WikiDer > Соответствующий фильтр

В обработка сигналов, а согласованный фильтр получается коррелирующий известная задержка сигнал, или же шаблон, с неизвестным сигналом, чтобы обнаружить присутствие шаблона в неизвестном сигнале.^[1][2] Это эквивалентно свертывание неизвестный сигнал с сопряженный версия шаблона с обращенным временем. Соответствующий фильтр является оптимальным линейный фильтр для максимизации соотношение сигнал шум (SNR) в присутствии добавки стохастический шум.

Соответствующие фильтры обычно используются в радар, в котором передается известный сигнал, а отраженный сигнал исследуется на предмет общих элементов выходящего сигнала. Сжатие импульса это пример согласованной фильтрации. Это так называется потому, что импульсный отклик согласован с входными импульсными сигналами. Двумерные согласованные фильтры обычно используются в обработка изображений, например, для улучшения отношения сигнал / шум при рентгеновских наблюдениях. Согласованная фильтрация - это метод демодуляции с LTI (линейный инвариантный во времени) фильтры чтобы максимизировать SNR.^[3]Первоначально он был также известен как Северный фильтр.^[4]

Вывод

Вывод через матричную алгебру

В следующем разделе выводится согласованный фильтр для система с дискретным временем. Вывод для система с непрерывным временем аналогично, с заменой сумм на интегралы.

Согласованный фильтр - это линейный фильтр, ${ displaystyle h}$, что максимизирует выход соотношение сигнал шум.

${ Displaystyle у [п] = сумма _ {к = - infty} ^ { infty} ч [п-к] х [к],}$

куда ${ Displaystyle х [к]}$ вход как функция независимой переменной ${ displaystyle k}$, и ${ Displaystyle у [п]}$ это отфильтрованный вывод. Хотя мы чаще всего выражаем фильтры как импульсивный ответ систем свертки, как указано выше (см. Теория систем LTI), согласованный фильтр проще всего рассматривать в контексте внутренний продукт, что мы вскоре увидим.

Мы можем получить линейный фильтр, который максимизирует отношение выходного сигнала к шуму, применив геометрический аргумент. Интуиция, лежащая в основе согласованного фильтра, основана на корреляции принятого сигнала (вектора) с фильтром (другим вектором), который параллелен сигналу, максимизируя внутренний продукт. Это усиливает сигнал. Когда мы рассматриваем аддитивный стохастический шум, мы сталкиваемся с дополнительной проблемой минимизировать выходной сигнал из-за шума путем выбора фильтра, ортогонального шуму.

Определим формально проблему. Ищем фильтр, ${ displaystyle h}$, так что мы максимизируем отношение выходного сигнала к шуму, где выходной сигнал является внутренним произведением фильтра и наблюдаемого сигнала ${ displaystyle x}$.

Наш наблюдаемый сигнал состоит из желаемого сигнала ${ displaystyle s}$ и аддитивный шум ${ displaystyle v}$:

${ Displaystyle х = s + v. ,}$

Определим ковариационная матрица шума, напоминая себе, что эта матрица имеет Эрмитова симметрия, свойство, которое станет полезным при выводе:

${ Displaystyle R_ {v} = E {vv ^ { mathrm {H}} } ,}$

куда ${ displaystyle v ^ { mathrm {H}}}$ обозначает сопряженный транспонировать из ${ displaystyle v}$, и ${ displaystyle E}$ обозначает ожидание. Позвольте нам называть наш вывод, ${ displaystyle y}$, внутренний продукт нашего фильтра и наблюдаемого сигнала, так что

${ displaystyle y = sum _ {k = - infty} ^ { infty} h ^ {*} [k] x [k] = h ^ { mathrm {H}} x = h ^ { mathrm {H}} s + h ^ { mathrm {H}} v = y_ {s} + y_ {v}.}$

Теперь мы определяем отношение сигнал / шум, которое является нашей целевой функцией, как отношение выходной мощности из-за полезного сигнала к выходной мощности из-за шума:

${ displaystyle mathrm {SNR} = { frac {| y_ {s} | ^ {2}} {E {| y_ {v} | ^ {2} }}}.}$

