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Das Keplers Gesetze sind drei Physiker Gesetze, die die Flugbahn und Bewegung von a . regeln Himmelskörper einen anderen Himmelskörper im beschreiben Zwei-Körper-Problem. Beispiele sind Planeten um a Star, ein Satellit um einen Planeten, die Mond um die Welt, Doppelsterne zueinander und Komm essen um die Sonne. Der Einfluss anderer Himmelskörper als der beiden betrachteten wird vernachlässigt. Keplers Gesetze wurden geschrieben von written Johannes Kepler für die Planetenbahnen um die Sonne und sind Teil der klassische Mechanik. Kepler veröffentlichte die ersten beiden Gesetze in seinem Astronomia nova seu Physica coelestis, Neue Astronomie oder Himmelsphysik (1609) und das dritte Gesetz in Harmonie mundi, Weltharmonie (1619).

Der Punkt auf der Umlaufbahn, an dem ein Planet der Sonne am nächsten ist, heißt Perihel. Der am weitesten entfernte Punkt heißt Aphelion.

Erstes Gesetz

Das erste Keplersche Gesetz besagt, dass sich alle Planeten in um die Sonne drehen elliptisch Bahnen, mit der Sonne in einem der beiden Brennpunkte der Ellipse. Nach der Definition einer Ellipse (gültig in einer flachen Ebene) ist die Summe der Abstände von einem Punkt auf der Ellipse, also vom Planeten, zu beiden Brennpunkten auf der Ellipse überall gleich.

zweites Gesetz

Das Grenzgesetz:
Bewegt sich ein Planet von A nach B in der gleichen Zeit wie von C nach D, sind die schattierten Bereiche gleich groß

Dieses Gesetz wird auch als Grenzwertgesetz bezeichnet. Die Geschwindigkeit eines Planeten in ihr Orbit ändert sich so, dass in gleichen Zeitabständen die von der Verbindungslinie (Führungsstrahl) abgedeckte Fläche zwischen Sonne und Planet gleich ist. Der Vorschubradius beschreibt somit eine konstante Fläche bzw. ein Feld pro Zeiteinheit, daher das Feldgesetz. So ist im gezeigten Beispiel die mittlere Umlaufgeschwindigkeit (die Tangentialgeschwindigkeit) des Planeten im Intervall AB kleiner als im Intervall CD.

Das Feldgesetz ist eine geometrische Formulierung des Drehimpulserhaltungssatz. wenn ${Anzeigestil v}$ stellt den Geschwindigkeitsvektor des Planeten dar und ${Anzeigestil s}$ der Positionsvektor des Planeten relativ zur Sonne, dann ist es Drehimpuls gleich dem vektoriellen Kreuzprodukt${displaystyle scdot v}$. Die Fläche des grauen Segments in der Abbildung ist proportional zum Integral dieses Drehimpulses über ein bestimmtes Zeitintervall.

Das Grenzwertgesetz gilt für alle zentrale Kraft, weil eine zentrale Kraft nicht Moment und somit ändert sich der Drehimpuls nicht.

Drittes Gesetz

Das Quadrat der Umlaufzeit ${Anzeigestil T}$ eines Planeten ist proportional zur Kubik seiner großen Halbachse ${displaystyle r}$, entweder:

${displaystyle {frac {T^{2}}{r^{3}}}={ext{constant}}}$

Dieses Gesetz ist auch als das . bekannt harmonisches Gesetz erwähnt. Kepler veröffentlichte das Gesetz erst zehn Jahre, nachdem er die beiden früheren veröffentlicht hatte.

Mit dem Newtons Gravitationsgesetz ist die Konstante rechts. Es gilt:

${displaystyle {frac {T^{2}}{r^{3}}}={frac {4pi ^{2}}{G(M m)}}}$

in welchem ${Anzeigestil M}$ ist die Masse des Sterns, ${displaystyle m}$ die Masse des Planeten, ${Anzeigestil G}$ der universelle Gravitationskonstante und ${displaystyle r}$ die große Halbachse der elliptischen Umlaufbahn.

Einfacher Fall

Darstellung des Zusammenhangs zwischen Bahnradius und Bahnzeit

Ein einfacher Fall liegt vor, wenn die Masse ${displaystyle m}$ eines der Himmelskörper ist viel kleiner als seine Masse ${Anzeigestil M}$ vom anderen (z.B. ein Satellit um die Erde)

${displaystyle mll M}$, So ${Anzeigestil (M·m)/Mungefähr 1}$

so dass die Bahn praktisch kreisförmig ist mit Radius ${displaystyle r}$. Schwere ${displaystyle F_{g}}$ ist das dann Zentripetalkraft${displaystyle F_{ ext{mpz}}}$, die die Kreisbewegung verursacht:

${displaystyle F_{ ext{mpz}}=F_{g}}$

Mit der Geschwindigkeit des Planeten oder Satelliten ${Anzeigestil v}$ dann folgt:

${displaystyle {frac {mv^{2}}{r}}={frac {GmM}{r^{2}}}}$

So

${displaystyle v^{2}r=GM}$

weil ${displaystyle v={frac {2pi r}{T}}}$ folgt:

${displaystyle left({frac {2pi r}{T}}ight)^{2}r=GM}$

so dass

${displaystyle {frac {r^{3}}{T^{2}}}={frac {GM}{4pi ^{2}}}}$

und schlussendlich

${displaystyle {frac {T^{2}}{r^{3}}}={frac {4pi ^{2}}{GM}}}$

wie erwartet.

Kepler-Vergleich

Auch Kepler leitete aus den ersten beiden Gesetzen eine praktische Bewegungsgleichung ab, die im Himmelsmechanik bekannt als Keplersche Gleichung. Diese Gleichung gibt die Geschwindigkeit des Planeten auf seiner Bahn um die Sonne als Funktion seiner Position auf seiner Bahn um die Sonne an. Es verwendet eine mathematische Größe, die exzentrische Anomalie.

Ergebnisse

Kepler formulierte die nach ihm benannten Gesetze allein aufgrund von Beobachtungen von ihm selbst und davor von seinem Lehrer Tycho Brahe getan hatte. Brahe hatte die genauesten Beobachtungsinstrumente seiner Zeit. Keplers Gesetze trugen zur Akzeptanz der heliozentrisch Weltanschauung von Kopernikus. Außerdem wurde die Idee verworfen, dass Planeten immer in Kreise um die Sonne bewegen.

Isaac Newton zeigte später, dass Keplers Gesetze mit dem nach ihm benannten Newtonsche Gesetze und seine Theorie der Schwere. Die Newtonschen Gesetze bilden die Grundlage der klassischen Mechanik. Newtons Gravitationstheorie besagt, dass zwischen zwei Objekten eine Kraft besteht, die proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihrer Entfernung ist.

Siehe auch

• Zwei-Körper-Problem
• Kugelschalensatz für die Schwerkraft innerhalb eines Himmelskörpers

Weiterlesen

• Job Kozhamthadam, Die Entdeckung der Keplerschen Gesetze: das Zusammenspiel von Wissenschaft, Philosophie und Religion, University of Notre Dame Press, Notre Dame (1994) ISBN 0-268-00868-X
• R. Hooykaas, Geschichte der Naturwissenschaften - von Babel bis Bohr
• B. de Joode, Naturwissenschaften und Kepler
• Marcelo Gleiser, Ein Riss am Rande der Schöpfung (Kapitel 8 und 9)

Externer Link

• (und) Planetenbahn-Simulator, Universität Nebraska-Lincoln

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