WikiDer > Основная теорема теории исключения

Main theorem of elimination theory

В алгебраическая геометрия, то основная теорема теории исключения заявляет, что каждый проективная схема является правильный. Версия этой теоремы предшествует существованию теория схем. Его можно сформулировать, доказать и применить в следующей более классической ситуации. Позволять $k$ быть поле, обозначим через ${ displaystyle mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$ то $п$ -размерный проективное пространство над $k$ . Основная теорема теории исключения - это утверждение, что для любого $п$ и любой алгебраическое многообразие $V$ определяется по $k$ , карта проекции ${ displaystyle V times mathbb {P} _ {k} ^ {n} to V}$ отправляет Зарисский-закрыто подмножества замкнутых по Зарискому подмножеств.

Основная теорема теории исключения является следствием и обобщением Маколея теория многомерный результат. Результат $п$ однородные многочлены в $п$ переменные - это значение полиномиальной функции коэффициентов, которая принимает значение ноль тогда и только тогда, когда полиномы имеют общий нетривиальный ноль над некоторым полем, содержащим коэффициенты.

Это принадлежит теория исключения, так как вычисление результата составляет исключить переменные между полиномиальными уравнениями. Фактически, учитывая система полиномиальных уравнений, однородный по некоторым переменным, результирующая устраняет эти однородные переменные путем предоставления уравнения в других переменных, которое имеет в качестве решений значения этих других переменных в решениях исходной системы.

Простой мотивирующий пример

В аффинная плоскость над полем $k$ это прямой продукт ${ displaystyle A_ {2} = L_ {x} times L_ {y}}$ двух экземпляров $k$ . Позволять

{ displaystyle pi двоеточие L_ {x} times L_ {y} to L_ {x}}

быть проекцией

{ displaystyle (x, y) mapsto pi (x, y) = x.}

Эта проекция не закрыто для Топология Зарисского (ни для обычной топологии, если ${ Displaystyle к = mathbb {R}}$ или же ${ Displaystyle к = mathbb {C}}$ ), потому что изображение ${ displaystyle pi}$ из гипербола $ЧАС$ уравнения ${ displaystyle xy-1 = 0}$ является ${ Displaystyle L_ {х} setminus {0 },}$ который не закрыт, хотя $ЧАС$ закрыто, будучи алгебраическое многообразие.

Если продлить ${ displaystyle L_ {y}}$ к проективной линии ${ displaystyle P_ {y},}$ уравнение проективное завершение гиперболы становится

{ displaystyle xy_ {1} -y_ {0} = 0,}

и содержит

{ Displaystyle { overline { pi}} (0, (1,0)) = 0,}

куда ${ displaystyle { overline { pi}}}$ является продолжением ${ displaystyle pi}$ к ${ displaystyle L_ {x} times P_ {y}.}$

Обычно это выражают, говоря, что начало аффинной плоскости - это проекция точки гиперболы, находящейся на бесконечности, в направлении $у$ -ось.

В более общем плане изображение ${ displaystyle pi}$ каждого алгебраического множества в ${ displaystyle L_ {x} times L_ {y}}$ - либо конечное число точек, либо ${ displaystyle L_ {x}}$ с удалением конечного числа точек, а изображение ${ displaystyle { overline { pi}}}$ любого алгебраического множества в ${ displaystyle L_ {x} times P_ {y}}$ конечное число точек или вся линия ${ displaystyle L_ {y}.}$ Отсюда следует, что изображение ${ displaystyle { overline { pi}}}$ любого алгебраического множества является алгебраическим множеством, то есть ${ displaystyle { overline { pi}}}$ является замкнутым отображением для топологии Зарисского.

Основная теорема теории исключения - широкое обобщение этого свойства.

Классическая формулировка

Для формулировки теоремы в терминах коммутативная алгебра, необходимо учитывать кольцо многочленов ${ Displaystyle R [ mathbf {x}] = R [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ над коммутативным Кольцо Нётериана $р$ , а однородный идеал $я$ создано однородные многочлены ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {k}.}$ (В первоначальном доказательстве Маколей, $k$ был равен $п$ , и $р$ было полиномиальным кольцом над целыми числами, неопределенными значениями которого были все коэффициенты ${ displaystyle f_ {i} mathrm {s}.}$ )

Любой кольцевой гомоморфизм ${ displaystyle varphi}$ из $р$ в поле $K$ , определяет гомоморфизм колец ${ Displaystyle Р [ mathbf {x}] к К [ mathbf {x}]}$ (также обозначается ${ displaystyle varphi}$ ), применяя ${ displaystyle varphi}$ к коэффициентам многочленов.

