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In dem numerische Mathematik ist der Methode von Jacobi, benannt nach dem deutschen Mathematiker Carl Jacobic, ein Algorithmus iterativ eine Näherungslösung für a . finden lineares Gleichungssystem. Jacobis Methode ist wie die Gauß-Seidel-Methode und der SOR-Methode eine spezielle Aufteilungsmethode. Die Methode wurde entwickelt, weil Gauss-Eliminierung liefert eine exakte Lösung, ist aber sehr empfindlich gegenüber Rechenfehlern. EIN iterativ Ansatz ist davon weniger betroffen.

Methode

In der Methode von Jacobi wird die Matrix zu ${Anzeigestil A}$ des linearen Gleichungssystems

${displaystyle Ax=b}$

aufgeteilt in die Hauptdiagonale${Anzeigestil D}$ und der Rest:

${Anzeigestil A=D R}$

Die Gleichung kann dann geschrieben werden als:

${Anzeigestil Dx Rx=b}$

oder, vorausgesetzt ${Anzeigestil A}$invertierbar ist wie

${Anzeigestil x=D^{-1}(b-Rx)}$

Der iterative Lösungsansatz geht über:

${Anzeigestil x^{(m 1)}=D^{-1}(b-Rx^{(m)})}$

Ausgeschrieben in die Elemente der Matrizen und der Vektoren bedeutet dies für das System von ${displaystyle n}$ lineare Gleichungen mit ${displaystyle n}$ Fremde

${displaystyle { egin{matrix}a_{1,1}x_{1} ldots a_{1,n}x_{n}&=&b_{1}/a_{2,1}x_{1} ldots a_{2, n}x_{n}&=&b_{2}/&vdots &/a_{n,1}x_{1} ldots a_{n,n}x_{n}&=&b_{n}/end{matrix}}}$

dass es ${Anzeigestil i}$-das Element der ${Anzeigestil (m1)}$-st Iteration wird berechnet, wobei ein willkürlicher Startwert angenommen wird ${Anzeigestil x^{(0)}}$, wenn:

${displaystyle x_{i}^{(m 1)}={frac {1}{a_{i,i}}}left(b_{i}-sum _{jot =i}a_{i,j}cdot x_ {j}^{(m)}Nacht)}$

Eine Minimalbedingung ist, dass die Diagonalelemente ${displaystyle a_{i,i}}$ ungleich 0 sein. Für die Konvergenz von Jacobis Methode ist streng diagonale Dominanz der Matrix ${Anzeigestil A}$ Genug.

Verweise

• (das) Ein Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme (Numerical Solutions to Systems of Linear Equations), 2. Auflage, Vieweg 2005, ISBN 3528131357
• (und) R. Barrett et al.: Vorlagen für die Lösung linearer Systeme: Bausteine ​​für iterative Methoden Method, 2. Auflage, SIAM Philadelphia, 1994

Externe Links

• (und) Eric W. Weisstein ua "Jacobi-Methode" MathWorld
• (das) Jacobi und Gauss-Seidel-Verfahren verstaendlich erklaert, inklusive Matlab-Programm (Gesamt- und Singularmethoden von Jacobi und Gauss-Seidel für N = 3 (pdf) Jacobi-Methode und Gauss-Seidel-Methode verständlich erklärt, einschließlich Matlab-Programmen)