Перепишем вышесказанное:

${ displaystyle mathrm {SNR} = { frac {| h ^ { mathrm {H}} s | ^ {2}} {E {| h ^ { mathrm {H}} v | ^ {2} }}}.}$

Мы хотим максимально увеличить это количество, выбрав ${ displaystyle h}$. Раскладывая знаменатель нашей целевой функции, мы имеем

${ displaystyle E {| h ^ { mathrm {H}} v | ^ {2} } = E {(h ^ { mathrm {H}} v) {(h ^ { mathrm {H) }} v)} ^ { mathrm {H}} } = h ^ { mathrm {H}} E {vv ^ { mathrm {H}} } h = h ^ { mathrm {H}} R_ {v} ч. ,}$

Теперь наш ${ displaystyle mathrm {SNR}}$ становится

${ displaystyle mathrm {SNR} = { frac {| h ^ { mathrm {H}} s | ^ {2}} {h ^ { mathrm {H}} R_ {v} h}}.}$

Мы перепишем это выражение, изменив матрицу. Причина этой, казалось бы, контрпродуктивной меры станет очевидной в ближайшее время. Использование эрмитовой симметрии ковариационной матрицы ${ displaystyle R_ {v}}$, мы можем написать

${ displaystyle mathrm {SNR} = { frac {| {(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ { mathrm {H}} (R_ {v} ^ {- 1/2} s ) | ^ {2}} {{(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ { mathrm {H}} (R_ {v} ^ {1/2} h)}},}$

Мы хотели бы найти верхнюю границу этого выражения. Для этого мы сначала распознаем форму Неравенство Коши – Шварца:

${ displaystyle | a ^ { mathrm {H}} b | ^ {2} leq (a ^ { mathrm {H}} a) (b ^ { mathrm {H}} b), ,}$

это означает, что квадрат внутреннего произведения двух векторов может быть только таким большим, как произведение отдельных внутренних произведений векторов. Эта концепция возвращается к интуиции, лежащей в основе согласованного фильтра: эта верхняя граница достигается, когда два вектора ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ параллельны. Мы возобновляем наш вывод, выражая верхнюю границу нашего ${ displaystyle mathrm {SNR}}$ в свете геометрического неравенства выше:

${ displaystyle mathrm {SNR} = { frac {| {(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ { mathrm {H}} (R_ {v} ^ {- 1/2} s ) | ^ {2}} {{(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ { mathrm {H}} (R_ {v} ^ {1/2} h)}} leq { frac { left [{(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ { mathrm {H}} (R_ {v} ^ {1/2} h) right] left [{(R_ {v} ^ {- 1/2} s)} ^ { mathrm {H}} (R_ {v} ^ {- 1/2} s) right]} {{(R_ {v} ^ {1 / 2} h)} ^ { mathrm {H}} (R_ {v} ^ {1/2} h)}}.}.$

Наши отважные манипуляции с матрицей теперь окупились. Мы видим, что выражение для нашей верхней границы можно значительно упростить:

${ displaystyle mathrm {SNR} = { frac {| {(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ { mathrm {H}} (R_ {v} ^ {- 1/2} s ) | ^ {2}} {{(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ { mathrm {H}} (R_ {v} ^ {1/2} h)}} leq s ^ { mathrm {H}} R_ {v} ^ {- 1} s.}$

Мы можем достичь этой верхней границы, если выберем

${ displaystyle R_ {v} ^ {1/2} h = alpha R_ {v} ^ {- 1/2} s}$

куда ${ displaystyle alpha}$ - произвольное действительное число. Чтобы проверить это, мы подключаемся к нашему выражению для вывода ${ displaystyle mathrm {SNR}}$:

