WikiDer > Численная стабильность

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Февраль 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

в математический подполе числовой анализ, числовая стабильность это обычно желаемое свойство численные алгоритмы. Точное определение стабильности зависит от контекста. Один числовая линейная алгебра а другой - алгоритмы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных путем дискретной аппроксимации.

В числовой линейной алгебре основной проблемой являются нестабильности, вызванные близостью к сингулярностям различного типа, таким как очень маленькие или почти сталкивающиеся. собственные значения. С другой стороны, в численных алгоритмах для дифференциальных уравнений проблема заключается в росте ошибок округления и / или небольших флуктуации исходных данных, которые могут вызвать большое отклонение окончательного ответа от точного решения.^{[нужна цитата]}

Некоторые численные алгоритмы могут подавлять небольшие колебания (ошибки) во входных данных; другие могут преувеличивать такие ошибки. Вычисления, которые, как можно доказать, не увеличивают ошибки аппроксимации, называются численно стабильный. Одна из распространенных задач численного анализа - попытаться выбрать алгоритмы, которые крепкий - то есть не давать сильно отличающегося результата при очень небольшом изменении входных данных.

An противоположный явление нестабильность. Как правило, алгоритм включает приближенный метод, и в некоторых случаях можно доказать, что алгоритм приблизится к правильному решению в некотором пределе (при использовании реальных действительных чисел, а не чисел с плавающей запятой). Даже в этом случае нет гарантии, что оно сойдется к правильному решению, потому что ошибки округления или усечения с плавающей запятой могут быть увеличены, а не затухают, вызывая экспоненциальный рост отклонения от точного решения.^[1]

Устойчивость в числовой линейной алгебре

Есть разные способы формализовать понятие устойчивости. Следующие определения прямой, обратной и смешанной устойчивости часто используются в числовая линейная алгебра.

Диаграмма, показывающая прямая ошибка Δу и обратная ошибка ΔИкс, и их связь с картой точного решенияж и численное решениеж*.

Рассмотрим задачу, которую решает численный алгоритм, как функция ж отображение данныхИкс к решениюу. Результат алгоритма, скажем, у*, обычно отклоняется от "истинного" решенияу. Основные причины ошибки: ошибка округления и ошибка усечения. В прямая ошибка алгоритма - разница между результатом и решением; в этом случае, Δу = у* − у. В обратная ошибка - наименьшее ΔИкс такой, что ж (Икс + ΔИкс) = у*; другими словами, обратная ошибка говорит нам, какую проблему алгоритм фактически решил. Прямая и обратная ошибка связаны между собой номер условия: прямая ошибка не больше по величине, чем число условия, умноженное на величину обратной ошибки.

Во многих случаях естественнее рассматривать относительная ошибка

${ displaystyle { frac {| Delta x |} {| x |}}}$

вместо абсолютной погрешности ΔИкс.

Алгоритм называется обратная стабильность если обратная ошибка мала для всех входовИкс. Конечно, «маленький» - понятие относительное, и его определение будет зависеть от контекста. Часто мы хотим, чтобы ошибка была того же порядка, или, возможно, только нескольких порядки величины больше, чем округление единицы.

Смешанная стабильность сочетает в себе концепции прямой и обратной ошибки.

Обычное определение числовой устойчивости использует более общее понятие, называемое смешанная стабильность, который объединяет прямую ошибку и обратную ошибку. Алгоритм в этом смысле устойчив, если он приближенно решает ближайшую задачу, т. Е. Существует ΔИкс такие, что оба ΔИкс маленький и ж (Икс + ΔИкс) − у* маленький. Следовательно, обратный стабильный алгоритм всегда стабилен.

Алгоритм передняя конюшня если его прямая ошибка, деленная на номер условия проблемы, мала. Это означает, что алгоритм является стабильным в прямом направлении, если он имеет прямую ошибку величины, аналогичную некоторому алгоритму обратной устойчивости.

Устойчивость в численных дифференциальных уравнениях

Приведенные выше определения особенно актуальны в ситуациях, когда ошибки усечения не важны. В других контекстах, например, при решении дифференциальные уравненияиспользуется другое определение числовой устойчивости.

В числовые обыкновенные дифференциальные уравнениясуществуют различные концепции числовой устойчивости, например А-стабильность. Они связаны с некоторой концепцией стабильности в динамические системы смысл, часто Ляпуновская устойчивость. При решении проблемы важно использовать стабильный метод. жесткое уравнение.

Еще одно определение используется в числовые уравнения в частных производных. Алгоритм решения линейной эволюционной уравнение в частных производных стабильно, если полное изменение численного решения за фиксированный момент времени остается ограниченным, поскольку размер шага стремится к нулю. В Теорема эквивалентности Лакса заявляет, что алгоритм сходится если это последовательный и стабильный (в этом смысле). Стабильность иногда достигается за счет включения численное распространение. Числовая диффузия - это математический термин, который гарантирует, что округление и другие ошибки в вычислениях будут разбросаны, а не суммируются, чтобы вызвать "взрыв" вычисления. Анализ устойчивости фон Неймана является широко используемой процедурой для анализа устойчивости конечно-разностные схемы применительно к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных. Эти результаты не верны для нелинейных УЧП, где общее согласованное определение устойчивости осложняется многими свойствами, отсутствующими в линейных уравнениях.

Смотрите также

• Алгоритмы расчета дисперсии
• Теория устойчивости
• Теория хаоса

Рекомендации

• Николас Дж. Хайэм (1996). Точность и стабильность численных алгоритмов.. Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 0-89871-355-2.
• Ричард Л. Берден; Дж. Дуглас Фейрес (2005). Числовой анализ (8-е изд.). США: Томсон Брукс / Коул. ISBN 0-534-39200-8.
• Меснар, Оливье; Барба, Лорена А. (2016). «Воспроизводимые и воспроизводимые CFD: это сложнее, чем вы думаете». arXiv:1605.04339 [Physics.comp-ph].