WikiDer > Логарифмическое дифференцирование

Logarithmic differentiation

В исчисление, логарифмическое дифференцирование или же дифференцирование по логарифму это метод, используемый для различать функции используя логарифмическая производная функции ж,[1]

Этот метод часто используется в тех случаях, когда легче дифференцировать логарифм функции, чем саму функцию. Обычно это происходит в тех случаях, когда интересующая функция состоит из произведения нескольких частей, так что логарифмическое преобразование превратит ее в сумму отдельных частей (которую намного легче различить). Это также может быть полезно при применении к функциям, возведенным в степень переменных или функций. Логарифмическое дифференцирование основывается на Правило цепи а также свойства логарифмы (в частности, натуральный логарифм, или логарифм по основанию е) для преобразования произведений в суммы и деления в вычитания.[2][3] Этот принцип может быть реализован, по крайней мере частично, в дифференциации почти всех дифференцируемые функции, при условии, что эти функции не равны нулю.

Обзор

Для функции

логарифмическое дифференцирование обычно начинается с натурального логарифма или логарифма по основанию е, с обеих сторон, не забывая принимать абсолютные значения:[4]

После неявное дифференцирование:[5]

Умножение на у затем выполняется для устранения 1 /у и оставь только dy/dx на левая сторона:

Этот метод используется потому, что свойства логарифмов позволяют быстро упростить дифференциацию сложных функций.[6] Этими свойствами можно манипулировать после взятия натуральных логарифмов с обеих сторон и до предварительного дифференцирования. Наиболее часто используемые законы логарифмирования:[3]

Общий случай

С помощью прописная пи,

Применение натуральных логарифмов приводит к (с прописная сигма)

и после дифференцирования

Переставьте, чтобы получить производную исходной функции,

Производные высшего порядка

С помощью Формула Фаа ди Бруно, логарифмическая производная n-го порядка равна,

Используя это, первые четыре производные:

Приложения

Товары

А натуральный логарифм применяется к продукту двух функций

преобразовать произведение в сумму

Дифференциация с помощью цепь и сумма правила доходности

и после перестановки дает[7]

Коэффициенты

А натуральный логарифм применяется к частному двух функций

преобразовать деление в вычитание

Дифференциация с помощью цепь и сумма правила доходности

и после перестановки дает

После умножения и использования общий знаменатель формула результат такой же, как и после применения правило частного прямо к .

Составная экспонента

Для функции вида

В натуральный логарифм превращает возведение в степень в продукт

Дифференциация с помощью цепь и товар правила доходности

и после перестановки дает

Тот же результат можно получить, переписав ж с точки зрения exp и применяя цепное правило.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Кранц, Стивен Г. (2003). Исчисление демистифицировано. McGraw-Hill Professional. п. 170. ISBN 0-07-139308-0.
  2. ^ Н.П. Бали (2005). Золотое дифференциальное исчисление. Брандмауэр Media. п. 282. ISBN 81-7008-152-1.
  3. ^ а б Птица, Джон (2006). Высшая инженерная математика. Newnes. п. 324. ISBN 0-7506-8152-7.
  4. ^ Доулинг, Эдвард Т. (1990). Очерк теории и проблем исчисления для бизнеса, экономики и социальных наук Шаум. McGraw-Hill Professional. стр.160. ISBN 0-07-017673-6.
  5. ^ Херст, Кейт (2006). Исчисление одной переменной. Birkhäuser. п. 97. ISBN 1-85233-940-3.
  6. ^ Бланк, Брайан Э. (2006). Исчисление, одна переменная. Springer. п. 457. ISBN 1-931914-59-1.
  7. ^ Уильямсон, Бенджамин (2008). Элементарный трактат по дифференциальному исчислению. БиблиоБазар, ООО. С. 25–26. ISBN 0-559-47577-2.