Теорема: есть идеал ${ displaystyle { mathfrak {r}}}$ в $р$ , однозначно определяется $я$ , такое, что для любого гомоморфизма колец ${ displaystyle varphi}$ из $р$ в поле $K$ , однородные многочлены ${ Displaystyle varphi (е_ {1}), ldots, varphi (е_ {к})}$ имеют нетривиальный общий нуль (в алгебраическом замыкании $K$ ) если и только если ${ Displaystyle varphi ({ mathfrak {r}}) = {0 }.}$

Более того, ${ displaystyle { mathfrak {r}} = 0}$ если $k < п$ , и ${ displaystyle { mathfrak {r}}}$ является главный если $k = п$ . В этом последнем случае генератор ${ displaystyle { mathfrak {r}}}$ называется результирующий из ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {k}.}$

Подсказки для доказательства и связанных результатов

Используя указанные выше обозначения, сначала нужно охарактеризовать условие, что ${ Displaystyle varphi (е_ {1}), ldots, varphi (е_ {к})}$ не имеют нетривиального общего нуля. Это так, если максимальный однородный идеал ${ Displaystyle { mathfrak {m}} = langle x_ {1}, ldots, x_ {n} rangle}$ является единственным однородным первичным идеалом, содержащим ${ displaystyle varphi (I) = langle varphi (f_ {1}), ldots, varphi (f_ {k}) rangle.}$ Nullstellensatz Гильберта утверждает, что это так тогда и только тогда, когда ${ displaystyle varphi (I)}$ содержит мощность каждого ${ displaystyle x_ {i},}$ или, что то же самое, ${ Displaystyle { mathfrak {м}} ^ {d} substeq varphi (I)}$ для некоторого положительного целого числа $d$ .

Для этого исследования Маколей представил матрицу, которая теперь называется Матрица Маколея в степени $d$ . Его строки индексируются мономы степени $d$ в ${ Displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n},}$ а его столбцы - это векторы коэффициентов на мономиальный базис многочленов вида ${ displaystyle m varphi (f_ {i}),}$ куда $м$ является мономом степени ${ displaystyle d- deg (f_ {i}).}$ Надо ${ Displaystyle { mathfrak {м}} ^ {d} substeq varphi (I)}$ тогда и только тогда, когда ранг матрицы Маколея равен количеству ее строк.

Если $k < п$ , ранг матрицы Маколея меньше количества ее строк для каждого $d$ , и поэтому, ${ Displaystyle varphi (е_ {1}), ldots, varphi (е_ {к})}$ всегда имеют нетривиальный общий ноль.

В противном случае пусть ${ displaystyle d_ {i}}$ быть степенью ${ displaystyle f_ {i},}$ и предположим, что индексы выбраны так, чтобы ${ displaystyle d_ {2} geq d_ {3} geq cdots geq d_ {k} geq d_ {1}.}$ Степень

{ displaystyle D = d_ {1} + d_ {2} + cdots + d_ {n} -n + 1 = 1 + sum _ {i = 1} ^ {n} (d_ {i} -1)}

называется Степень Маколея или же Связь Маколея потому что Macaulay's доказал, что ${ Displaystyle varphi (е_ {1}), ldots, varphi (е_ {к})}$ имеют нетривиальный общий нуль тогда и только тогда, когда ранг матрицы Маколея в степени $D$ меньше числа его строк. Другими словами, вышеуказанное $d$ может быть выбран раз и навсегда равным $D$ .

Следовательно, идеальный ${ displaystyle { mathfrak {r}},}$ существование которого утверждается основной теоремой теории исключения, является нулевым идеалом, если $k < п$ , а в противном случае порождается максимальными минорами матрицы Маколея в степени $D$ .

Если $k = п$ , Маколей также доказал, что ${ displaystyle { mathfrak {r}}}$ это главный идеал (хотя матрица Маколея в градусах $D$ не является квадратной матрицей, когда $k > 2$ ), который порождается результирующий из ${ displaystyle varphi (f_ {1}), ldots, varphi (f_ {n}).}$ Этот идеал также в целом а главный идеал, поскольку оно простое, если $р$ кольцо целочисленные многочлены со всеми коэффициентами ${ Displaystyle varphi (е_ {1}), ldots, varphi (е_ {к})}$ как неопределенные.

Геометрическая интерпретация

В предыдущей формулировке кольцо многочленов ${ Displaystyle R [ mathbf {x}] = R [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ определяет морфизм схемы (которые являются алгебраическими многообразиями, если $р$ конечно порождена над полем)

{ displaystyle mathbb {P} _ {R} ^ {n-1} = operatorname {Proj} (R [ mathbf {x}]) to operatorname {Spec} (R).}

Теорема утверждает, что образ замкнутого по Зарискому множества $V (я)$ определяется $я$ это замкнутое множество $V (р)$ . Таким образом, морфизм закрыт.

Navigation

Navigation

Themenportale

WikiDer > Основная теорема теории исключения

Содержание

Простой мотивирующий пример

Классическая формулировка

Подсказки для доказательства и связанных результатов

Геометрическая интерпретация

Смотрите также

Рекомендации