${ displaystyle mathrm {SNR} = { frac {| {(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ { mathrm {H}} (R_ {v} ^ {- 1/2} s ) | ^ {2}} {{(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ { mathrm {H}} (R_ {v} ^ {1/2} h)}} = { frac { alpha ^ {2} | {(R_ {v} ^ {- 1/2} s)} ^ { mathrm {H}} (R_ {v} ^ {- 1/2} s) | ^ {2 }} { alpha ^ {2} {(R_ {v} ^ {- 1/2} s)} ^ { mathrm {H}} (R_ {v} ^ {- 1/2} s)}} = { frac {| s ^ { mathrm {H}} R_ {v} ^ {- 1} s | ^ {2}} {s ^ { mathrm {H}} R_ {v} ^ {- 1} s }} = s ^ { mathrm {H}} R_ {v} ^ {- 1} s.}$

Таким образом, наш оптимальный согласованный фильтр

${ displaystyle h = alpha R_ {v} ^ {- 1} s.}$

Мы часто предпочитаем нормализовать ожидаемое значение мощности на выходе фильтра из-за шума до единицы. То есть мы сдерживаем

${ Displaystyle E {| y_ {v} | ^ {2} } = 1 ,}$

Это ограничение подразумевает значение ${ displaystyle alpha}$, для которого мы можем решить:

${ displaystyle E {| y_ {v} | ^ {2} } = alpha ^ {2} s ^ { mathrm {H}} R_ {v} ^ {- 1} s = 1,}$

уступающий

${ displaystyle alpha = { frac {1} { sqrt {s ^ { mathrm {H}} R_ {v} ^ {- 1} s}}},}$

давая нам нормализованный фильтр,

${ displaystyle h = { frac {1} { sqrt {s ^ { mathrm {H}} R_ {v} ^ {- 1} s}}} R_ {v} ^ {- 1} s.}$

Если мы хотим написать импульсную характеристику ${ displaystyle h}$ фильтра для системы свертки, это просто комплексно-сопряженное обращение времени входного ${ displaystyle s}$.

Хотя мы получили согласованный фильтр в дискретном времени, мы можем расширить эту концепцию на системы с непрерывным временем, если заменим ${ displaystyle R_ {v}}$ с непрерывным временем автокорреляция функция шума, предполагая непрерывный сигнал ${ displaystyle s (t)}$, непрерывный шум ${ Displaystyle v (т)}$, и непрерывный фильтр ${ Displaystyle ч (т)}$.

Вывод через лагранжиан

В качестве альтернативы мы можем найти согласованный фильтр, решив нашу задачу максимизации с помощью лагранжиана. И снова согласованный фильтр стремится максимизировать отношение выходного сигнала к шуму (${ displaystyle mathrm {SNR}}$) отфильтрованного детерминированного сигнала в стохастическом аддитивном шуме. Наблюдаемая последовательность опять же

${ Displaystyle х = s + v, ,}$

с ковариационной матрицей шума,

${ Displaystyle R_ {v} = E {vv ^ { mathrm {H}} }. ,}$

Отношение сигнал / шум равно

${ displaystyle mathrm {SNR} = { frac {| y_ {s} | ^ {2}} {E {| y_ {v} | ^ {2} }}}.}$

Вычисляя выражение в числителе, имеем

${ displaystyle | y_ {s} | ^ {2} = {y_ {s}} ^ { mathrm {H}} y_ {s} = h ^ { mathrm {H}} ss ^ { mathrm {H }} ч. ,}$

а в знаменателе

${ Displaystyle E {| y_ {v} | ^ {2} } = E {{y_ {v}} ^ { mathrm {H}} y_ {v} } = E {h ^ { mathrm {H}} vv ^ { mathrm {H}} h } = h ^ { mathrm {H}} R_ {v} h. ,}$

Отношение сигнал / шум становится

${ displaystyle mathrm {SNR} = { frac {h ^ { mathrm {H}} ss ^ { mathrm {H}} h} {h ^ { mathrm {H}} R_ {v} h}} .}$

Если теперь ограничить знаменатель равным 1, проблема максимизации ${ displaystyle mathrm {SNR}}$ сводится к максимальному числителю. Затем мы можем сформулировать проблему, используя Множитель Лагранжа:

${ displaystyle h ^ { mathrm {H}} R_ {v} h = 1}$

${ displaystyle { mathcal {L}} = h ^ { mathrm {H}} ss ^ { mathrm {H}} h + lambda (1-h ^ { mathrm {H}} R_ {v} h )}$

