac { x}{d}}ight)^{-2}ungefähr 1-links({frac {2x}{d}}ight)=1-{frac {2x}{d}}//Linksrechtspfeil {frac {GM_{sun }}{d^{2}}}links(1-{frac {2x}{d}}ight) {frac {GM_{earth}}{x^{2}}}&={frac {4pi ^{2 }d}{T^{2}}}left(1 {frac {x}{d}}ight)//Linksrightarrow {frac {GM_{sun}}{d^{2}}}left(1-{frac {2x}{d}}ight) {frac {GM_{earth}}{x^{2}}}&={frac {4pi ^{2}d}{left({sqrt {frac {4pi ^{2} d^{3}}{GM_{sun}}}}ight)^{2}}}(1 {frac {x}{d}}) // Pfeil nach links {frac {GM_{sun}}{d^{2 }}}links(1-{frac {2x}{d}}ight) {frac {GM_{erde}}{x^{2}}}&={frac {GM_{sun}}{d^{2} }}left(1 {frac {x}{d}}ight)//Leftrightarrow {frac {GM_{sun}}{d^{2}}}left(1-{frac {2x}{d}}ight) -{frac {GM_{sun}}{d^{2}}}links(1 {frac {x}{d}}ight) {frac {GM_{erde}}{x^{2}}}&=0 //Linksrechtspfeil {frac {GM_{sun}}{d^{2}}}left(-{frac {3x}{d}}ight) {frac {GM_{erde}}{x^{2}}}& =0//Pfeil nach rechts {frac {GM_{sun}}{d^ {2}}}links({frac {3}{d}}ight)&={frac {GM_{earth}}{x^{3}}}//Pfeil nach links {frac {3M_{sun}}{M_{ Erde}d^{3}}}&={frac {1}{x^{3}}}//Pfeil nach links {frac {M_{erde}d^{3}}{3M_{sun}}}&=x ^{3}//Linksrechtspfeil x&=links({frac {M_{earth}}{3M_{sun}}}ight)^{1/3}dend{aligned}}}$

Nach dem Einfüllen der Erdmasse: 5.972•10²⁴ kg, Sonnenmasse: 1,989•10³⁰ kg und der Abstand Erde-Sonne: 149.600.000 km erhalten wir für den Lagrange-Punkt 2 eine Distanz von 1,5 Millionen km von der Erde. Beide Lagrange-Punkte sind gleich weit von der Erde entfernt.

Lagrange-Punkte auf anderen Himmelskörperpaaren

Sonne und Jupiter

An den Punkten L4 und L5 von Jupiter es gibt von Natur aus schon Gruppen Asteroiden Das Trojaner heißen. Im März 2003 waren es bereits 1.560 bekannt.

Sonne und Neptun

Im Jahr 2001 befand sich ein ähnlicher Asteroid ebenfalls in der Umlaufbahn von Neptun entdeckt: ein Findling mit einem Durchmesser von etwa 230 km.

Sonne und Mars

Der Mars besitzt auch 6 Trojaner.

Erde und Mond

L1 und L2 sind etwa 60.000 km vom Mond entfernt.

Stabilität

Stabilität von L1, L2 und L3

Die ersten drei Lagrange-Punkte sind nur bei Verschiebungen senkrecht zur Verbindungslinie zwischen den Himmelskörpern stabil. Dies ist am einfachsten durch einen Blick auf den L1-Punkt zu erkennen. Eine senkrecht zur Verbindungslinie der beiden Massen verschobene Testmasse würde eine Zugkraft in Richtung des Gleichgewichtspunktes spüren. Dies liegt daran, dass die Nebenkomponenten der Anziehungskraft der beiden Massen auf den Gleichgewichtspunkt gerichtet sind.

Während sie sich entlang der Verbindungslinie zwischen den beiden Himmelskörpern bewegt, bewegt sich die Testmasse näher zu einem der Himmelskörper und die Schwerkraft dieses Himmelskörpers nimmt zu und die des anderen Himmelskörpers ab. Die Prüfmasse wird immer weiter abweichen.

Trotzdem können L1, L2 und L3 verwendet werden, da nur sehr wenig Kraftstoff benötigt wird, um kleine Abweichungen auszugleichen.

Stabilität von L4 und L5

Die Lagrange-Punkte L4 und L5 sind stabil, wenn das Massenverhältnis > 24,96 ist. Dazu gehört die Sonne mit jedem Planeten und die Erde mit dem Mond. Dadurch können Objekte bis zu einer Milliarde Jahre an Ort und Stelle bleiben, außer der Erde mit dem Mond: Störungen durch die Planeten begrenzen die Stabilität, aber Objekte können hier noch mehrere Millionen Jahre an Ort und Stelle bleiben.

Externe Links

• (und) Lagrange-Punkt-Rechner von Tony Dunn.

Siehe die Kategorie Lagrange-Punkte von Wikimedia Commons für Mediendateien zu diesem Thema.