WikiDer > Тест Дирихле - Википедия

Dirichlets test - Wikipedia

В математика, Тест Дирихле это метод тестирования на конвергенция из серии. Он назван в честь его автора. Питер Густав Лежен Дирихле, и был опубликован посмертно в Journal de Mathématiques Pures et Appliquées в 1862 г.[1]

Заявление

Тест утверждает, что если это последовательность из действительные числа и последовательность сложные числа удовлетворение

  • для каждого положительного целого числа N

куда M - некоторая константа, то ряд

сходится.

Доказательство

Позволять и .

Из суммирование по частяму нас есть это . С ограничен M и , первое из этих слагаемых стремится к нулю, в качестве .

У нас для каждого k, . Но если уменьшается,

,

который является телескопическая сумма, что равно и поэтому приближается в качестве . Таким образом, сходится. И если растет,

,

что снова является телескопической суммой, равной и поэтому приближается в качестве . Таким образом, снова сходится.

Так, сходится также тест прямого сравнения. Сериал сходится, также, абсолютная конвергенция тест. Следовательно сходится.

Приложения

Частный случай теста Дирихле является наиболее часто используемым. испытание чередующейся последовательностью для случая

Еще одно следствие: сходится всякий раз, когда - убывающая последовательность, стремящаяся к нулю.

Несобственные интегралы

Аналогичное утверждение о сходимости несобственных интегралов доказывается интегрированием по частям. Если интеграл функции ж равномерно ограничена на всех интервалах, а грамм - монотонно убывающая неотрицательная функция, то интеграл от фг - сходящийся несобственный интеграл.

Примечания

  1. ^ Démonstration d’un théorème d’Abel. Journal de mathématiques pures et appliquées 2-я серия, том 7 (1862 г.), стр. 253–255 В архиве 2011-07-21 на Wayback Machine.

Рекомендации

  • Харди, Г. Х., Курс чистой математики, Девятое издание, Cambridge University Press, 1946. (стр. 379–380).
  • Воксман, Уильям Л., Расширенный расчет: введение в современный анализ, Марсель Деккер, Inc., Нью-Йорк, 1981. (§8.B.13–15) ISBN 0-8247-6949-X.

внешняя ссылка