${ displaystyle nabla _ {h ^ {*}} { mathcal {L}} = ss ^ { mathrm {H}} h- lambda R_ {v} h = 0}$

${ displaystyle (ss ^ { mathrm {H}}) h = lambda R_ {v} h}$

который мы признаем обобщенная задача на собственные значения

${ displaystyle h ^ { mathrm {H}} (ss ^ { mathrm {H}}) h = lambda h ^ { mathrm {H}} R_ {v} h.}$

С ${ displaystyle ss ^ { mathrm {H}}}$ имеет единичный ранг, у него только одно ненулевое собственное значение. Можно показать, что это собственное значение равно

${ displaystyle lambda _ { max} = s ^ { mathrm {H}} R_ {v} ^ {- 1} s,}$

давая следующий оптимальный согласованный фильтр

${ displaystyle h = { frac {1} { sqrt {s ^ { mathrm {H}} R_ {v} ^ {- 1} s}}} R_ {v} ^ {- 1} s.}$

Это тот же результат, что и в предыдущем подразделе.

Интерпретация оценки методом наименьших квадратов

Согласованную фильтрацию также можно интерпретировать как оценку методом наименьших квадратов для оптимального расположения и масштабирования данной модели или шаблона. Еще раз, пусть наблюдаемая последовательность определяется как

${ displaystyle x_ {k} = s_ {k} + v_ {k}, ,}$

куда ${ displaystyle v_ {k}}$ - это некоррелированный шум с нулевым средним. Сигнал ${ displaystyle s_ {k}}$ предполагается, что это масштабированная и сдвинутая версия известной модельной последовательности ${ displaystyle f_ {k}}$:

${ displaystyle s_ {k} = mu _ {0} cdot f_ {k-j_ {0}}}$

Мы хотим найти оптимальные оценки ${ displaystyle j ^ {*}}$ и ${ Displaystyle mu ^ {*}}$ для неизвестной смены ${ displaystyle j_ {0}}$ и масштабирование ${ displaystyle mu _ {0}}$ путем минимизации остатка наименьших квадратов между наблюдаемой последовательностью ${ displaystyle x_ {k}}$ и «зондирующая последовательность» ${ displaystyle h_ {j-k}}$:

${ displaystyle j ^ {*}, mu ^ {*} = arg min _ {j, mu} sum _ {k} left (x_ {k} - mu cdot h_ {jk} right) ^ {2}}$

Соответствующий ${ displaystyle h_ {j-k}}$ позже окажется согласованным фильтром, но пока не определен. Расширение ${ displaystyle x_ {k}}$ а квадрат в сумме дает

${ displaystyle j ^ {*}, mu ^ {*} = arg min _ {j, mu} left [ sum _ {k} (s_ {k} + v_ {k}) ^ { 2} + mu ^ {2} sum _ {k} h_ {jk} ^ {2} -2 mu sum _ {k} s_ {k} h_ {jk} -2 mu sum _ {k } v_ {k} h_ {jk} right]}$.

Первый член в скобках является константой (поскольку дается наблюдаемый сигнал) и не влияет на оптимальное решение. Последний член имеет постоянное ожидаемое значение, потому что шум не коррелирован и имеет нулевое среднее. Таким образом, мы можем исключить оба термина из оптимизации. Меняя знак, получаем эквивалентную задачу оптимизации

${ displaystyle j ^ {*}, mu ^ {*} = arg max _ {j, mu} left [2 mu sum _ {k} s_ {k} h_ {jk} - mu ^ {2} sum _ {k} h_ {jk} ^ {2} right]}$.

Установка производной по w.r.t. ${ displaystyle mu}$ к нулю дает аналитическое решение для ${ Displaystyle mu ^ {*}}$:

${ displaystyle mu ^ {*} = { frac { sum _ {k} s_ {k} h_ {j-k}} { sum _ {k} h_ {j-k} ^ {2}}}}$.

Вставка этого в нашу целевую функцию дает сокращенную задачу максимизации всего за ${ displaystyle j ^ {*}}$:

${ displaystyle j ^ {*} = arg max _ {j} { frac { left ( sum _ {k} s_ {k} h_ {jk} right) ^ {2}} { sum _ {k} h_ {jk} ^ {2}}}}$.

Числитель может быть ограничен сверху с помощью Неравенство Коши – Шварца:

${ displaystyle { frac { left ( sum _ {k} s_ {k} h_ {jk} right) ^ {2}} { sum _ {k} h_ {jk} ^ {2}}} leq { frac { sum _ {k} s_ {k} ^ {2} cdot sum _ {k} h_ {jk} ^ {2}} { sum _ {k} h_ {jk} ^ { 2}}} = sum _ {k} s_ {k} ^ {2} = mathrm {const}}$.

Задача оптимизации принимает максимум, когда в этом выражении выполняется равенство. Согласно свойствам неравенства Коши – Шварца это возможно только при

${ displaystyle h_ {j-k} = nu cdot s_ {k} = kappa cdot f_ {k-j_ {0}}}$.

для произвольных ненулевых констант ${ displaystyle nu}$ или же ${ displaystyle kappa}$, а оптимальное решение получается при ${ displaystyle j ^ {*} = j_ {0}}$ по желанию. Таким образом, наша «последовательность зондирования» ${ displaystyle h_ {j-k}}$ должен быть пропорционален модели сигнала ${ displaystyle f_ {k-j_ {0}}}$, и удобный выбор ${ displaystyle kappa = 1}$ дает согласованный фильтр

${ displaystyle h_ {k} = f _ {- k}}$.

Обратите внимание, что фильтр является зеркальной моделью сигнала. Это гарантирует, что операция ${ displaystyle sum _ {k} x_ {k} h_ {j-k}}$ чтобы найти оптимум, действительно, свертка между наблюдаемой последовательностью ${ displaystyle x_ {k}}$ и согласованный фильтр ${ displaystyle h_ {k}}$. Отфильтрованная последовательность принимает максимум в том месте, где наблюдаемая последовательность ${ displaystyle x_ {k}}$ наилучшее соответствие (в смысле наименьших квадратов) модели сигнала ${ displaystyle f_ {k}}$.

Подразумеваемое

Согласованный фильтр может быть получен различными способами,^[2] но как частный случай процедура наименьших квадратов это также можно интерпретировать как максимальная вероятность метод в контексте (цветного) Гауссов шум модель и связанные Малая вероятность.^[5]Если передаваемый сигнал обладал нет неизвестные параметры (например, время прихода, амплитуда, ...), то согласованный фильтр, в соответствии с Лемма Неймана – Пирсона., минимизируйте вероятность ошибки. Однако, поскольку точный сигнал обычно определяется неизвестными параметрами, которые эффективно оцениваются (или приспособленный) в процессе фильтрации согласованный фильтр представляет собой обобщенное максимальное правдоподобие (тестовая) статистика.^[6] Отфильтрованные временные ряды затем можно интерпретировать как (пропорционально) вероятность профиля, максимальное условное правдоподобие как функция параметра времени.^[7]Это, в частности, означает, что вероятность ошибки (в смысле Неймана и Пирсона, т. е. относительно максимизации вероятности обнаружения для данной вероятности ложной тревоги^[8]) не обязательно является оптимальным. Отношение сигнал / шум (SNR), который должен быть максимизирован согласованным фильтром, в этом контексте соответствует ${ displaystyle { sqrt {2 log ({ mathcal {L}})}}}$, куда ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ является (условно) максимальным отношением правдоподобия.^{[7] [nb 1]}

Конструкция согласованного фильтра основана на известен спектр шума. В действительности же спектр шума обычно по оценкам из данных и, следовательно, известны только с ограниченной точностью. Для случая неопределенного спектра согласованный фильтр может быть обобщен до более надежной итерационной процедуры с благоприятными свойствами также в негауссовском шуме.^[7]

Интерпретация в частотной области

При рассмотрении в частотной области очевидно, что согласованный фильтр применяет наибольшее взвешивание к спектральным компонентам, демонстрирующим наибольшее отношение сигнал / шум (т. Е. Большой вес при относительно низком уровне шума, и наоборот). Как правило, для этого требуется неплоская частотная характеристика, но связанные с этим "искажения" не вызывают беспокойства в таких ситуациях, как радар и цифровые коммуникации, где исходная форма сигнала известна, и целью является обнаружение этого сигнала на фоне фонового шума. С технической стороны подобранный фильтр представляет собой взвешенный метод наименьших квадратов метод, основанный на (гетероскедастический) данные частотной области (где «веса» определяются через спектр шума, см. также предыдущий раздел) или, что то же самое, наименьших квадратов метод применяется к побеленный данные.

Примеры

Согласованный фильтр в радаре и сонаре

Соответствующие фильтры часто используются в обнаружение сигнала.^[1] В качестве примера предположим, что мы хотим судить о расстоянии до объекта, отражая от него сигнал. Мы можем выбрать передачу синусоиды чистого тона с частотой 1 Гц. Мы предполагаем, что наш принятый сигнал представляет собой ослабленную и сдвинутую по фазе форму переданного сигнала с добавленным шумом.

Чтобы судить о расстоянии до объекта, мы коррелируем полученный сигнал с согласованным фильтром, который в случае белый (некоррелированный) шум, это еще одна синусоида с чистым тоном 1 Гц. Когда выходной сигнал системы согласованного фильтра превышает определенный порог, мы с высокой вероятностью заключаем, что принятый сигнал был отражен от объекта. Используя скорость распространения и время, в которое мы впервые наблюдаем отраженный сигнал, мы можем оценить расстояние до объекта. Если мы изменим форму импульса специально разработанным способом, отношение сигнал / шум и разрешение по расстоянию можно будет даже улучшить после согласованной фильтрации: это метод, известный как сжатие импульса.

Кроме того, согласованные фильтры могут использоваться в задачах оценки параметров (см. теория оценки). Чтобы вернуться к нашему предыдущему примеру, мы можем захотеть оценить скорость объекта в дополнение к его положению. Чтобы использовать Эффект Допплера, мы хотим оценить частоту принимаемого сигнала. Для этого мы можем коррелировать принятый сигнал с несколькими согласованными фильтрами синусоид на различных частотах. Согласованный фильтр с максимальным выходным сигналом с большой вероятностью обнаружит частоту отраженного сигнала и поможет нам определить скорость объекта. Фактически, этот метод является простой версией дискретное преобразование Фурье (ДПФ). ДПФ занимает ${ displaystyle N}$-значный комплексный ввод и соотносит его с ${ displaystyle N}$ согласованные фильтры, соответствующие комплексным экспонентам при ${ displaystyle N}$ разные частоты, чтобы дать ${ displaystyle N}$ комплексные числа, соответствующие относительным амплитудам и фазам синусоидальных составляющих (см. Индикация движущейся цели).

Согласованный фильтр в цифровой связи

Согласованный фильтр также используется в коммуникациях. В контексте системы связи, которая отправляет двоичные сообщения от передатчика к приемнику по зашумленному каналу, согласованный фильтр может использоваться для обнаружения переданных импульсов в зашумленном принятом сигнале.

Представьте, что мы хотим отправить последовательность «0101100100», закодированную в неполярном Невозврат к нулю (NRZ) через определенный канал.

Математически последовательность в коде NRZ может быть описана как последовательность единичных импульсов или сдвинутых прямые функции, каждый импульс взвешивается на +1, если бит равен «1», и на -1, если бит равен «0». Формально коэффициент масштабирования для ${ Displaystyle к ^ { mathrm {th}}}$ немного,

${ displaystyle a_ {k} = { begin {case} +1, & { mbox {if bit}} k { mbox {is 1}}, - 1, & { mbox {if bit} } k { mbox {0}}. end {case}}}$

Мы можем представить наше сообщение, ${ Displaystyle M (т)}$, как сумма сдвинутых единичных импульсов:

${ Displaystyle M (T) = сумма _ {к = - infty} ^ { infty} a_ {k} times Pi left ({ frac {t-kT} {T}} right) .}$

куда ${ displaystyle T}$ длина одного бита.

Таким образом, сигнал, который должен послать передатчик,

Если мы смоделируем наш шумный канал как AWGN канал, к сигналу добавляется белый гауссов шум. На стороне приемника для отношения сигнал / шум 3 дБ это может выглядеть так:

Первый взгляд не покажет исходную переданную последовательность. Имеется высокая мощность шума относительно мощности полезного сигнала (т. Е. Низкая соотношение сигнал шум). Если бы приемник отбирал этот сигнал в правильные моменты, результирующее двоичное сообщение могло бы противоречить исходному переданному.

Чтобы увеличить отношение сигнал / шум, мы пропускаем полученный сигнал через согласованный фильтр. В этом случае фильтр должен быть согласован с импульсом NRZ (эквивалентным «1», закодированной в коде NRZ). Точнее, импульсная характеристика идеального согласованного фильтра, предполагающая белый (некоррелированный) шум, должна быть масштабированной комплексно-сопряженной версией сигнала, который мы ищем, с обращенной во времени. Мы выбрали

${ displaystyle h (t) = Pi left ({ frac {t} {T}} right).}$

В этом случае из-за симметрии обращенное во времени комплексное сопряжение ${ Displaystyle ч (т)}$ на самом деле ${ Displaystyle ч (т)}$, что позволяет нам звонить ${ Displaystyle ч (т)}$ импульсная характеристика нашей системы свертки согласованных фильтров.

После свертки с правильным согласованным фильтром результирующий сигнал, ${ Displaystyle М _ { mathrm {отфильтровано}} (т)}$ является,

${ Displaystyle M _ { mathrm {отфильтрованный}} (т) = М (т) * ч (т)}$

куда ${ displaystyle *}$ обозначает свертку.

Который теперь может быть безопасно выбран приемником в правильные моменты выборки и сравнен с соответствующим порогом, что приводит к правильной интерпретации двоичного сообщения.

Согласованный фильтр в гравитационно-волновой астрономии

Соответствующие фильтры играют центральную роль в гравитационно-волновая астрономия.^[9] В первое наблюдение гравитационных волн был основан на крупномасштабной фильтрации выходного сигнала каждого детектора для сигналов, напоминающих ожидаемую форму, с последующим скринингом на совпадение и когерентность запуска между обоими приборами. Частота ложных тревог, и с этим Статистическая значимость обнаружения затем оценивали с помощью повторная выборка методы.^[10][11] Вывод о параметрах астрофизического источника был выполнен с использованием Байесовские методы на основе параметризованных теоретических моделей формы сигнала и (опять же) Малая вероятность.^[12][13]

Смотрите также

• Периодограмма
• Отфильтрованная обратная проекция (Преобразование Радона)
• Цифровой фильтр
• Статистическая обработка сигналов
• Малая вероятность
• Вероятность профиля
• Теория обнаружения
• Проблема множественных сравнений
• Емкость канала
• Теорема кодирования с шумом
• Оценка спектральной плотности
• Фильтр наименьших средних квадратов (LMS)
• Винеровский фильтр
• МНОЖЕСТВЕННАЯ СИГНАЛЬНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ (МУЗЫКА), популярный параметрический сверхразрешение метод
• САМВ

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Турин, Г. Л. (1960). «Введение в согласованные фильтры». Сделки IRE по теории информации. 6 (3): 311–329. Дои:10.1109 / TIT.1960.1057571.
• Wainstein, L.A .; Зубаков, В. Д. (1962). Извлечение сигналов из шума. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall.
• Мелвин, У. Л. (2004). «Обзор STAP». Журнал IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine. 19 (1): 19–35. Дои:10.1109 / MAES.2004.1263229.
• Рёвер, К. (2011). «Фильтр Стьюдента для надежного обнаружения сигнала». Физический обзор D. 84 (12): 122004. arXiv:1109.0442. Bibcode:2011ПхРвД..84л2004Р. Дои:10.1103 / PhysRevD.84.122004.
• Fish, A .; Гуревич, С .; Hadani, R .; Sayeed, A .; Шварц, О. (декабрь 2011 г.). «Вычисление согласованного фильтра за линейное время». arXiv:1112.4883 [cs.IT].